Dreiecksmatrix A^n = O < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 So 09.12.2007 | | Autor: | MrFair |
| Aufgabe | Die reele (n,n) - Matrix A = (([mm]a_{ij}[/mm])) habe die Eigenschaft:
[mm]a_{ij}[/mm] = 0 für alle i, j [mm]\in[/mm] {1, ... , n} mit i [mm] \le [/mm] j.
Zeigen Sie:
[mm]A^n[/mm] = O.
Anmerkung: O = [mm] \begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{pmatrix} [/mm] |
Ich hab ein bischen Probleme, diese Aufgabe zu lösen. An sich ist mir da bisher schon einiges klar geworden.
Durch die Bedingung für [mm] a_{ij} [/mm] erhält man ja eine untere Dreiecksmatrix. Wenn ich diese mit sich selbst multipliziere, wird die Anzahl der Nullen ja immer größer und das Dreieck "schrumpft" (bildlich gesprochen). Ich habe hier schon mal Probleme, dass formell zu verfassen
Einen richtigen Lösungsansatz habe ich nicht, aber ich denke es bietet sich die vollständige Induktion an. Bisher habe ich folgendes:
Induktionsanfang:
Sei n = 1. Dann ist A [mm] \in \IK^{n \times n} [/mm] = [mm] \IK^{1 \times 1}.
[/mm]
Also: [mm] \begin{pmatrix}
0
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \begin{pmatrix}
0
\end{pmatrix}^1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
0
\end{pmatrix} [/mm] = O.
Induktionsvoraussetzung:
Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Es gelte [mm] A^n [/mm] = O.
Induktionsschritt:
?
Hier weis ich jetzt überhaupt nicht mehr weiter. Mein größtes Problem ist, dass sich beim Schritt nach n+1 ja die Matrixgröße ändert. Also A [mm] \in \IK^{n+1 \times n+1}.
[/mm]
Dadurch fällt mir keine Möglichkeit ein, in irgendeinerweise die Induktionsvoraussetzung anzuwenden, da die Matrix für [mm] A^n [/mm] ja jeweils eine Spalte und eine Zeile weniger hat.
An sich ist mir klar, dass dies eine wahre Aussage ist. Ich habe auch schon ein paar Beispiele durchgerechnet und daran erkannt, dass das Dreieck von Multiplikation zu Multiplikation "schrumpft". Aber einen richtigen Lösungsansatz habe ich, wie ihr seht, noch nicht wirklich.
Für Tipps und Denkanstöße wäre ich sehr dankbar.
Noch eine kleine Anmerkung: Beim Suchen nach "Dreiecksmatrix" in Google etc. habe ich oft gesehen, dass der Begriff "Determinante" wohl sehr stark mit Dreiecksmatrizen zusammenhängt. Der kam bisher aber noch nicht in unserer Vorlesung dran, also bitte bei den Tipps nicht darauf beziehen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 So 09.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die reele (n,n) - Matrix A = (([mm]a_{ij}[/mm])) habe die
> Eigenschaft:
> [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für alle i, j [mm]\in[/mm] {1, ... , n} mit i [mm]\le[/mm] j.
>
> Zeigen Sie:
> [mm]A^n[/mm] = O.
>
> Anmerkung: O = [mm]\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich hab ein bischen Probleme, diese Aufgabe zu lösen. An
> sich ist mir da bisher schon einiges klar geworden.
> Durch die Bedingung für [mm]a_{ij}[/mm] erhält man ja eine untere
> Dreiecksmatrix. Wenn ich diese mit sich selbst
> multipliziere, wird die Anzahl der Nullen ja immer größer
> und das Dreieck "schrumpft" (bildlich gesprochen). Ich habe
> hier schon mal Probleme, dass formell zu verfassen
>
> Einen richtigen Lösungsansatz habe ich nicht, aber ich
> denke es bietet sich die vollständige Induktion an. Bisher
> habe ich folgendes:
>
> Induktionsanfang:
> Sei n = 1. Dann ist A [mm]\in \IK^{n \times n}[/mm] = [mm]\IK^{1 \times 1}.[/mm]
>
> Also: [mm]\begin{pmatrix}
0
\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \begin{pmatrix}
0
\end{pmatrix}^1[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}
0
\end{pmatrix}[/mm] = O.
>
> Induktionsvoraussetzung:
> Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Es gelte [mm]A^n[/mm] = O.
Das ist nicht allgemein genug! Du musst schreiben:
``Sei $n [mm] \in \IN$. [/mm] Es gelte [mm] $A^n [/mm] = 0$ fuer alle $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen $A$ wie in der Aufgabenstellung.'' (oder so aehnlich.)
Hier ist die Matrix $A$ ja insb. abhaengig von der Groesse $n$, und nicht konstant fuer alle $n$.
