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Forum "Deutsche Mathe-Olympiade" - Dreieckspyramide (410936)
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Dreieckspyramide (410936): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Fr 04.07.2008
Autor: tuxor

Aufgabe
Zeigen Sie, dass es in jeder dreiseitigen Pyramide ABCD eine Ecke gibt, sodass man aus den drei Kanten, die von dieser Ecke ausgehen, ein Dreieck bilden kann.

Komme ich mit einem solchen Ansatz weiter? Gibt es einen einfacheren? Ich komme zwar nicht sonderlich weit mit meiner Idee, aber ich habe auch keine bessere:

Ich gehe davon aus, dass gemeint ist, dass drei Kanten mit einer Ecke existieren, deren Beträge die Dreiecksungleichungen erfüllen.
Erfüllen drei Kanten diese NICHT, so heißt das immer, dass zwei der drei Ungleichungen zutreffen, eine jedoch nicht:
a+b < c und b+c < a
Addition führt zu: a+b+b+c < c+a [mm] \Rightarrow [/mm] 2b < 0
a+b < c und c+a < b
Addition führt analog zu: a+b+c+a < b+c [mm] \Rightarrow [/mm] 2a < 0
Wir haben also Ecke A unserer Pyramide, in der folgendes gilt:
AD > AB + AC [1] und AB + AD > AC und AC + AD > AB
In den Dreiecksflächen gilt natürlich die Dreiecksungleichung ausnahmslos:
AB + BD > AD und AC + CD > AD
Addition führt zu: AB + AC + BD + CD > 2AD [2]
[1] und [2] ergeben subtrahiert BD + CD > AD

Anmerkungen? Ideen?

Viele Grüße
tuxor

Nachtrag: Nein, ich halte das, was ich da hingeschrieben habe nicht für eine Lösung. Ich wollte nur wissen, ob das ein möglicher _Ansatz_ ist ;)

        
Bezug
Dreieckspyramide (410936): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Fr 04.07.2008
Autor: abakus


> Zeigen Sie, dass es in jeder dreiseitigen Pyramide ABCD
> eine Ecke gibt, sodass man aus den drei Kanten, die von
> dieser Ecke ausgehen, ein Dreieck bilden kann.
>  Komme ich mit einem solchen Ansatz weiter? Gibt es einen
> einfacheren? Ich komme zwar nicht sonderlich weit mit
> meiner Idee, aber ich habe auch keine bessere:
>  
> Ich gehe davon aus, dass gemeint ist, dass drei Kanten mit
> einer Ecke existieren, deren Beträge die
> Dreiecksungleichungen erfüllen.
>  Erfüllen drei Kanten diese NICHT, so heißt das immer, dass
> zwei der drei Ungleichungen zutreffen, eine jedoch nicht:

Vorsicht! Diese  Annahme ist zwar naheliegend, aber ohne tiefere Untersuchung logisch falsch.
Es kann ja durchaus sein, dass nicht einmal zwei, sondern weniger als zwei der drei Ungleichungen zutreffen.

>  a+b < c und b+c < a
>  Addition führt zu: a+b+b+c < c+a [mm]\Rightarrow[/mm] 2b < 0
>  a+b < c und c+a < b
>  Addition führt analog zu: a+b+c+a < b+c [mm]\Rightarrow[/mm] 2a <
> 0
>  Wir haben also Ecke A unserer Pyramide, in der folgendes
> gilt:
>  AD > AB + AC [1] und AB + AD > AC und AC + AD > AB

>  In den Dreiecksflächen gilt natürlich die
> Dreiecksungleichung ausnahmslos:
>  AB + BD > AD und AC + CD > AD

>  Addition führt zu: AB + AC + BD + CD > 2AD [2]

>  [1] und [2] ergeben subtrahiert BD + CD > AD

>  
> Anmerkungen? Ideen?
>  
> Viele Grüße
>  tuxor

Der Beweis sollte wohl indirekt funktionieren. Man nimmt an, dass es KEINE Ecke gibt, bei der die von dieser Ecke ausgehenden Seiten die Dreiecksungleichung erfüllen und führt diese Annahme zu einem Widerspruch.
Gruß Abakus


>  
> Nachtrag: Nein, ich halte das, was ich da hingeschrieben
> habe nicht für eine Lösung. Ich wollte nur wissen, ob das
> ein möglicher _Ansatz_ ist ;)


Bezug
                
Bezug
Dreieckspyramide (410936): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Fr 04.07.2008
Autor: tuxor


> Vorsicht! Diese  Annahme ist zwar naheliegend, aber ohne
> tiefere Untersuchung logisch falsch.
>  Es kann ja durchaus sein, dass nicht einmal zwei, sondern
> weniger als zwei der drei Ungleichungen zutreffen.

