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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 So 20.05.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ist die Matrix triangulierbar?
A= [mm] \pmat{ 2 & 5 \\ -1 & -2 }
[/mm]
bzw.:
B = [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & -4 }
[/mm]
Gib im triangulierbaren Fall jeweils invertierbare Matrizen S an, sodass z.B [mm] S^{-1} [/mm] AS obere Dreiecksgestalt besitzt. |
[mm] 0=det(\pmat{ 2 & 5 \\ -1 & -2 } [/mm] - z [mm] I_2) [/mm] = det [mm] (\pmat{ 2-z & 5 \\ -1 & -2-z })= [/mm] (2-z)*(-2-z)*(-5)
[mm] z_1 [/mm] =2
[mm] z_2 [/mm] = -2
[mm] Eigenraum_{z_1} [/mm] = [mm] ker(A-2*I_2) [/mm] = [mm] ker(\pmat{ 0 & 5 \\ -1 & -4 }
[/mm]
[mm] Eigenraum_{z_2} [/mm] = [mm] ker(A-(-2)*I_2) [/mm] = [mm] ker(\pmat{4 & 5 \\ -1 &0 }
[/mm]
Basis die den Kern aufspannt
[mm] \pmat{ 0 & 5 \\ -1 & -4 } *\vektor{x \\ y} =\vektor{0 \\0} [/mm]
[mm] \pmat{4 & 5 \\ -1 &0 }*\vektor{a \\ b} =\vektor{0 \\0}
[/mm]
aber da bleibt doch nur der triviale kern [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] übrig?
[mm] 0=det(\pmat{1 & -2 \\ 1 & -4 } [/mm] - z [mm] I_2) [/mm] = det( [mm] \pmat{ 1-z & -2 \\ 1 & -4-z } [/mm] = (1-z)*(-4-z)*(-2)
[mm] z_1 [/mm] = -4
[mm] z_2 [/mm] = 1
[mm] Eigenraum_{z_1} [/mm] = [mm] ker(B-(-4)*I_2) [/mm] = [mm] ker(\pmat{ 5 & -2 \\ 1& 0 }
[/mm]
[mm] Eigenraum_{z_2} [/mm] = [mm] ker(B-I_2) [/mm] = [mm] ker(\pmat{0 & -2\\ 1 &3 }
[/mm]
Basis die den Kern aufspannt
[mm] \pmat{ 5 & -2 \\ 1& 0 } *\vektor{x \\ y} =\vektor{0 \\0} [/mm]
[mm] \pmat{0 & -2\\ 1 &3 }*\vektor{a \\ b} =\vektor{0 \\0}
[/mm]
Hier habe ich wieder das Problem wie oben, dass ich nur die triviale Lösung sehe.
Das zerfällt ja jeweils in Linearfaktoren also triangulierbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 So 20.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Du hast ganz oben einen kleinen Fehler bei der Berechnung der Determinante gemacht.
[mm] 0=det(A-z*I_2)=(2-z)*(-2-z)+5=-4+z^2+5=z^2+1
[/mm]
Dadurch ändert sich einiges.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 So 20.05.2012 | | Autor: | sissile |
stimmt. Sieht man aus diesem charakteristischen Polynom schon ob die Matrix triangulierbar ist?
$ [mm] 0=det(\pmat{ 2 & 5 \\ -1 & -2 } [/mm] $ - z $ [mm] I_2) [/mm] $ = det $ [mm] (\pmat{ 2-z & 5 \\ -1 & -2-z })= [/mm] $ (2-z)*(-2-z)+5= [mm] z^2 [/mm] +1
SInd die Lösungen nun die Einheitswurzel oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> stimmt. Sieht man aus diesem charakteristischen Polynom
> schon ob die Matrix triangulierbar ist?
Schau mal hier:
https://caj.informatik.uni-jena.de/main?eFJD=RE9XTkxPQUQ%3D&eElE=TnpBek9RJTNEJTNE
Satz 12.5
>
> [mm]0=det(\pmat{ 2 & 5 \\ -1 & -2 }[/mm] - z [mm]I_2)[/mm] = det [mm](\pmat{ 2-z & 5 \\ -1 & -2-z })=[/mm]
> (2-z)*(-2-z)+5= [mm]z^2[/mm] +1
> SInd die Lösungen nun die Einheitswurzel
Es sind die Zahlen i und -i
FRED
> oder wie?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 20.05.2012 | | Autor: | sissile |
Achja ;) Vielen Dank
Also ist die Matrix über [mm] \IC [/mm] triangulierbar
ker(A - i [mm] *I_2)=ker\pmat{ 2-i & 5 \\ -1 & -2-i }
[/mm]
ker(A+ [mm] i*I_2)=ker\pmat{ 2+i &5 \\ -1 & -2+i }
[/mm]
Wie finde ich nun Basen der Kerne?
