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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Talianna |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung [mm] $x^3-1=0" [/mm] in den komplexen Zahlen [mm] \IC. [/mm] Zeigen Sie weiterhin:
Für u,v [mm] \in \IC [/mm] gilt:
[mm] $u^3=v^3 \gdw [/mm] u = [mm] \zeta*v$ [/mm] mit einer Lösung [mm] \zeta [/mm] von [mm] $x^3-1=0$. [/mm] |
Hallo,
Ich habe ein Problem mit dem zweiten Teil der Aufgabe. Es handelt sich hier ja offensichtlich um die dritte Einheitswurzel, wodurch Teil 1 nicht sonderlich schwer war. Ich habe die folgenden Nullstellen raus:
[mm] $x_1 [/mm] = 1$
[mm] $x_{2,3} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \pm i*\frac{1}{2}*\wurzel{3}$.
[/mm]
Für die Berechnung habe ich ganz normal Cardano verwendet, und $u=1$ sowie $v=0$ rausbekommen.
Im zweiten Teil erscheint es mir nun unlogisch, dass [mm] $u^3=v^3$ [/mm] sein soll, das wäre doch einfach 1=0. Und auch [mm] $u=\zeta*v$ [/mm] bekomme ich mit den beiden gefundenen Lösungen nicht hin, da v ja Null ist, und somit rechts immer wieder Null stehen würde, und links 1. Aber [mm] $1\not=0$.
[/mm]
Ist "das ist nicht möglich" etwa wirklich die Lösung, oder übersehe ich hier etwas? Oder verstehe ich gar die Aufgabe falsch?
Ich hoffe, jemand von euch hat eine Idee.
Gruß
Talianna
Ps: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Huhu,
kurz zur Kontrolle eine andere Herangehensweise:
Offensichtlich ist x=1 Lösung von [mm] $x^3 [/mm] - 1 = 0$
Polynomdivision ergibt: [mm] $(x^3 [/mm] - 1):(x-1) = [mm] x^2 [/mm] + x + 1$
Und die Lösung davon ist nun:
$x = [mm] -\bruch{1}{2} \pm \sqrt{\bruch{1}{4} - 1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \pm i*\bruch{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
Deine Lösungen stimmen also soweit und diese nennen wir nun mal [mm] \zeta_j [/mm] mit $j [mm] \in \{1,2,3\}$
[/mm]
Du sollst nun zeigen:
[mm] $u^3 [/mm] = [mm] v^3 \gdw \exists [/mm] j [mm] \in \{1,2,3\}: [/mm] u = [mm] \zeta_j*v$
[/mm]
Die Rückrichtung ist denke ich klar und trivial......
Für die Hinrichtung überleg dir mal: [mm] $u^3 [/mm] = [mm] v^3 \gdw \left(\bruch{u}{v}\right)^3 [/mm] - 1= 0 [mm] \vee [/mm] v=0$
und nun mal a) verbraten 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Talianna |
Ehrlich gesagt find ich das nicht so trivial wie du, vielleicht steh ich aber auch einfach auf dem Schlauch.
Wenn ich doch jetzt aber da stehen habe [mm] $(\frac{u}{v})^3-1 [/mm] = 0. Und v=0 ist, so wie ich es ja auch ausgerechnet habe. Dann dividiere ich doch durch 0, und das darf man ja nicht.
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> Wenn ich doch jetzt aber da stehen habe [mm]$(\frac{u}{v})^3-1[/mm] = 0.
> Und v=0 ist, so wie ich es ja auch ausgerechnet habe.
> Dann dividiere ich doch durch 0, und das darf man ja nicht.
Hallo,
ich glaub', Dein Problem ist einfach, daß Du etwas in der Aufgabenstellung liest, was gar nicht geschrieben steht.
Die u,v der 2. Teilaufgabe haben mit denen, die Du in der 1. Teilaufgabe irgendwie definiert/verwendet hast, absolut überhaupt nichts zu tun.
u und v sind einfach irgendzwei beliebige komplexe Zahlen. Wie's dasteht...
Gruß v. Angela
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Huhu,
darum habe ich ja auch eine Fallunterscheidung gemacht mit:
$ [mm] u^3 [/mm] = [mm] v^3 \gdw \left(\bruch{u}{v}\right)^3 [/mm] - 1= 0 [mm] \vee [/mm] v=0 $
Da steht also:
1. Fall: [mm] $v\not= [/mm] 0$
$ [mm] \left(\bruch{u}{v}\right)^3 [/mm] - 1= 0$
2. Fall: $v = 0$
Dann gilt.....
Und trivial sagte ich ja nur bei der Rückrichtung. Da gilt die Gleichheit ja bereits und du musst nur Potenzieren......
MFG,
Gono.
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