matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGeraden und EbenenDreiseitige Pyramide ...
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Geraden und Ebenen" - Dreiseitige Pyramide ...
Dreiseitige Pyramide ... < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Geraden und Ebenen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dreiseitige Pyramide ...: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:20 Do 16.02.2023
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben ist eine schiefe dreiseitige Pyramide mit den Punkten ABCP, und der Grundfläche ABC. Die Grundfläche liegt in der x-y-Ebene. Die Pyramide wird außerdem durch die Ebenen [mm] E_1, E_2 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] begrenzt.

[mm] E_1 [/mm] :  7x-7y-5z = 7                [mm] E_2: [/mm]  7x +7y +6z = 35.

Die Ebene [mm] E_3 [/mm] enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur x-y-Ebene.

B (-3 / -4 / 0).


a) Weisen Sie nach, dass der Eckpunkt A die Koordinaten (3 / 2 / 0) besitzt.

b) Berechnen Sie aller Punkt [mm] C_i [/mm] in der x-y-Ebene, für die die Dreiecke [mm] ABC_i [/mm] rechtwinklig sind (AB [mm] \perp AC_i) [/mm] und einen Flächeninhalt von 30 FE haben.

c) Der Punkt C (8 / -3 ( 0) ist ein Punkt der Ebene [mm] E_3. [/mm] Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene [mm] E_3. [/mm]

d) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an. Berechnen Sie anschließend das Volumen der Pyramide ABCP.

e) Eine Ebene [mm] E_4 [/mm] geht durch den Punkt P und liegt parallel zu der Geraden durch B und C. Sie teilt die Pyramide ABCP in zwei Teilkörper [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2, [/mm] wobei A ein Eckpunkt des Teilkörpers [mm] K_1 [/mm] ist. Das Verhältnis der Volumina von [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] ist 1:3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene [mm] E_4. [/mm]





Moin Moin,

mich interessieren zunächst Lösungsansätze und ob es ggf. andere (einfache) Lösungswege gibt...

zu a)  

Wenn die Ebenen [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] die Pyramide begrenzen, enthalten diese Ebenen jeweils eine Seitenfläche der Pyramide.

Da [mm] E_2 [/mm] die Punkte B und A enthält, enthält [mm] E_2 [/mm] die vordere Seitenfläche der Pyramide.

Da [mm] E_1 [/mm] den Punkt A enthält, enthält [mm] E_1 [/mm] die linke Seitenfläche der Pyramide.

A muss daher auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] liegen.

[mm] E_1 [/mm] - [mm] E_2 [/mm]   - - >   -14y -11 z = -28

Da A in der x-y-Ebene liegt muss z =0 sein  =>  y = 2.

Dies in [mm] E_2 [/mm] oder [mm] E_1 [/mm] eingesetzt  ergibt für A die x-Koordinate

bspw.  7x -7*2 -5*0 = 7    => x = 3


Gibt es weitere oder auch einfachere Ideen?


zu b)

Da der rechte Winkel bei A liegen soll, müssen die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC_i} [/mm] orthogonal verlaufen, d.h.
ihr Skalarprodukt muss null ergeben.

[mm] \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC_i} [/mm] = 0

[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 2 \\0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AC_i} [/mm] = [mm] \vektor{c_1 \\ c_2 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 2 \\0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{c_1 -3 \\ c_2 -2 \\0} [/mm]


[mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} \circ \vektor{c_1 -3 \\ c_2 -2 \\0} [/mm]
= 0

[mm] -6c_1 [/mm] + 18 [mm] -6c_2 [/mm] +12 = 0

[mm] -6c_1 [/mm] + 30 = [mm] 6c_2 [/mm]

[mm] c_2 [/mm] = [mm] -c_1 [/mm] +5


[mm] C_i (c_1 [/mm] / [mm] -c_1 [/mm] +5 / 0)


Probe

[mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} \circ \vektor{c_1 -3 \\ -c_1 +5 -2 \\0} [/mm]
= 0


Weiter. Ferner soll der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks 30 FE betragen.