> Induktionsschritt:
> ?
>
> Hier weis ich jetzt überhaupt nicht mehr weiter. Mein
> größtes Problem ist, dass sich beim Schritt nach n+1 ja die
> Matrixgröße ändert. Also A [mm]\in \IK^{n+1 \times n+1}.[/mm]
>
> Dadurch fällt mir keine Möglichkeit ein, in
> irgendeinerweise die Induktionsvoraussetzung anzuwenden, da
> die Matrix für [mm]A^n[/mm] ja jeweils eine Spalte und eine Zeile
> weniger hat.
Da koenntest du ueber Blockmatrizen gehen, wenn dir das etwas sagt. Dann koenntest du [mm] $A^2$ [/mm] in der Form [mm] $A^2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ [/mm] schreiben mit einer Matrix $B$ wie in der Aufgabenstellung; die Nullen in der Blockmatrix sind dabei jeweils Spalten- oder Zeilenvektoren bzw. eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix.
Bei dem Induktionsansatz bekommst du allerdings ein Problem, wenn du die Induktionsvoraussetzung so formulierst, naemlich, dass du zwar [mm] $A^k$ [/mm] mit $k > 1$ in der Blockform hast und mit dem oberen rechten Block, nennen wir ihn mal $B$, weitermachen kannst, aber dann [mm] $B^{n-1} [/mm] = 0$ bekommst, du aber sowas wie [mm] $B^{n/2} [/mm] = 0$ braeuchtest, um auf [mm] $A^n [/mm] = 0$ zu kommen.
> An sich ist mir klar, dass dies eine wahre Aussage ist. Ich
> habe auch schon ein paar Beispiele durchgerechnet und daran
> erkannt, dass das Dreieck von Multiplikation zu
> Multiplikation "schrumpft".
Genau.
> Aber einen richtigen
> Lösungsansatz habe ich, wie ihr seht, noch nicht wirklich.
Mach's doch wie folgt:
Definiere [mm] $A_i [/mm] := [mm] A^i$, [/mm] also [mm] $A_{i+1} [/mm] = A [mm] A_i$. [/mm] Sei [mm] $A_i [/mm] = [mm] (a^{(i)}_{k\ell})_{k,\ell}$. [/mm] Dann zeigst du per Induktion nach $i$, dass [mm] $a^{(i)}_{k \ell} [/mm] = 0$ ist fuer $k > [mm] \ell [/mm] - i$. Daraus folgt insbesondere, dass [mm] $A^n [/mm] = [mm] A_n [/mm] = 0$ ist.
> Für Tipps und Denkanstöße wäre ich sehr dankbar.
>
> Noch eine kleine Anmerkung: Beim Suchen nach
> "Dreiecksmatrix" in Google etc. habe ich oft gesehen, dass
> der Begriff "Determinante" wohl sehr stark mit
> Dreiecksmatrizen zusammenhängt. Der kam bisher aber noch
> nicht in unserer Vorlesung dran, also bitte bei den Tipps
> nicht darauf beziehen :)
Anstelle Determinante wuerde ich hier eher Eigenwerte und charakteristisches Polynom (was die Determinante benutzt) zusammen mit dem Satz von Cayley-Hamilton verwenden: damit ist die Aussage eigentlich trivial :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 09.12.2007 | | Autor: | MrFair |
Hallo Felix,
schonmal vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Bevor ich zu meiner ausgearbeiteten Lösung komme, noch kurz zu dem was du geschrieben hast:
Da wir Determinanten wie gesagt noch nicht hatten, ist deine Anmerkung zum Schluss für mich ziemlich verwirrend, aber ich versuche, dass mal im Hinterkopf zu behalten :)
Kann es übrigens sein, dass du die Bedingung falsch ausgelegt hast?
Du betrachtest ja eine obere Dreiecksmatrix, aber durch die Bedingung erhält man ja eine untere Dreiecksmatrix. Beispiel:
Sei n = 3.
Dann gilt (nach Bedingung:)
[mm] a_{11} [/mm] = 0, [mm] a_{12} [/mm] = 0, [mm] a_{13} [/mm] = 0,
[mm] a_{21} [/mm] = b, [mm] a_{22} [/mm] = 0, [mm] a_{23} [/mm] = 0,
[mm] a_{31} [/mm] = c, [mm] a_{32} [/mm] = d, [mm] a_{33} [/mm] = 0.
mit b, c, d [mm] \in \IR [/mm]
Also:
[mm] \pmat{
0 & 0 & 0 \\
b & 0 & 0 \\
c & d & 0}
[/mm]
Oder hast du das für extra gemacht, damit ich selbst noch etwas mitdenken muss? Wenn ja, dann find ich das eigentlich gar nicht verkehrt :)
Jetzt aber zu meiner Lösung mit deinem Ansatz:
> Mach's doch wie folgt:
>
> Definiere [mm]A_i := A^i[/mm], also [mm]A_{i+1} = A A_i[/mm]. Sei [mm]A_i = (a^{(i)}_{k\ell})_{k,\ell}[/mm].
