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Drudel: was ist das ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:16 Mi 13.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Nur zum Spass und als Sommerloch-Füller:
Was haben diese Grafiken mit Mathe zu tun ?

  [Dateianhang nicht öffentlich]

  [Dateianhang nicht öffentlich]

LG   Al


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Drudel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Mi 13.07.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

das sieht nach fraktalen Mengen in der komplexen Ebene aus, allerdings welchen, die ich noch nicht gesehen habe. So scheint die Gerade Im(z)=0 vollständig enthalten zu sein (ggf. vorher noch parallelverschieben...).

Gibt es da Detailvergrößerungen?

Erzeugt wird der Graph wahrscheinlich durch Iteration einer meromorphen Funktion mit komplexem Startwert. Der Graph gibt dann an, für welche Startwerte die Iteration konvergiert.

Mich wundert halt nur, dass es nur Linien zu geben scheint, keine Flächen.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Drudel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:59 Mi 13.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  
> das sieht nach fraktalen Mengen in der komplexen Ebene aus,

fraktal ?   nein, nicht wirklich !

> allerdings welchen, die ich noch nicht gesehen habe. So
> scheint die Gerade Im(z)=0 vollständig enthalten zu sein
> (ggf. vorher noch parallelverschieben...).
>  
> Gibt es da Detailvergrößerungen?

das würde nicht viel Neues bringen, aber ich werde
vervollständigte Versionen zeigen - dauert noch ein
bisschen
  

> Erzeugt wird der Graph wahrscheinlich durch Iteration einer
> meromorphen Funktion mit komplexem Startwert. Der Graph
> gibt dann an, für welche Startwerte die Iteration
> konvergiert.

Startwert brauchte ich allerdings nicht nur einen, sondern viele.
Sie befinden sich an den Enden der "Fransen".

> Mich wundert halt nur, dass es nur Linien zu geben scheint,
> keine Flächen.

Nur Linien: gut beobachtet ! Das sollte schon die halbe Miete sein.  

Gruß   Al

Bezug
        
Bezug
Drudel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Mi 13.07.2011
Autor: fred97


> Nur zum Spass und als Sommerloch-Füller:
>  Was haben diese Grafiken mit Mathe zu tun ?

Hallo Al,

das erste Bild sieht aus wie die Fuß-Mathe vor meiner Haustür.

Gruß FRED


>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> LG   Al
>  


Bezug
                
Bezug
Drudel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Mi 13.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  
> das erste Bild sieht aus wie die Fuß-Mathe vor meiner
> Haustür.
>  
> Gruß FRED

> > [Dateianhang nicht öffentlich]

... und das zweite wäre dann ein etwas anderes, schon
ziemlich ausgelatschtes und zerfranstes Modell, das schon
hadale und galaktische Assoziationen hervorruft ...


> > [Dateianhang nicht öffentlich]

LG   Al
  



Bezug
                        
Bezug
Drudel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 Mi 13.07.2011
Autor: reverend

Dieser Thread beginnt zu zerfasern. ;-)


Bezug
                                
Bezug
Drudel: Och nö
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mi 13.07.2011
Autor: M.Rex


> Dieser Thread beginnt zu zerfasern. ;-)
>  

Ich mag []Faserungen aber irgendwie nicht  ;-)

Marius


Bezug
        
Bezug
Drudel: was dahinter steckt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Mi 13.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Nun, hier die ergänzten Darstellungen:

    [Dateianhang nicht öffentlich]

    [Dateianhang nicht öffentlich]

und die Erläuterung:
ich war daran, für eine Differentialgleichung der Form

  [mm] $\pmat{\dot x\\ \dot y}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{f(x,y)\\ g(x,y)}$ [/mm]

ein Richtungsfeld zu zeichnen. Um das Bildfenster mit
nicht allzu vielen Lösungskurven und trotzdem ohne
große Lücken zu überdecken, wählte ich für die Start-
punkte der einzelnen Kurven über das Fenster verteilte
Zufallspunkte. Zuerst vergaß ich jedoch, von den Start-
punkten aus die Kurven auf beide Seiten hin zu verfolgen.
Das war noch nicht ganz wie geplant, aber mit einem
lustigen Ergebnis. Dann noch ein wenig mit den Funktionen
f und g gespielt - et voilà !

Bliebe noch die Frage, wie denn nun die Differential-
gleichungen zu obigen Bildern lauten ...
(das Fenster ist für beide Beispiele [mm] -9\le x\le9 [/mm] , [mm] -9\le y\le9 [/mm] )

LG   Al-Chw.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Drudel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Mi 13.07.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

an Richtungsfelder hatte ich gedacht, aber die "Fransen" sprachen dagegen. Das erklärt sich ja nun durch die Verfolgung in eine Richtung. So vervollständigt sehen die Graphen ja doch recht anders aus.

Im ersten Graphen scheint sich eine Hyperbelschar zu verbergen die sozusagen als "Attraktor" wirkt. Woher aber die "Bogenschlüsse" zwischen den Hyperbeln (auch höheren Grades) stammen, vermag ich nicht zu erkennen.