1. Weg

[mm] A_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{g*h}{2} [/mm]

[mm] A_{Dreieck} [/mm] =  [mm] \bruch{AB*AC_i}{2} [/mm]

| AB | = [mm] \wurzel{(-6)^2 + (-6)^2 +0} [/mm] = [mm] 6*\wurzel{2} [/mm]

| [mm] AC_i [/mm] | = [mm] \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]

30 = [mm] \bruch{ 6*\wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0}}{2} [/mm]

30 = [mm] 3*\wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]


  10 = [mm] \wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]

100 = [mm] 2*((c_1 -3)^2 [/mm] + (-c1 [mm] +3)^2) [/mm]

[mm] c_{1,1} [/mm] = 8
[mm] c_{1,2} [/mm] = -2


2. Weg

A = 1/2* | [mm] \overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC_i} [/mm]


30 = 1/2* | [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} [/mm] x [mm] \vektor{c_1 -3 \\ -c_1 +3\\0}| [/mm]


30 = 1/2* | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\6c_1-18 - (-6c_1+18)} [/mm] |

30 = 1/2* | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\12c_1-36} [/mm] |

60 = [mm] \wurzel{(12c_1-36)^2} [/mm]

3600 = [mm] (12c_1-36)^2 [/mm]  

[mm] 12c_1 [/mm] -36 = [mm] \pm [/mm] 60

[mm] c_{1,1} [/mm] = 8
[mm] c_{1,2} [/mm] = -2


zu c)

Die Ebene [mm] E_3 [/mm] enthält die rechte Seitenfläche der Pyramide.

Sie enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur x-y-Ebene.


1. Weg

D.h. ein Normalenvektor von [mm] E_3 [/mm] muss senkrecht zum Normalenvektor der x-y-Ebene verlaufen.

[mm] \vec{n_3} \circ \vec{n_{xy}} [/mm] = 0

[mm] \vec{n_3} \circ \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm]  = 0

=> [mm] \vec{n_3} [/mm] =  [mm] \vektor{a \\ b \\ 0 } [/mm]


Normalenform von [mm] E_3 [/mm]  

[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0 }] \circ \vektor{a \\ b \\ 0 } [/mm] = 0


I. ax +by = -3a -4b

Da [mm] E_3 [/mm] den Punkt enthält  


a*8 +b*(-3) = -3a - 4b     bzw.   b = -11a


b eingesetzt in I. ergibt

II.  ax -11ay = -3a +44a

Da a [mm] \ne [/mm] 0 sein muss  =>  [mm] E_3: [/mm]   x - 11y = 41


Gibt es vielleicht noch einfachere Wege?


*** Ergänzung ***  

2. Weg

Da [mm] E_3 [/mm] senkrecht zur x-y-Ebene verlaufen soll, verläuft [mm] E_3 [/mm] in BC-Richtung und in z-Richtung!

=>  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0} +r*\vektor{11 \\ 1 \\ 0} +s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]


[mm] \vektor{11 \\ 1 \\ 0}x\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] r*\vektor{1 \\ -11 \\ 0} [/mm]


[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0 }] \circ \vektor{1 \\ -11 \\ 0 } [/mm] = 0

x -11y = 41

***






zu d)

Bei der Berechnung von P ist mir ein Fehler unterlaufen!

Der Punkt P, die Spitze der Pyramide, ist der Punkt, an dem die drei Ebenen [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] sich schneiden.

Ich bilde zunächst die Schnittgeraden von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] sowei von [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3. [/mm] Dann ermittle ich den Schnittpunkt der beiden Schnittgeraden und erhalte P.


Auch hier: Gibt vielleicht noch andere Ideen?

[mm] E_1 -7*E_3 [/mm]

     7x-7y-5z = 7

(-)  x -11y = 41   | *7

[mm] g_1: [/mm]     70y -5z = -280    ok


[mm] E_2 -7*E_3 [/mm]

     7x+7y+6z = 35

(-)  x -11y = 41   | *7

[mm] g_2: [/mm]     70y +6z = -252

Ergänzung

[mm] g_2 [/mm] : 84y +6z = -252


[mm] g_1 [/mm] - [mm] g_2 [/mm]

-11z = -28    =>  z = [mm] \bruch{28}{11} [/mm]

z in [mm] g_2 [/mm] eingesetzt   =>  y = - [mm] \bruch{42}{11} [/mm]


und y und z in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt  =>  x = -1  


=>  P (-1 /  - [mm] \bruch{42}{11} [/mm] / [mm] \bruch{28}{11}) [/mm]



Ergänzung

[mm] 6*g_1 [/mm] + [mm] 5*g_2 [/mm]

840y = -2940    =>  y = -3,5

y in [mm] g_2 [/mm] eingesetzt   =>  z = 7


und y und z in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt  =>  x = 2,5


=>  P (2,5 /  - 3,5 / 7 )

Dies hat natürlich auch Einfluß auf die Volumenberechnung und auf Aufgabenteil e); s.u.!!



