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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 18.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jede obere 3x3 Dreiecsmatrix ist konjugiert zu einer oberen Dreiecksmatrix, deren rechter oberer Eintrag 0 ist. |
Sei [mm] A:=\pmat{ a & b & c\\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f }
[/mm]
Ich hab jetzt versucht, eine Basiswechselmatrix zu finden, sodass es immer noch eine Dreiecksmatrix ist, aber oben rechts null steht.
So ganz ist mir das bloß nicht gelungen....
Ich hätte gedacht, es wäre vielleicht sinnvoll, die ersten zwei Basen nicht zu verändern...
Also [mm] T=\pmat{ 1 & 0 & ? \\ 0 & 1 & ? \\ 0 & 0 & ? }
[/mm]
Beim Rest habe ich schon verzweifelt rumprobiert, kam aber noch nicht auf was richtiges....
Aber ist doch nicht falsch, die ersten Basisvektoren zu behalten?
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> Zeigen Sie: Jede obere 3x3 Dreiecsmatrix ist konjugiert zu
> einer oberen Dreiecksmatrix, deren rechter oberer Eintrag 0
> ist.
> Sei [mm]A:=\pmat{ a & b & c\\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f }[/mm]
Hallo,
war die Jordannormalform dran?
Das charakteristische Polynom kennst Du,
Du weißt hieraus, daß Du A in JNF bringen kannst,
und für die JNF gibt es nicht so viele Möglichkeiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 19.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
> Hallo,
>
> war die Jordannormalform dran?
>
> Das charakteristische Polynom kennst Du,
> Du weißt hieraus, daß Du A in JNF bringen kannst,
> und für die JNF gibt es nicht so viele Möglichkeiten.
>
Nein, die hatten wir ja gerade noch nicht...
Deswegen versuch ich ja grade die Transformationsmatrix zu bestimmen.
[mm] c\not=0
[/mm]
Für den Fall [mm] b\not=0 [/mm] hab ich auch schon eine gefunden: [mm] T=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -\bruch{b}{c} }
[/mm]
Dann ist [mm] T^{-1}*M*T=\pmat{ a & b & 0 \\ 0 & d & -f -\bruch{b*e}{c}+d \\ 0 & 0 & f }
[/mm]
Doch für den Fall b=0 und für mögliche weitere Fälle habe ich noch keine passende Transformationsmatrix gefunden...
Aber wenn b=0 ist, dann gibt es doch zwei linear unabhängige Basisvektoren... Da muss man doch irgendwie mehr oder weniger einfach die zu einer geeigneten Basis ergänzen können...
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> > Hallo,
> >
> > war die Jordannormalform dran?
> >
> > Das charakteristische Polynom kennst Du,
> > Du weißt hieraus, daß Du A in JNF bringen kannst,
> > und für die JNF gibt es nicht so viele
> Möglichkeiten.
> >
>
> Nein, die hatten wir ja gerade noch nicht...
> Deswegen versuch ich ja grade die Transformationsmatrix zu
> bestimmen.
> [mm]c\not=0[/mm]
> Für den Fall [mm]b\not=0[/mm] hab ich auch schon eine gefunden:
> [mm]T=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -\bruch{b}{c} }[/mm]
>
> Dann ist [mm]T^{-1}*M*T=\pmat{ a & b & 0 \\ 0 & d & -f -\bruch{b*e}{c}+d \\ 0 & 0 & f }[/mm]
>
> Doch für den Fall b=0 und für mögliche weitere Fälle
> habe ich noch keine passende Transformationsmatrix
> gefunden...
>
> Aber wenn b=0 ist, dann gibt es doch zwei linear
> unabhängige Basisvektoren...
Basisvektoren wovon?
> Da muss man doch irgendwie
> mehr oder weniger einfach die zu einer geeigneten Basis
> ergänzen können...
Ich würde bei der Aufgabe einen anderen Weg einschlagen - komplett durchgeführt habe ich es aber noch nicht.
Das charakteristische Polynom, Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit sind Dir ja bekannt - Du hattest mal eine Aufgabe in der Richtung eingestellt.
Deine Matrix A ist die Darstellungsmatrix einer lin. Abbildung [mm] f_A [/mm] bzgl einer Basis [mm] B=(b_1, b_2, b_3).
[/mm]
Deine Matrix hat das charakteristische Polynom [mm] \Chi_A(x)=(x-a)(x-d)(x-f),
[/mm]
also die drei Eigenwerte a,d,f.
1. Fall: [mm] f\not=a [/mm] und [mm] f\not=d.
[/mm]
Dann gibt es einen Eigenvektor v zu f, und den kannst Du gegen [mm] b_3 [/mm] austauschen.
Bzgl der Basis [mm] B_1=(b_1, b_2, [/mm] v) hat die matrix die Gestalt ???
2. (f=a und [mm] f\not=d) [/mm] oder (f=d und [mm] f\not=a)
[/mm]
2.1.: der Eigenraum zu f hat die Dim 2
2.2.: der Eigenraum zu f hat die Dimension 1.. (Hier muß man sich einen der Basisvektoren passend zurechtfrickeln)
3. Die Diagonalelemente stimmen überein
1. der Eigenraum hat die dim 3
2. der Eigenraum hat die dim 2
3. der Eigenraum hat die Dimension 1.
Gruß v. Angela
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