Dualbasen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 12.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Hallo,
ich verstehe das Thema der dualen Abbildungen nicht so recht.
Wenn ich eine Basis (für V) [mm] (v_1,v_2) [/mm] habe,
dann gilt ja für alle Vektoren aus V:
[mm] \vektor{x \\ y}=av_1+bv_2
[/mm]
Kann man sagen, dass die Dualbasis jetzt einfach aus den Skalaren/Koeffizienten besteht?
Es ist ja nach [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] aufgelöst mit Vorraussetzung, dass die Matrix bestehend aus den Basisvektoren inv.bar ist, zB:
[mm] \vektor{a \\ b}=\vektor{x+y \\ 2x-3y} [/mm] mit willkürlichen Beispielwerten
Was bringt mir das?
Dass ich zu einem gegebenen Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] weiß, wie die Koeffizienten heißen?
Könnte ich zu o g Bsp also schreiben: Der Dualraum ist das Erzeugnis <x+y, 2x-3y> bzw die dualen Basisvektoren lauten v*_{1}=x+y und v*_{2}=2x-3y
Das ganze sieht doch "irgendwie invers" aus: Die Lsg. ist gegeben, nur fehlt dazu das passende Problem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 13.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Wie kann ich mit den berechneten Basen v*_{1/2} das Erzeugnis des Dualraums V* formulieren?
V*=<v*_{1},v*_{2}> ?
(siehe vorausgegangene Frage)
Würde mir sehr helfen, wenn es mir jemand erklären könnte. Dann kann ich mich vlt. bald adjungierten Endomorphismen zuwenden.
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> Wie kann ich mit den berechneten Basen v*_{1/2}
Hallo,
Du meinst sicher: "mit den errechneten Basisvektoren".
> das
> Erzeugnis des Dualraums V* formulieren?
Das Erzeugnis des Dualraumes ist der Dualraum...
Der Dualraum wird von seiner Basis erzeugt, und wenn [mm] (v_1^{\*},v_2^{\*}) [/mm] eine Basis von [mm] V^{\*} [/mm] ist, dann ist
>
> V*=<v*_{1},v*_{2}>
LG Angela
?
>
> (siehe vorausgegangene Frage)
>
> Würde mir sehr helfen, wenn es mir jemand erklären
> könnte. Dann kann ich mich vlt. bald adjungierten
> Endomorphismen zuwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 15.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Danke für die Antwort!!
Der springende Punkt ist also, dass die Basis aus linearen Abbildungen besteht und nicht aus Vektoren. Sehe ich das richtig?
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> Danke für die Antwort!!
>
> Der springende Punkt ist also, dass die Basis aus linearen
> Abbildungen besteht und nicht aus Vektoren. Sehe ich das
> richtig?
Hallo,
was sind Vektoren? Es sind die Elemente eines Vektorraumes.
Enthält der Vektorraum als Elemente Spalten wie etwa der [mm] \IR^3, [/mm] sind die Vektoren Spalten,
enthält er Polynome, sind die Vektoren Polynome,
enthält er junge Katzen, sind die Vektoren junge Katzen.
Die Vektoren des Dualraumes sind lineare Abbildungen, also sind auch die Basisvektoren lineare Abbildungen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Do 15.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Danke!
Dass Katzen skalar multiplizierbar sind, haben meine Brüder öfter gezeigt. Aber sie haben es nie so weit geschaft, dass sie den Katzenraum verlassen haben. Zumindest diesbezüglich könnte der Katzenraum dann ein Vektorraum sein.
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> Hallo,
>
> ich verstehe das Thema der dualen Abbildungen nicht so
> recht.
Hallo,
nachdem Dir nun bisher niemand geantwortet hat, möchte ich nun doch eine Antwort versuchen.
Es ist mir jedoch nicht möglich, genau auf das einzugehen, was Du schreibst - es ist zu verworren für mich.
Trotzdem werde ich versuchen, einiges davon zu verarbeiten.
Zunächst einmal:
Wenn wir einen VR V über einem Körper K haben, so ist der Dualraum [mm] V^{\*} [/mm] von V der Raum, der alle linearen Abbildungen von V nach K enthält.
Die Elemente von [mm] V^{\*} [/mm] sind also Abbildungen.
Folglich sind auch die Basisvektoren von [mm] V^{\*} [/mm] Abbildungen.