Volumenberechnung

1. Weg

V = [mm] \bruch{1}{3}G*h [/mm]

Die Grundfläche  G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC} [/mm] |

G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\ 0}x\vektor{5 \\ -5 \\0 }| [/mm]
G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 60}| [/mm]

G = 30 FE


Mir fällt gerade auf, dass der C ja zu einem rechtwinkligen Dreieck führt !

Da die Höhe hier der Abstand der Spitze zur x-y-Ebene ist, und die Grundfläche in der x-y-Ebene liegt, kann h direkt abgelesen werden.

Ergänzung

V = [mm] \bruch{1}{3}*30*\bruch{28}{11} \approx [/mm] 25,45 VE

V = [mm] \bruch{1}{3}*30*7 [/mm] = 70 VE

2. Weg

Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide kann über 1/6 des Spatprodukts berechnet werden...


V = [mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]

V = [mm] \bruch{1}{6}*\vektor{0 \\ 0 \\ 60} \circ \vektor{-1 -3 \\ -42/11 -2 \\ 28/11} [/mm]


V = [mm] \bruch{1}{6}*60*28/11 \approx [/mm] 25,45


V = [mm] \bruch{1}{6}*\vektor{0 \\ 0 \\ 60} \circ \vektor{2,5 -3 \\ -3,5 -2 \\ 7} [/mm]


V = [mm] \bruch{1}{6}*60*7 [/mm] = 70 VE



zu e)


Ich weiß einen Punkt P (-1 / -42/11 / 28/11)   P (2,5 / -3,5 / 7) der Ebene und eine Richtung der Ebene [mm] \overrightarrow{BC}. [/mm]

Ich kenne das Gesamtvolumen, also auch 1/4 bzw. 3/4 des Volumens.


Lösungsidee. Ich zeichne das Dreieck ABC, welches einen rechten Winkel bei A hat!! Und dann eine Parallele zu BC, diese schneidet die Kanten AB in D bzw. AC in E.

Da die Ebene parallel zu [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -5 \\ 0} [/mm] verläuft, schneidet sie die x-y-Ebene in den Punkten D und E (auf den Kanten AB und AC) im gleichen Verhältnis.

=>  

[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} +r*\overrightarrow{AB} [/mm]

[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} +r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0} [/mm]


[mm] \overrightarrow{OE} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} +r*\overrightarrow{AC} [/mm]

[mm] \overrightarrow{OE} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} +s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0} [/mm]


Ich möchte über das Spatprodukt (* 1/6) das Volumen von [mm] K_1 [/mm] berechnen. Dazu brauche ich die Punkte D und E.

[mm] V_{K1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AD}x\overrightarrow{AE})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]

[mm] V_{K1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]

[mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AD}x\overrightarrow{AE})\circ\overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]


[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0} [/mm]


[mm] \overrightarrow{AE} [/mm] = [mm] s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0} [/mm]


Da DE eine Parallele zu BC ist, gilt  r = s  !!


Eingesetzt in die Gleichung

[mm] \bruch{1}{6}*( r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}*s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0})\circ\overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]


=> r*s = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

und, wie gesagt, da r = s gilt  ist r = s = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]


=> D  ( 0 \ -1 \ 0)   und E (5,5 \ -0,5 \ 0)


=>  [mm] E_4 [/mm] :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -42/11 \\ 28/11 } +\mu*\vektor{1 \\ 31/11 \\ -28/11} +\lambda*\vektor{6,5 \\ 73/22 \\ -28/11} [/mm]  

Ergänzung

=>

[mm] E_4 [/mm] :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} +\mu*\overrightarrow{PD} +\lambda*\overrightarrow{PE} [/mm]



[mm] E_4 [/mm] :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2,5 \\ -3,5 \\ 7 } +\mu*\vektor{-2,5 \\ 2,5 \\ -7} +\lambda*\vektor{3 \\ 3 \\ -7} [/mm]  















Danke & Gruß




        
Bezug
Dreiseitige Pyramide ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Fr 17.02.2023
Autor: statler

Hi!