> Dann zeigst du per Induktion nach [mm]i[/mm], dass [mm]a^{(i)}_{k \ell} = 0[/mm]
> ist fuer [mm]k > \ell - i[/mm]. Daraus folgt insbesondere, dass [mm]A^n = A_n = 0[/mm]
> ist.
Ich habe diesen Ansatz benutzt, aber ein bischen die Variablennamen (damit es keine Verwechlsung durch das i etc. gibt) und natürlich die Bedingung entsprechend geändert (i - m < j).
Also, jetzt gehts los:
Sei A = [mm] ((a_{ij})) [/mm] eine n [mm] \times [/mm] n - Matrix wie in der Aufgabenstellung.
Definiere [mm] A_{m} [/mm] := [mm] A^m [/mm] (also [mm] A_{m+1} [/mm] = [mm] A*A^m) [/mm] (m [mm] \in \IN)
[/mm]
Sei [mm] A_{m} [/mm] = [mm] (a^{(m)}_{ij}) [/mm] mit i,j [mm] \in [/mm] {1, ..., n} und [mm] a^{(m)}_{ij} [/mm] = 0 für i [mm] \le [/mm] j
Behauptung: Es gilt [mm] a^{(m)}_{ij} [/mm] = 0 für i - m < j [mm] \forall [/mm] i, j [mm] \in [/mm] {1, ..., n}
Induktionsanfang:
Setze m = 1
Also: [mm] A_{1} [/mm] = [mm] A^1
[/mm]
Nach Voraussetzung [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für i [mm] \le [/mm] j gilt:
[mm] A^1 [/mm] = A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a_{21} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn-1} & 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{ij} [/mm] = 0 für i - 1 < j (z.B. [mm] a_{23} [/mm] = 0!), also [mm] a^{(1)}_{ij} [/mm] = 0 für i - 1 < j
Induktionsvoraussetzung (IV):
Sei m [mm] \in \IN. [/mm] Es gelte [mm] a^{m}_{ij} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i,j [mm] \in [/mm] {1, ..., n}: i -m < j
Induktionsschritt:
Betrachte [mm] A_{m+1}:
[/mm]
i - (m+1) < j [mm] \gdw [/mm] i - m < j + 1
Nach IV gilt: [mm] a^{(m)}_{ij} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i,j [mm] \in [/mm] {1, ..., n}: i -m < j
Aus IV folgt: [mm] a^{(m+1)}_{ij} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i,j [mm] \in [/mm] {1, ..., n}: i -m < j+1
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
D.h. für [mm] A_{m}: [/mm] Je größer m wird, desto größer wird die Anzahl der [mm] a_{ij} [/mm] = 0 in [mm] A_{m}
[/mm]
Betrachte nun [mm] A^n:
[/mm]
Es gilt i [mm] \in [/mm] {1, ..., n}
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] i: i [mm] \le [/mm] n [mm] \gdw [/mm] i - n [mm] \le [/mm] 0
Da j [mm] \in [/mm] {1, ..., n } gilt [mm] \forall [/mm] j: j [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] i, j [mm] \in [/mm] {1, ...n}: i -n [mm] \le [/mm] 0 < j [mm] \gdw [/mm] i -n < j
Also: [mm] A_{n} [/mm] = 0.
Da [mm] A_{n} [/mm] = [mm] A^n [/mm] folgt nun [mm] A^n [/mm] = 0.
Was sagst du/ihr dazu?
Nochmals vielen Dank für deine Antwort!
Ich würde mich noch sehr darüber freuen, wenn du kurz erläutern könntest, wie du auf diesen Ansatz gekommen bist. Denn die Induktion bzw. die Lösung (insofern sie richtig ist) mit Hilfe deines Ansatzes ist mir jetzt recht leicht gefallen. Blos wüsste ich nicht, wie ich selbst darauf kommen könnte.
/Edit: Ein paar Fehlerchen ausgemerzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 So 09.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> schonmal vielen vielen Dank für deine Hilfe!
> Bevor ich zu meiner ausgearbeiteten Lösung komme, noch
> kurz zu dem was du geschrieben hast:
> Da wir Determinanten wie gesagt noch nicht hatten, ist
> deine Anmerkung zum Schluss für mich ziemlich verwirrend,
> aber ich versuche, dass mal im Hinterkopf zu behalten :)
Schau es dir am besten wieder an, wenn ihr den Satz von Cayley-Hamilton hattet. :)
> Kann es übrigens sein, dass du die Bedingung falsch
> ausgelegt hast?
