Dreiecksleiter berechnen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch einen homogenen Leiter mit dreiecksförmiger Querschnittsfläche (Abb. 1) fließt der Strom I. Der spezifische Widerstand ändert sich längs des Leiters nach folgender Gleichung: [mm] \rho(y)=\rho_{0}*e^{-k*y} [/mm] mit [mm] \rho_{0} [/mm] ein konstanter spezifischer Widerstand und k eine gegebene Konstante. Die Stirnflächen sind als ideal leitende Elektroden zu betrachten.
a) Berechnen Sie allgemein die elektrische Stromdichte [mm] \vec{J} [/mm] im Leiter.
b) Berechnen Sie allgemein die elektrische Feldstärke [mm] \vec{E} [/mm] im Leiter.
c) Berechnen Sie allgemein den Spannungsabfall U über dem Leiter.
d) Berechnen Sie allgemein den elektrischen Widerstand R des Leiters.
e) Der Widerstand R ist für folgende Zahlenwerte zu berechnen:
[mm] \rho_{0}=0,5 [/mm] Ohmcm, [mm] a=10^{-1}cm, k=1cm^{-1}, [/mm] l=ln2cm
Hinweis: [mm] \integral_{}^{}{e^{a*x}dx}=\bruch{1}{a}*e^{a*x}; [/mm] a: reelle Konstante; [mm] a\not=0 [/mm] |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo. hab ma wieder probleme mit der etechnik. wär nett, wenn mir jemand helfen könnte.
a) hab ich schon berechnet und es müsste [mm] \bruch{2I}{a^{2}}*\vec{e_{y}} [/mm] rauskommen.
b) um das efeld zu bekommen, würde ich doch folgende formel anwenden:
[mm] \vec{J}=\kappa*\vec{E} [/mm]
=> [mm] \vec{E}=\bruch{\vec{J}}{\kappa}
[/mm]
[mm] \kappa=\bruch{1}{\rho_{R}}=\bruch{1}{\rho_{0}*e^{-k*y}} [/mm] weil [mm] \rho_{R}=\rho(y) [/mm] ist, oder?
also
[mm] \vec{E}=\bruch{\bruch{2I}{a^{2}}}{\bruch{1}{\rho_{0}*e^{-k*y}}}=\bruch{2I*\rho_{0}*e^{-k*y}}{a^{2}}*\vec{e_{y}}
[/mm]
ich hoffe das is bis hier richtig.
c) um U zu berechnen würd ich folgend rechnen:
[mm] U=\integral_{0}^{l}{\vec{E} \circ d\vec{s}} [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{l}{E*ds} [/mm] da [mm] \vec{E} [/mm] und [mm] d\vec{s} [/mm] gleichgerichtet sind, also:
[mm] \integral_{0}^{l}{\bruch{2I*\rho_{0}*e^{-k*y}}{a^{2}}dy}
[/mm]
[mm] =\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*\integral_{0}^{l}{e^{-k*y}dy}
[/mm]
[mm] =\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*[-\bruch{1}{k}*e^{-k*y}] [/mm] von 0 bis l
[mm] =\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*[-\bruch{1}{k*e^{-k*y}}] [/mm] von 0 bis l
[mm] =\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*(-\bruch{1}{k}*(\bruch{1}{e^{kl}}+1))
[/mm]
[mm] =-\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}k}*(\bruch{1}{e^{kl}}+1)
[/mm]
d) [mm] R=\bruch{U}{I}=\bruch{-\bruch{2I\rho_{0}}{a^{2}k}*(\bruch{1}{e^{kl}}+1)}{I}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2\rho_{0}}{a^{2}k}*(\bruch{1}{e^{kl}})
[/mm]
e) Werte einsetzen:
[mm] R=-\bruch{2*0,5 Ohm*cm}{(\bruch{1}{10}cm)^{2}*\bruch{1}{cm}}*(\bruch{1}{e^{\bruch{1}{cm}*ln2cm}}+1)
[/mm]
[mm] =-\bruch{1 Ohm*cm}{\bruch{1*cm}{100}}*\bruch{3}{2}
[/mm]
=-100 [mm] Ohm*\bruch{3}{2}=-150 [/mm] Ohm
das verwirrt mich. können widerstände negativ sein? bitte um hilfe. hab stunden dran gesessen, das hier so hinzubekommen mit dem formeleditor. :0
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Fr 11.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Durch einen homogenen Leiter mit dreiecksförmiger
> Querschnittsfläche (Abb. 1) fließt der Strom I. Der
> spezifische Widerstand ändert sich längs des Leiters nach
> folgender Gleichung: [mm]\rho(y)=\rho_{0}*e^{-k*y}[/mm] mit [mm]\rho_{0}[/mm]
> ein konstanter spezifischer Widerstand und k eine gegebene
> Konstante. Die Stirnflächen sind als ideal leitende
> Elektroden zu betrachten.