Erstmal nur zu e):

Die trennende Ebene geht durch P und die Seitenmitten von AB und AC, weil dann die Grundfläche 1:3 geteilt wird. Geht es damit nicht einfacher?

Gruß
Dieter

Bezug
                
Bezug
Dreiseitige Pyramide ...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Fr 17.02.2023
Autor: hase-hh

Stimmt. Das ist viel einfacher!

:)

Bezug
        
Bezug
Dreiseitige Pyramide ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Fr 17.02.2023
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> Gegeben ist eine schiefe dreiseitige Pyramide mit den
> Punkten ABCP, und der Grundfläche ABC. Die Grundfläche
> liegt in der x-y-Ebene. Die Pyramide wird außerdem durch
> die Ebenen [mm]E_1, E_2[/mm] und [mm]E_3[/mm] begrenzt.
>
> [mm]E_1[/mm] :  7x-7y-5z = 7                [mm]E_2:[/mm]  7x +7y +6z = 35.
>  
> Die Ebene [mm]E_3[/mm] enthält die Punkte B und C und steht
> senkrecht zur x-y-Ebene.
>
> B (-3 / -4 / 0).
>  
>
> a) Weisen Sie nach, dass der Eckpunkt A die Koordinaten (3
> / 2 / 0) besitzt.
>
> b) Berechnen Sie aller Punkt [mm]C_i[/mm] in der x-y-Ebene, für die
> die Dreiecke [mm]ABC_i[/mm] rechtwinklig sind (AB [mm]\perp AC_i)[/mm] und
> einen Flächeninhalt von 30 FE haben.
>
> c) Der Punkt C (8 / -3 ( 0) ist ein Punkt der Ebene [mm]E_3.[/mm]
> Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene [mm]E_3.[/mm]
>
> d) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an. Berechnen
> Sie anschließend das Volumen der Pyramide ABCP.
>
> e) Eine Ebene [mm]E_4[/mm] geht durch den Punkt P und liegt parallel
> zu der Geraden durch B und C. Sie teilt die Pyramide ABCP
> in zwei Teilkörper [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2,[/mm] wobei A ein Eckpunkt des
> Teilkörpers [mm]K_1[/mm] ist. Das Verhältnis der Volumina von [mm]K_1[/mm]
> und [mm]K_2[/mm] ist 1:3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene
> [mm]E_4.[/mm]
>  
>
> Moin Moin,
>  
> mich interessieren zunächst Lösungsansätze und ob es
> ggf. andere (einfache) Lösungswege gibt...
>  
> zu a)  
>
> Wenn die Ebenen [mm]E_1, E_2, E_3[/mm] die Pyramide begrenzen,
> enthalten diese Ebenen jeweils eine Seitenfläche der
> Pyramide.
>
> Da [mm]E_2[/mm] die Punkte B und A enthält, enthält [mm]E_2[/mm] die
> vordere Seitenfläche der Pyramide.
>
> Da [mm]E_1[/mm] den Punkt A enthält, enthält [mm]E_1[/mm] die linke
> Seitenfläche der Pyramide.
>  
> A muss daher auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen [mm]E_1[/mm]
> und [mm]E_2[/mm] liegen.
>
> [mm]E_1[/mm] - [mm]E_2[/mm]   - - >   -14y -11 z = -28

>
> Da A in der x-y-Ebene liegt muss z =0 sein  =>  y = 2.

>
> Dies in [mm]E_2[/mm] oder [mm]E_1[/mm] eingesetzt  ergibt für A die
> x-Koordinate
>
> bspw.  7x -7*2 -5*0 = 7    => x = 3
>  
>
> Gibt es weitere oder auch einfachere Ideen?
>  
>

Es genügt zu zeigen A ( 3 / 2 / 0 ) liegt in der x-y-Ebene, in [mm] $E_1$ [/mm] und in [mm] $E_2$. [/mm]
A in [mm] $E_1$: [/mm] $7*3-7*2+5*0=7$ ok
A in [mm] $E_2$: [/mm] $7*3+7*2+6*0=35$ ok
A in  x-y-Ebene, da z = 0

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Dreiseitige Pyramide ...: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Sa 18.02.2023
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Geraden und Ebenen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]