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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Hulpi |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Eine untere Dreiecksmatrix ist invertierbar genau dann wenn ihre Diagonalelemente verschieden von Null sind.
b) Die Inverse einer oberen und einer unteren invertierbaren Dreiecksmatrix ist wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix.
c) Die Menge aller unteren (oberen) Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonalen bilden bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe. |
Hallo,
ich komm bei der a) und der b) nicht weiter, will aber meine Lösung von der c) auch aufschreiben und euch fragen ob die stimmt.
Meine Ansätze:
a) Wenn man sich eine Matrix $ [mm] A\in R^{nxn} [/mm] $ nimmt, die wenigstens eine 0 auf der Diagonalen hat, so kann man keine Matrix $ [mm] A^{-1} [/mm] $ finden, sodass $ [mm] A*A^{-1}=I [/mm] $ ergibt, da man aus der 0 in keinem Fall eine 1 für die Diagonale von I bekommt.
b) Hier hab ich leider keine Ahnung
c) Hier muss man lediglich die Eigenschaften einer Gruppe verifizieren:
Assoziativität: Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, also gilt dies auch für Dreiecksmatrizen.
Existenz eines neutralen Elements: Zu jeder Dreicksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen, also keine nilpotente Matrix, existiert ein neutrales Element. In diesem Fall I. Ließe sich wahrscheinlich auch aus a) und b) folgern, wen man die hätte.
Existenz einer Inversen: Es gibt gibt zu jeder Matrix mit Elementen auf der Diagonalen eine Inverse. Ließe sich vielleicht auch mit b) verifizieren.
Reicht das aus oder müsste man hier mehr begründen?
Naja und was a) und b) betrifft weiß ich nicht wie ich das angehen soll, denn es ist ja schließlich allgemein zu zeigen und nicht durch ein Beispiel.
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen
Gruß,
Hulpi
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Moin,
a) Zeige die Richtung "$\ [mm] \Rightarrow [/mm] $" und anschließend "$ [mm] \Leftarrow [/mm] $ ". Klingt nicht hilfreich, ist es aber sicher.
"$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ " Sei also die untere $ [mm] \n \times [/mm] n$-Dreiecksmatrix $ A $ invertierbar $ [mm] \Rightarrow [/mm] $...
"$ [mm] \Leftarrow$" [/mm] Seien die Diagonalelemente von $ A $ ungleich Null $ [mm] \Rightarrow [/mm] .... $
Du musst in jedem fall etwas mehr in die Tiefe gehen, als ich das hier tat. Aber das soll auch nur eine Hilfestellung sein. Überleg' dir, welche Bedingungen erfüllt sein müssen für die von mir genannten Voraussetzungen.
b) Was ist an der Inversen denn besonders? Richtig. Es gilt $ [mm] A*A^{-1} [/mm] = E = [mm] A^{-1}A [/mm] $. Überleg dir nun etwas dazu.
c) Du kennst die Definition von oberen/unteren Dreiecksmatrizen und ebenso die Definition des Matrixproduktes.
Jetzt einfach die zu beweisende Aussage verifizieren.
Meld dich, wenn du noch Schwierigkeiten hast.
Viele Grüße
ChopSuey
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