[mm] \pmat{ 2-i & 5 \\ -1 & -2-i } *\vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 20.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achja ;) Vielen Dank
> Also ist die Matrix über [mm]\IC[/mm] triangulierbar
>
> ker(A - i [mm]*I_2)=ker\pmat{ 2-i & 5 \\ -1 & -2-i }[/mm]
> ker(A+
> [mm]i*I_2)=ker\pmat{ 2+i &5 \\ -1 & -2+i }[/mm]
>
> Wie finde ich nun Basen der Kerne?
> [mm]\pmat{ 2-i & 5 \\ -1 & -2-i } *\vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
Löse obiges LGS
FRED
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 So 20.05.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
wenn ich das könnte - hätte ich nicht gefragt ;)
$ [mm] \pmat{ 2-i & 5 \\ -1 & -2-i } \cdot{}\vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0} [/mm] $
(2-i)*x+ 5y =0
-x + (-2-i)*y=0
<=>
x= (-2-i)*y
in erste Gleichung:
(2-i)*(-2-i)*y+ 5y =0
3y + 5y =0
8y=0
y=0
Bei mir kommt da nur die triviale lösung raus.
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> Hallo,
> wenn ich das könnte - hätte ich nicht gefragt ;)
> [mm]\pmat{ 2-i & 5 \\
-1 & -2-i } \cdot{}\vektor{x \\
y}= \vektor{0 \\
0}[/mm]
> (2-i)*x+ 5y =0
>
> -x + (-2-i)*y=0
> <=>
> x= (-2-i)*y
>
> in erste Gleichung:
> (2-i)*(-2-i)*y+ 5y =0
> [mm] \red{3y} [/mm] + 5y =0
Hallo,
Du solltest nochmal genau nachrechnen, was (2-i)*(-2-i) ergibt.
LG Angela
> 8y=0
> y=0
>
> Bei mir kommt da nur die triviale lösung raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 20.05.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Entschuldige ..
(2-i)*(-2-i) = -4 -2i + 2i -1 = -5
-5y+ 5y =0
0=0
Womit ich so klug wie zuvor bin.
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> Hallo,
> Entschuldige ..
>
> (2-i)*(-2-i) = -4 -2i + 2i -1 = -5
>
> -5y+ 5y =0
> 0=0
> Womit ich so klug wie zuvor bin.
>
Hallo,
wenn das so ist, solltest Du unbedingt das Kapitel "Lösbarkeit (und das Lösen) von LGSen" nacharbeiten und Dich in diesem Zusammenhang unbedingt mit dem Gaußalgorithmus beschäftigen.
Wenn Du Dich mit Triangulierbarkeit zu beschäftigen hast, war das nämlich längst dran.
Du hast das LGS
(2-i)*x+ 5y =0
-x + (-2-i)*y=0
jetzt überführt in das System
x=(-2-i)y
0=0.
Das bedeutet: wann immer Du x und y so wählst, daß x=(-2-i)y, hast Du eine Lösung des Systems, dh. alle Vektoren, die von der Bauart [mm] \vektor{(-2-i)y\\y}=y*\vektor{-2-i\\1} [/mm] mit [mm] y\in \IR [/mm] sind, sind Elemente des gerade betrachteten Lösungsraumes, und damit ist [mm] \vektor{-2-i\\1} [/mm] eine Basis dieses Raumes.
Weg über Gauß mit ZSF:
Koeffizientenmatrix des homogenen LGS ist
$ [mm] \pmat{ 2-i & 5 \\ -1 & -2-i }$ [/mm] .
Durch Zeilenumformungen in ZSF gebracht bekommt man
[mm] \pmat{ \red{2-i }& 5 \\ 0 & 0}.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) stehen in der ersten Spalte, also kann man die Variablen der anderen Spalten frei wählen, hier: die Variable y.
Mit
y:=t erhält man aus der ersten Zeile
(2-i)x+5t=0 <==>
[mm] x=-\bruch{5}{2-i}t=-(2+i)t.
[/mm]
Damit haben alle Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x\\y}=\vektor{-(2+i)t\\t}=t*\vektor{-(2+i)\\1}, [/mm] und [mm] \vektor{-(2+i)\\1} [/mm] ist eine Basis des Lösungsraumes.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 So 20.05.2012 | | Autor: | sissile |
Danke, dass du mir das wieder ins Gedächtnis gerufen hast ;)
liebe grüße
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