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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 So 31.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass
[mm] \IQ \cup \{x| sinx < 0.3333\} \cup \{x |e^{x} \in \IQ\} [/mm] Borelmenge in [mm] \IR [/mm] ist. |
Ich bin mir noch sehr unsicher, wie ich eine Borelmenge zu verstehen habe.
und vor allem, welche Kriterien muss ich nachweisen, um zu zeigen, dass mir eine Borelmenge vorliegt?
Ich weiß aus meiner Vorlesung, dass [mm] \IQ [/mm] eine Borelmenge ist. Da ich weiß, dass zwischen Borelmengen alle Mengenoperationen erlaubt sind und dennoch eine die Eigenschaften der Borelmenge erhalten bleiben, muss ich nur nachweisen, dass [mm] \{x| sinx < 0.3333\} [/mm] und [mm] \{x |e^{x} \not\in \IQ\} [/mm] ebenfalls Borelmengen sind.
Aber wie weiß ich das denn jetzt genau nach?
Ich weiß, dass [mm] \{x| sinx < 0.3333\} [/mm] eine Vereinigung mehrerer offener Mengen ist auf Grund der Eigenschaft der Signus Funktion. Was muss ich jetzt noch dazu wissen?
Die gleichen Fragen gelten auch für [mm] \{x |e^{x} \not\in \IQ\}.
[/mm]
Vielen Dank schon mal für die Hilfe! Lg
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Huhu,
kann es sein, dass du in der Aufgabenstellung ein \not vergessen hast?
nunja, dazu vorweg:
Ihr hattet bestimmt schon, dass für messbare Funktionen Mengen der Form [mm] $\{f(x) < c\}, \{f(x) \le c\}, \{f(x) = c\},\ldots$ [/mm] messbar ist, für alle [mm] c\in\IR.
[/mm]
Überleg dir nun, dass die Funktionen $f(x) = [mm] \sin(x), [/mm] g(x) = [mm] e^x$ [/mm] Borel-meßbar sind.
Das geht recht einfach über eine fundamentale Eigenschaft beider Funktionen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mo 01.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mo 01.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
Danke schon mal für deine Antwort.
Ja hast recht, ich habe da ein not vergessen.
Hier noch mal richtig:
Zeige dass [mm]\IQ \cup \{x| sinx < 0.3333\} \cup \{x |e^{x} \not\in \IQ\}[/mm] eine Borelmenge ist.
Zu deinem Rest, ich weiß leider nicht, wann eine Funktion messbar ist.
Kannst du mir sagen, was ich da nachweisen muss? Ich habe leider erst in 3 Stunden Zeit mich weiter mit dieser Aufgabe zu beschäftigen. Und dann frag und denke ich noch mal genauer darüber nach.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke schon mal für deine Antwort.
> Ja hast recht, ich habe da ein not vergessen.
> Hier noch mal richtig:
> Zeige dass [mm]\IQ \cup \{x| sinx < 0.3333\} \cup \{x |e^{x} \not\in \IQ\}[/mm]
> eine Borelmenge ist.
>
> Zu deinem Rest, ich weiß leider nicht, wann eine Funktion
> messbar ist.
Mach Dich schlau !!
> Kannst du mir sagen, was ich da nachweisen muss? Ich habe
> leider erst in 3 Stunden Zeit mich weiter mit dieser
> Aufgabe zu beschäftigen. Und dann frag und denke ich noch
> mal genauer darüber nach.
Klar: [mm] \IQ [/mm] ist Borelmessbar.
Zur 2. Menge:
Das Intervall [mm] I:=(-\infty, [/mm] 0.3333) ist offen, also Borel-messbar. f(x):=sin(x) ist stetig und somit messbar, damit ist
[mm] $f^{-1}(I) [/mm] Borel - messbar
Zur 3. Menge:
A:= [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] ist Borel-messbar. [mm] g(x):=e^x [/mm] ist stetig und somit messbar,
damit ist
[mm] $g^{-1}(A) [/mm] Borel - messbar
> lg
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