Der zweite Graph scheint ähnlich definiert zu sein, wahrscheinlich ist nur ein Parameter verändert, hat aber dabei eine Grenze überschritten. Nicht mehr alle Startwerte führen zu Hyperbeln (die aber als Struktur noch erkennbar sind), interessant sind die geschlossenen Kurven sowie die "Wellen" in ihrer Nähe. Letzteres könnte auch ein Hinweis sein, dass nicht nur eine Parameteränderung zugrunde liegt, sondern die Funktionen, die zum ersten Graph geführt haben, noch mit kleinen Anteilen trigonometrischer Funktionen "angereichert" wurden.

Ansonsten sehe ich mich außerstande, mehr zu erraten - dazu habe ich viel zu wenig mit Richtungsfeldern gearbeitet.

Grüße
reverend


Bezug
                        
Bezug
Drudel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Mi 13.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al,
>  
> an Richtungsfelder hatte ich gedacht, aber die "Fransen"
> sprachen dagegen. Das erklärt sich ja nun durch die
> Verfolgung in eine Richtung. So vervollständigt sehen die
> Graphen ja doch recht anders aus.
>  
> Im ersten Graphen scheint sich eine Hyperbelschar zu
> verbergen die sozusagen als "Attraktor" wirkt.     [mm] $\red{\checkmark}$ [/mm]
> Woher aber die "Bogenschlüsse" zwischen den Hyperbeln
> (auch höheren Grades) stammen, vermag ich nicht zu erkennen.
>  
> Der zweite Graph scheint ähnlich definiert zu sein,     [mm] $\red{\checkmark}$ [/mm]  
> wahrscheinlich ist nur ein Parameter verändert,

nicht ein Parameter, aber "typografisch" betrachtet nur eine
kleine Änderung im Programm, die darin bestand, in einer
Funktionsdefinition zwei Zeichen zu entfernen

> hat aber dabei eine Grenze überschritten. Nicht mehr alle
> Startwerte führen zu Hyperbeln (die aber als Struktur noch
> erkennbar sind), interessant sind die geschlossenen Kurven
> sowie die "Wellen" in ihrer Nähe. Letzteres könnte auch
> ein Hinweis sein, dass nicht nur eine Parameteränderung
> zugrunde liegt, sondern die Funktionen, die zum ersten
> Graph geführt haben, noch mit kleinen Anteilen
> trigonometrischer Funktionen "angereichert" wurden.

trigonometrische Funktionen spielen eine wichtige Rolle,
auch schon im ersten Bild !

> Ansonsten sehe ich mich außerstande, mehr zu erraten -
> dazu habe ich viel zu wenig mit Richtungsfeldern
> gearbeitet.
>  
> Grüße
>  reverend

Sei mir nicht böse, wenn ich die DGL noch etwas aufspare ...  ;-)

LG   Al  


Bezug
                
Bezug
Drudel: Differentialgleichungen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 Mi 13.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

    [mm]\pmat{\dot x\\ \dot y}\ =\ \pmat{cos(x*y)\\ sin(x*y)}[/mm]      [mm]-9\le x\le9[/mm] , [mm]-9\le y\le9[/mm]
  
    [Dateianhang nicht öffentlich]



    [mm]\pmat{\dot x\\ \dot y}\ =\ \pmat{cos(y)\\ sin(x*y)}[/mm]       [mm]-9\le x\le9[/mm] , [mm]-9\le y\le9[/mm]

    [Dateianhang nicht öffentlich]


Eine Gewähr für die Exaktheit der Lösungskurven kann ich
nicht geben, da die gewählte Schrittweite für das Integrations-
verfahren (Heun) möglicherweise nicht überall passend war.
Die deutlich sichtbaren Unregelmäßigkeiten (z.B. fehlende
Symmetrie bezüglich der y-Achse) liegen jedoch nur daran,
dass die Startpunkte zufällig gewählt (und nicht symmetrisch
ergänzt) wurden.


LG   Al-Chw.
  


Bezug
                        
Bezug
Drudel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Mi 13.07.2011
Autor: reverend

Hallo Al,

oha: eine sooo einfach strukturierte Grundlage hatte ich gar nicht angenommen, zumal nicht nach Ansicht der ersten Bilder.

Das ist eine schöne Visualisierung mathematischer Strukturen. Ich finde, man sollte viel öfter auch im Unterricht solchen Dingen begegnen. Mir als optisch orientiertem Menschen wäre da vielleicht mancher Zusammenhang schneller klar geworden und mein Begriff mathematischer Schönheit hätte sich nicht nur von der abstrakten Seite her entwickeln müssen.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Drudel: graue Mathematik ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:52 Mi 13.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Ich habe an dem Thema "Grafik aus DGL" noch ein
wenig weiter gespielt. Eines der Ergebnisse möchte
ich hier gerne noch zeigen, als Beispiel dafür, dass
sich in der von manchen als trocken, grau und trist
empfundenen Mathematik ungeahnte Möglichkeiten
finden, auch eine Ästhetik zu entdecken, die nicht
nur von harter Regelmäßigkeit geprägt ist.

      [Dateianhang nicht öffentlich]

LG    Al

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
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