Beispiel: es sei [mm] V=\IR^2 [/mm] als VR über [mm] \IR.
[/mm]
Dann ist [mm] V^{\*} [/mm] der Raum, der alle linearen Abbildungen vom [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] enthält.
Z.B. wäre
[mm] f:\IR^2\to \IR [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x\\y}):=x+y [/mm]
da drin.
Duale Basis:
Wenn dim V=n, dann ist auch [mm] dimV^{\*}=n.
[/mm]
Wie V, so hat auch [mm] V^{\*} [/mm] i.d.R. viele verschiedene Basen.
Wenn wir eine Basis von V wissen, können wir daraus eine Basis von [mm] V^{\*} [/mm] gewinnen:
sei [mm] B=(b_1,...b_n) [/mm] eine Basis von V.
Dann bilden die linearen Abbildungen [mm] f_1,...f_n:V\to [/mm] K mit
[mm] f_1(b_1):=1
[/mm]
[mm] f_1(b_2):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_1(b:n):=0,
[/mm]
[mm] f_2(b_1):=0
[/mm]
[mm] f_2(b_2):=1
[/mm]
[mm] f_2(b_3):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_2(b:n):=0,
[/mm]
[mm] f_2(b_1):=0
[/mm]
[mm] f_2(b_2):=1
[/mm]
[mm] f_2(b_3):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_2(b:n):=0,
[/mm]
[mm] f_2(b_1):=0
[/mm]
[mm] f_2(b_2):=1
[/mm]
[mm] f_2(b_3):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_2(b:n):=0,
[/mm]
[mm] f_3(b_1):=0
[/mm]
[mm] f_3(b_2):=0
[/mm]
[mm] f_3(b_3):=1
[/mm]
[mm] f_3(b_4):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_3(b:n):=0,
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_n(b_1):=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] f_n(b_{n-1}):=0
[/mm]
[mm] f_n(b_n):=1
[/mm]
eine Basis von [mm] V^{\*}, [/mm] die zu B duale Basis von [mm] V^{\*}.
[/mm]
Beispiel: sei [mm] V=\IR^2, B=(\vektor{0.6\\0.4}, \vektor{0.2\\-0.2}).
[/mm]
Die dazu duale Basis von [mm] V^{\*} [/mm] besteht aus den linearen Abbildungen
[mm] f_1, f_2:\IR^2\to \IR [/mm] mit
[mm] f_1(\vektor{0.6\\0.4}):=1
[/mm]
[mm] f_1(\vektor{0.2\\-0.2}):=0,
[/mm]
[mm] f_2(\vektor{0.6\\0.4}):=0
[/mm]
[mm] f_2(\vektor{0.2\\-0.2}):=1.
[/mm]
Du kannst mal versuchen, hieraus die Darstellungen
[mm] f_1(\vektor{x\\y}):=..x+...y
[/mm]
[mm] f_2(\vektor{x\\y}):=..x+...y
[/mm]
zu gewinnen.
Es ist [mm] B^{\*}=(f_1, f_2) [/mm] die zu B duale Basis von [mm] V^{\*}.
[/mm]
LG Angela
>
> Wenn ich eine Basis (für V) [mm](v_1,v_2)[/mm] habe,
>
> dann gilt ja für alle Vektoren aus V:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=av_1+bv_2[/mm]
>
> Kann man sagen, dass die Dualbasis jetzt einfach aus den
> Skalaren/Koeffizienten besteht?
>
> Es ist ja nach [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] aufgelöst mit
> Vorraussetzung, dass die Matrix bestehend aus den
> Basisvektoren inv.bar ist, zB:
>
> [mm]\vektor{a \\ b}=\vektor{x+y \\ 2x-3y}[/mm] mit
> willkürlichen Beispielwerten
>
>
> Was bringt mir das?
> Dass ich zu einem gegebenen Vektor [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] weiß,
> wie die Koeffizienten heißen?
>
> Könnte ich zu o g Bsp also schreiben: Der Dualraum ist das
> Erzeugnis <x+y, 2x-3y> bzw die dualen Basisvektoren lauten
> v*_{1}=x+y und v*_{2}=2x-3y
>
>
> Das ganze sieht doch "irgendwie invers" aus: Die Lsg. ist
> gegeben, nur fehlt dazu das passende Problem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 15.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Danke für die Antwort!! Bin sehr froh darüber!