>
> a) Berechnen Sie allgemein die elektrische Stromdichte
> [mm]\vec{J}[/mm] im Leiter.
>
> b) Berechnen Sie allgemein die elektrische Feldstärke
> [mm]\vec{E}[/mm] im Leiter.
>
> c) Berechnen Sie allgemein den Spannungsabfall U über dem
> Leiter.
>
> d) Berechnen Sie allgemein den elektrischen Widerstand R
> des Leiters.
>
> e) Der Widerstand R ist für folgende Zahlenwerte zu
> berechnen:
>
> [mm]\rho_{0}=0,5[/mm] Ohmcm, [mm]a=10^{-1}cm, k=1cm^{-1},[/mm] l=ln2cm
>
> Hinweis: [mm]\integral_{}^{}{e^{a*x}dx}=\bruch{1}{a}*e^{a*x};[/mm]
> a: reelle Konstante; [mm]a\not=0[/mm]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo. hab ma wieder probleme mit der etechnik. wär nett,
> wenn mir jemand helfen könnte.
>
> a) hab ich schon berechnet und es müsste
> [mm]\bruch{2I}{a^{2}}*\vec{e_{y}}[/mm] rauskommen.
Richtig
> b) um das efeld zu bekommen, würde ich doch folgende formel
> anwenden:
>
> [mm]\vec{J}=\kappa*\vec{E}[/mm]
> => [mm]\vec{E}=\bruch{\vec{J}}{\kappa}[/mm]
>
> [mm]\kappa=\bruch{1}{\rho_{R}}=\bruch{1}{\rho_{0}*e^{-k*y}}[/mm]
> weil [mm]\rho_{R}=\rho(y)[/mm] ist, oder?
>
> also
> [mm]\vec{E}=\bruch{\bruch{2I}{a^{2}}}{\bruch{1}{\rho_{0}*e^{-k*y}}}=\bruch{2I*\rho_{0}*e^{-k*y}}{a^{2}}*\vec{e_{y}}[/mm]
>
> ich hoffe das is bis hier richtig.
Ja
> c) um U zu berechnen würd ich folgend rechnen:
>
> [mm]U=\integral_{0}^{l}{\vec{E} \circ d\vec{s}}[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{l}{E*ds}[/mm] da [mm]\vec{E}[/mm] und [mm]d\vec{s}[/mm]
> gleichgerichtet sind, also:
>
> [mm]\integral_{0}^{l}{\bruch{2I*\rho_{0}*e^{-k*y}}{a^{2}}dy}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*\integral_{0}^{l}{e^{-k*y}dy}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*[-\bruch{1}{k}*e^{-k*y}][/mm] von 0
> bis l
>
> [mm]=\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*[-\bruch{1}{k*e^{-k*y}}][/mm] von 0
> bis l
>
> [mm]=\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}}*(-\bruch{1}{k}*(\bruch{1}{e^{kl}}+1))[/mm]
hier hast du plötzlich [mm] e^{kl} [/mm] statt [mm] e^{-kl} [/mm]
ich hätte schon früher [mm] \bruch{1}{k*e^{-k*y}}=e^{k}*\bruch{1}{k} [/mm] gesetzt!
> [mm]=-\bruch{2I*\rho_{0}}{a^{2}k}*(\bruch{1}{e^{kl}}+1)[/mm]
Hier der 2. Fehler in der Klammer muss -1 stehen
Der Rest ist dann folgefalsch.
> d)
> [mm]R=\bruch{U}{I}=\bruch{-\bruch{2I\rho_{0}}{a^{2}k}*(\bruch{1}{e^{kl}}+1)}{I}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{2\rho_{0}}{a^{2}k}*(\bruch{1}{e^{kl}})[/mm]
>
> e) Werte einsetzen:
>
> [mm]R=-\bruch{2*0,5 Ohm*cm}{(\bruch{1}{10}cm)^{2}*\bruch{1}{cm}}*(\bruch{1}{e^{\bruch{1}{cm}*ln2cm}}+1)[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1 Ohm*cm}{\bruch{1*cm}{100}}*\bruch{3}{2}[/mm]
>
> =-100 [mm]Ohm*\bruch{3}{2}=-150[/mm] Ohm
>
> das verwirrt mich. können widerstände negativ sein? bitte
> um hilfe. hab stunden dran gesessen, das hier so
> hinzubekommen mit dem formeleditor. :0
Gut hingekriegt!
Gruss leduart
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danke für deine schnelle antwort. also, ich hab jetzt meine aufgabe entsprechend korrigiert und komm dann im endeffekt auf R=50 Ohm. das sieht doch schon realistischer aus...danke für deine hilfe
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