Nein im nachfolgenden habe ich doch gezeigt, dass in dem Fall eine Seite eine negative Länge haben müsste, was ja nicht geometrisch sinnvoll ist. Also zumindest bei unserer Aufgabe hier nicht.

Da ich irgendwie nach längerem herumrechnen mit den Dreiecksungleichungen immernoch zu keinem Ergebnis gekommen bin, wollte ich jetzt doch mal fragen, ob jemand vielleicht einen anderen Ansatz parat hat... ?

Bezug
                        
Bezug
Dreieckspyramide (410936): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Sa 05.07.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Das das ganze eine Wettbewerbsaufgabe ist (zumindest hast d das in das Forum gesteckt), kann (und darf) ich dir hier höchstens Ansätze geben.

Alternativ. Bestimme mal die Geradengleichungen der drei Seiten des Rechteckes, und rechne damit mal ein wenig rum.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Dreieckspyramide (410936): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Sa 05.07.2008
Autor: tuxor

Erstmal sei gesagt, dass ich diese Aufgabe aus keinem _laufenden_ Wettbewerb genommen habe. Im Titel steht schon die Nummer der Aufgabe 410936, die besagt, dass diese Aufgabe in der 41. Matheolympiade in der 3. Runde den Neuntklässlern als 6. Aufgabe gestellt wurde. Die 41. Matheolympiade war vor über 6 Jahren und die dort gestellten Aufgaben können jederzeit unter http://www.mathematik-olympiaden.de/archiv.html aufgerufen werden.

Nun meine Lösung: Es sei dies eine Draufsicht auf die Dreieckspyramide.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie schon erwähnt kann von den drei Dreiecksungleichungen immer nur eine falsch sein. Wenn noch eine zweite falsch ist, dann muss die eine Dreiecksseite eine negative Länge haben und das ist nicht sinnvoll.
Weiterhin gilt: Wenn z.B. an Ecke D die Kante f länger ist als d und e zusammen, dann kann sie aber nicht gleichzeitig länger sein als c und a zusammen. Hier der Beweis dafür:
[mm]f > d + e \wedge f > a +c \Rightarrow 2f > d + e +a + c[/mm]
[mm]e + a > f \wedge d + c > f \Rightarrow a + d +e + c > 2f[/mm]
Das ist natürlich ein Widerspruch und deswegen geht es nicht ;)
Eine Kante kann also immer nur an EINER Ecke länger sein als die Summe der jeweils beiden anderen Kanten an dieser Ecke.

Ich behaupte weiterhin, dass wenn eine Kante länger ist, als die Summe der beiden anderen Kanten einer Ecke, dass dann diese lange Kante länger sein muss als die ihr gegenüberliegende:
[mm]f > d + e \wedge d + e > b \Rightarrow f > b[/mm]

Jeder Kante liegt aber nur genau eine Kante gegenüber, sodass es bei den sechs Kanten insgesamt also drei solche Kantenpaare gibt. Es gibt jedoch vier Ecken, und deswegen kann es nicht an jeder Ecke eine Kante geben die größer ist als die anderen beiden Kanten an dieser Ecke zusammen.
Wir unterscheiden die beiden möglichen Fälle:
[mm]f > d + e \Rightarrow f > b[/mm]
[mm]d > b + c \Rightarrow d > a[/mm]
[mm]e > b + a \Rightarrow\;e > c[/mm]
Der andere Fall ist:
[mm]f > d + e \Rightarrow f > b[/mm]
[mm]c > d + b \Rightarrow c > e[/mm]
[mm]a > e + b \Rightarrow\;a > d[/mm]
In beiden Fällen muss man also aus den Kanten an der Ecke B (a, f, c) ein Dreieck bilden können.
(Ich unterscheide nur zwischen zwei Fällen, weil alle anderen Fälle diesen entsprechen - es erfolgt nur eine Vertauschung der Kanten)

Mein Ergebnis basiert also tatsächlich schlussendlich auf den Dreiecksungleichungen und ich halte sie auch für recht ansehnlich. Hat jemand bedenken, so soll er sie bitte äußern. Ich würde gerne auf etwaige Lücken in der Argumentation hingewiesen werden :)

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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