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| Aufgabe | | Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm] s_b [/mm] = 4,5cm zu konstruieren? |
Hallo,
im gleichen Kapitel ging es um Geraden und deren Lagebeziehungen. Mir fehlt schon die grundsätzliche Idee zur Lösung. Muss ich da die Dreieckspunkte B, C und den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden mit der Seite b als Vektoren darstellen und dann schauen dass S auf der von B und C gebildeten Strecke liegt?
Falls ja habe ich zu viele Variablen. [mm] \vec{B} [/mm] kann ich vielleicht noch darstellen als [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + [mm] 5,2*\vektor{1 \\ 0}, [/mm] aber für [mm] \vec{C} [/mm] und [mm] \vec{S} [/mm] erhalte ich dann ja erst mal komplett beliebige Richtungsvektoren und da kommt dann kein lösbares Gleichungssystem raus.
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> Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a =
> 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm]s_b[/mm] = 4,5cm
> zu konstruieren?
> Hallo,
>
> im gleichen Kapitel ging es um Geraden und deren
> Lagebeziehungen. Mir fehlt schon die grundsätzliche Idee
> zur Lösung. Muss ich da die Dreieckspunkte B, C und den
> Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden mit der Seite b als
> Vektoren darstellen und dann schauen dass S auf der von B
> und C gebildeten Strecke liegt?
>
> Falls ja habe ich zu viele Variablen. [mm]\vec{B}[/mm] kann ich
> vielleicht noch darstellen als [mm]\vektor{0 \\ 0}\ +\ 5,2*\vektor{1 \\ 0},[/mm] aber für
> [mm]\vec{C}[/mm] und [mm]\vec{S}[/mm] erhalte ich dann ja erst mal komplett beliebige
> Richtungsvektoren, und da kommt dann kein lösbares
> Gleichungssystem raus.
Hallo Infostudent,
ich würde dir vorschlagen, ein geeignetes Koordinaten-
system so zu legen, dass S der Koordinatenursprung
ist und A und C auf der x-Achse liegen. Dann kannst
du alles mit wenigen Hilfsvariablen aufschreiben, wobei
etwa [mm] h:=\frac{b}{2} [/mm] sich als erste anbietet. Dazu kannst du
noch einen geeigneten Winkel oder auch die Koordinaten
von B einsetzen, um dann auf ein Gleichungssystem zu
kommen.
Ausgehend von einer rechnerischen Lösung (die es
meiner Ansicht nach jedenfalls geben müsste) kannst
du dir dann auch eine eigentliche Konstruktion (wenn
möglich mittels der "klassischen" Instrumente Zirkel
und Lineal) überlegen.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 31.03.2012 | | Autor: | abakus |
> > Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a =
> > 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm]s_b[/mm] = 4,5cm
> > zu konstruieren?
Hallo Infostudent,
bei gegebenen festen Längen a, c und [mm] s_b [/mm] sind die beiden Seitenverhältnisse [mm] c:s_b [/mm] und [mm] a:s_b [/mm] irgendwelche konkrete Werte.
Wenn man eine erhaltene Konstruktion dann zentrisch zu einem Dreieck A'B'C' streckt, ändern sich zwar die Längen, aber die Längenverhältnisse eben nicht.
Gib dir deshalb erst einma eine beliebige Strecke A'C' mit dem Mittelpunkt [mm] S_b [/mm] vor.
Jetzt suchen wir nach der möglichen Lage des Punktes B'.
Er muss so liegen, dass die durch ihn mit bestimmten Streckenlängen c und [mm] s_b [/mm] das "richtige" Verhältnis haben.
Also müssen sie auf dem enstsprechenden Apolloniuskreis für dieses Verhältnis liegen.
Da auch das Verhältnis [mm] a:s_b [/mm] stimmen muss, liegt B' noch auf einem zweiten Apolloniuskreis.
Die Schnittpunkte beider Kreise zeigen die möglichen Lagen für B' an.