> > Hallo,
> >
> > ich verstehe das Thema der dualen Abbildungen nicht so
> > recht.
>
> Hallo,
>
> nachdem Dir nun bisher niemand geantwortet hat, möchte ich
> nun doch eine Antwort versuchen.
> Es ist mir jedoch nicht möglich, genau auf das
> einzugehen, was Du schreibst - es ist zu verworren für
> mich.
Ich habe folgendes gemeint:
Wenn ich eine Basis für [mm] R^2 [/mm] habe, die aus [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] besteht, dann laesst sich jeder Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] aus [mm] R^2 [/mm] darstellen als
[mm] \vektor{x \\ y}=av_1+bv_2, [/mm] mit Koeff. a,b aus R.
Matrixschreibweise wäre
[mm] \vektor{x \\ y}= (v_1 v_2)\vektor{a \\ b}
[/mm]
wobei [mm] (v_1 v_2) [/mm] eine Matrix bestehend aus den Basisvektoren ist.
Das kann ich dann nach [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] auflösen.
Angenommen da stünde dann
$ [mm] \vektor{a \\ b}=\vektor{x+y \\ 2x-3y} [/mm] $
Wären a, b nicht die gesuchten lin. Abbildungen, die die ges. duale Basis bilden?
Falls ja, so sehe ich nicht so recht den Zusammenhang, warum dies genauso zum Ziel führt wie Dein Ansatz weiter unten.
Und wofür es überhaupt gut ist.
> Trotzdem werde ich versuchen, einiges davon zu
> verarbeiten.
>
> Zunächst einmal:
>
> Wenn wir einen VR V über einem Körper K haben, so ist der
> Dualraum [mm]V^{\*}[/mm] von V der Raum, der alle linearen
> Abbildungen von V nach K enthält.
>
> Die Elemente von [mm]V^{\*}[/mm] sind also Abbildungen.
> Folglich sind auch die Basisvektoren von [mm]V^{\*}[/mm]
> Abbildungen.
>
> Beispiel: es sei [mm]V=\IR^2[/mm] als VR über [mm]\IR.[/mm]
> Dann ist [mm]V^{\*}[/mm] der Raum, der alle linearen Abbildungen
> vom [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm] enthält.
> Z.B. wäre
>
> [mm]f:\IR^2\to \IR[/mm] mit
> [mm]f(\vektor{x\\y}):=x+y[/mm]
>
> da drin.
>
>
> Duale Basis:
>
> Wenn dim V=n, dann ist auch [mm]dimV^{\*}=n.[/mm]
> Wie V, so hat auch [mm]V^{\*}[/mm] i.d.R. viele verschiedene
> Basen.
>
> Wenn wir eine Basis von V wissen, können wir daraus eine
> Basis von [mm]V^{\*}[/mm] gewinnen:
>
> sei [mm]B=(b_1,...b_n)[/mm] eine Basis von V.
>
> Dann bilden die linearen Abbildungen [mm]f_1,...f_n:V\to[/mm] K mit
>
> [mm]f_1(b_1):=1[/mm]
> [mm]f_1(b_2):=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]f_1(b:n):=0,[/mm]
>
> [mm]f_2(b_1):=0[/mm]
> [mm]f_2(b_2):=1[/mm]
> [mm]f_2(b_3):=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]f_2(b:n):=0,[/mm]
>
> [mm]f_2(b_1):=0[/mm]
> [mm]f_2(b_2):=1[/mm]
> [mm]f_2(b_3):=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]f_2(b:n):=0,[/mm]
>
> [mm]f_2(b_1):=0[/mm]
> [mm]f_2(b_2):=1[/mm]
> [mm]f_2(b_3):=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]f_2(b:n):=0,[/mm]
>
> [mm]f_3(b_1):=0[/mm]
> [mm]f_3(b_2):=0[/mm]
> [mm]f_3(b_3):=1[/mm]
> [mm]f_3(b_4):=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]f_3(b:n):=0,[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> [mm]f_n(b_1):=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]f_n(b_{n-1}):=0[/mm]
> [mm]f_n(b_n):=1[/mm]
>
> eine Basis von [mm]V^{\*},[/mm] die zu B duale Basis von [mm]V^{\*}.[/mm]
>
Das ist mir klar, man kann das ja auch mit dem Kroneckerdelta schreiben.