Ja, ich hab's zu fluechtig gelesen und an obere Dreiecksmatrizen gedacht. Ist aber egal, bei unteren Dreiecksmatrizen geht's genauso :)
> Jetzt aber zu meiner Lösung mit deinem Ansatz:
>
> > Mach's doch wie folgt:
> >
> > Definiere [mm]A_i := A^i[/mm], also [mm]A_{i+1} = A A_i[/mm]. Sei [mm]A_i = (a^{(i)}_{k\ell})_{k,\ell}[/mm].
> > Dann zeigst du per Induktion nach [mm]i[/mm], dass [mm]a^{(i)}_{k \ell} = 0[/mm]
> > ist fuer [mm]k > \ell - i[/mm]. Daraus folgt insbesondere, dass [mm]A^n = A_n = 0[/mm]
> > ist.
>
> Ich habe diesen Ansatz benutzt, aber ein bischen die
> Variablennamen (damit es keine Verwechlsung durch das i
> etc. gibt) und natürlich die Bedingung entsprechend
> geändert (i - m < j).
Ok :)
> Also, jetzt gehts los:
>
> Sei A = [mm]((a_{ij}))[/mm] eine n [mm]\times[/mm] n - Matrix wie in der
> Aufgabenstellung.
> Definiere [mm]A_{m}[/mm] := [mm]A^m[/mm] (also [mm]A_{m+1}[/mm] = [mm]A*A^m)[/mm] (m [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Sei [mm]A_{m}[/mm] = [mm](a^{(m)}_{ij})[/mm] mit i,j [mm]\in[/mm] {1, ..., n} und
> [mm]a^{(m)}_{ij}[/mm] = 0 für i [mm]\le[/mm] j
>
> Behauptung: Es gilt [mm]a^{(m)}_{ij}[/mm] = 0 für i - m < j [mm]\forall[/mm]
> i, j [mm]\in[/mm] {1, ..., n}
> Induktionsanfang:
> Setze m = 1
> Also: [mm]A_{1}[/mm] = [mm]A^1[/mm]
> Nach Voraussetzung [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für i [mm]\le[/mm] j gilt:
> [mm]A^1[/mm] = A = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a_{21} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn-1} & 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_{ij}[/mm] = 0 für i - 1 < j (z.B. [mm]a_{23}[/mm] = 0!),
> also [mm]a^{(1)}_{ij}[/mm] = 0 für i - 1 < j
>
> Induktionsvoraussetzung (IV):
> Sei m [mm]\in \IN.[/mm] Es gelte [mm]a^{m}_{ij}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] i,j [mm]\in[/mm] {1,
> ..., n}: i -m < j
>
> Induktionsschritt:
> Betrachte [mm]A_{m+1}:[/mm]
> i - (m+1) < j [mm]\gdw[/mm] i - m < j + 1
> Nach IV gilt: [mm]a^{(m)}_{ij}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] i,j [mm]\in[/mm] {1, ...,
> n}: i -m < j
> Aus IV folgt: [mm]a^{(m+1)}_{ij}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] i,j [mm]\in[/mm] {1, ...,
> n}: i -m < j+1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
Das versteh ich jetzt nicht ganz. Das musst du doch zeigen? Wenn die IV fuer $m+1$ schon gilt, dann muesstest du ja gar nichts mehr zeigen.
Du musst schon einmal explizit die Matrizenmultiplikation mit $A$ betrachten, also [mm] $a_{ij}^{(m+1)}$ [/mm] durch die [mm] $a_{k\ell}^{(m)}$ [/mm] und [mm] $a_{xy}$ [/mm] beschreiben.
> Nochmals vielen Dank für deine Antwort!
> Ich würde mich noch sehr darüber freuen, wenn du kurz
> erläutern könntest, wie du auf diesen Ansatz gekommen bist.
Intuition  Ich glaube man muss einfach oft genug solche Aufgaben und Beweise gesehen haben, dann kommt man auch auf solche Ideen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:48 Mo 10.12.2007 | | Autor: | MrFair |
Hallo Felix,
ja, du hast wohl recht mit der Induktion. So richtig bewiesen hab ich da wohl wirklich nichts :/
Aber ich tu mich momentan irgendwie etwas schwer mit der abstrakten Matrixmultiplikation (an sich ist das schon klar, aber wie mache ich das bei einer willkürlich großen Matrix?)
Egal, heute Hmittag ist die Übung, da werd ich ja die Musterlösung präsentiert bekommen.
Aber nochmal vielen Dank, für deine Mühe!
Gruß,
Björn
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