Abschließend wird A'B'C' mit dem Streckungszentrum [mm] S_b [/mm] so weit gestreckt, bis [mm] s_b [/mm] die richtige Länge hat.
(Wenn du mit "Apolloniuskreis" nicht anfangen kannst, dann informiere dich über den Satz des Apollonius und den äußeren und inneren Teilpunkt einer Strecke.)
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 So 01.04.2012 | | Autor: | abakus |
> > > Ist es möglich, ein Dreieck mit den Seitenlängen a =
> > > 5,2cm, c = 6,5cm sowie der Seitenhalbierenden [mm]s_b[/mm] = 4,5cm
> > > zu konstruieren?
>
Ich merke gerade, dass es noch einfacher geht.
Wenn man die halbe Seitenlänge von AB mit v bezeichnet, dann erzeugt die Seitenhalbierende zwei Teildreiecke mit den Seitenlängen v, a und [mm] s_b [/mm] bzw. v, c und [mm] s_b.
[/mm]
Die Seitenhalbierende schneiden AB unter einem bestimmten Winkel [mm]\phi[/mm], damit hat eines der Teildreiecke den Innenwinkel [mm]phi[/mm] und das andere den Innenwinkel 180°-[mm]\phi[/mm].
In beiden Dreiecken kann man den Kosinussatz anwenden:
[mm]a^2=s_b^2+v^2-2vs_b*cos\phi[/mm]
[mm]c^2=s_b^2+v^2-2vs_b*cos(180°-\phi)=s_b^2+v^2+2vs_b*cos\phi[/mm]
Die Addition beider Gleichungen führt zu
[mm]a^2+c^2=2*s_b^2+2*v^2[/mm], also <span class="math">[mm](a^2+c^2)/2-s_b^2=v^2[/mm] bzw.
[mm]v^2=(\frac{a}{\wurzel{2}})^2+(\frac{c}{\wuzel{2}})^2-s_b^2[/mm].
Es lässt sich v mit Hilfe von zwei rechtwinkligen Dreiecken aus a, c und [mm] $s_b$ [/mm] konstruieren, damit sind auch beide Teildreiecke eindeutig (von Hand) konstruierbar. Rechnerisch ist die Geschichte bereits mit der Ermittlung von v gelöst. Bedingung ist natürlich <span class="math">[mm]s_b^2<(\frac{a}{\wurzel{2}})^2+(\frac{c}{\wuzel{2}})^2[/mm].
Gruß Abakus
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Ich fang erst mal mit dieser Lösung an und arbeite mich dann langsam weiter vor ;)
Das Prinzip des Kreises von Apollonios habe ich verstanden, aber wie komme ich nun zu den Kreisgleichungen? Das Verhältnis von [mm] c:S_b [/mm] ist 6,5:4,5 und das von [mm] a:S_b [/mm] ist 5,2:4,5. Wie komme ich von hier nun zu einer Kreisgleichung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mi 04.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich fang erst mal mit dieser Lösung an und arbeite mich
> dann langsam weiter vor ;)
> Das Prinzip des Kreises von Apollonios habe ich
> verstanden, aber wie komme ich nun zu den Kreisgleichungen?
> Das Verhältnis von ist 6,5:4,5 und das von ist
> 5,2:4,5. Wie komme ich von hier nun zu einer
> Kreisgleichung?
Ich sage es nur ungern, aber: Vergiss meinen vorgeschlagenen Lösungsweg.
Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen - das hat weduwe in seinem Beitrag ausgenutzt.
Dieser Weg ist so genial einfach, dass ich mich sonstwohin beißen könnte, weil ich das nicht selbst gesehen habe...
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 01.04.2012 | | Autor: | weduwe |
einfach wird die konstruktion, wenn man an ein parallelogramm denkt 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Sehr schön !
Da muss ich mich mit meiner ausgetüftelten Konstruktion
ja fast ein wenig schämen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]"){kind=small}