Aber irgendwo muss ich ja dann auch mal Vektoren einsetzen....(siehe Bsp. weiter unten)
>
> Beispiel: sei [mm]V=\IR^2, B=(\vektor{0.6\\0.4}, \vektor{0.2\\-0.2}).[/mm]
>
> Die dazu duale Basis von [mm]V^{\*}[/mm] besteht aus den linearen
> Abbildungen
> [mm]f_1, f_2:\IR^2\to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f_1(\vektor{0.6\\0.4}):=1[/mm]
> [mm]f_1(\vektor{0.2\\-0.2}):=0,[/mm]
>
> [mm]f_2(\vektor{0.6\\0.4}):=0[/mm]
> [mm]f_2(\vektor{0.2\\-0.2}):=1.[/mm]
>
>
> Du kannst mal versuchen, hieraus die Darstellungen
>
> [mm]f_1(\vektor{x\\y}):=..x+...y[/mm]
> [mm]f_2(\vektor{x\\y}):=..x+...y[/mm]
>
> zu gewinnen.
...genau hier muss ich ja mal die entspr. Basisvektoren einsetzen, nur ist mir nicht so klar, in was? Sind x,y die Koeffizienten für die Einträge des gesuchten Vektors/der ges. Abbildung?
>
>
> Es ist [mm]B^{\*}=(f_1, f_2)[/mm] die zu B duale Basis von [mm]V^{\*}.[/mm]
>
> LG Angela
> >
> > Wenn ich eine Basis (für V) [mm](v_1,v_2)[/mm] habe,
> >
> > dann gilt ja für alle Vektoren aus V:
> >
> > [mm]\vektor{x \\ y}=av_1+bv_2[/mm]
> >
> > Kann man sagen, dass die Dualbasis jetzt einfach aus den
> > Skalaren/Koeffizienten besteht?
> >
> > Es ist ja nach [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] aufgelöst mit
> > Vorraussetzung, dass die Matrix bestehend aus den
> > Basisvektoren inv.bar ist, zB:
> >
> > [mm]\vektor{a \\ b}=\vektor{x+y \\ 2x-3y}[/mm] mit
> > willkürlichen Beispielwerten
> >
> >
> > Was bringt mir das?
> > Dass ich zu einem gegebenen Vektor [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> weiß,
> > wie die Koeffizienten heißen?
> >
> > Könnte ich zu o g Bsp also schreiben: Der Dualraum ist das
> > Erzeugnis <x+y, 2x-3y> bzw die dualen Basisvektoren lauten
> > v*_{1}=x+y und v*_{2}=2x-3y
> >
> >
> > Das ganze sieht doch "irgendwie invers" aus: Die Lsg. ist
> > gegeben, nur fehlt dazu das passende Problem.
>
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Hallo,
beginnen wir mit meinem Beispiel:
> >
> > Beispiel: sei [mm]V=\IR^2, B=(\vektor{0.6\\0.4}, \vektor{0.2\\-0.2}).[/mm]
>
> >
> > Die dazu duale Basis von [mm]V^{\*}[/mm] besteht aus den linearen
> > Abbildungen
> > [mm]f_1, f_2:\IR^2\to \IR[/mm] mit
> >
> > [mm]f_1(\vektor{0.6\\0.4}):=1[/mm]
> > [mm]f_1(\vektor{0.2\\-0.2}):=0,[/mm]
> >
> > [mm]f_2(\vektor{0.6\\0.4}):=0[/mm]
> > [mm]f_2(\vektor{0.2\\-0.2}):=1.[/mm]
(Durch die Angabe der Werte auf einer Basis sind lineare Abbildungen eindeutig bestimmt.)
> >
> >
> > Du kannst mal versuchen, hieraus die Darstellungen
> >
> > [mm]f_1(\vektor{x\\y}):=..x+...y[/mm]
> > [mm]f_2(\vektor{x\\y}):=..x+...y[/mm]
> >
> ...genau hier muss ich ja mal die entspr. Basisvektoren
> einsetzen, nur ist mir nicht so klar, in was? Sind x,y die
> Koeffizienten für die Einträge des gesuchten Vektors/der
> ges. Abbildung?
>
Paß auf:
es ist [mm] \vektor{x\\y}=(x+y)\vektor{0.6\\0.4}+(2x-3y)\vektor{0.2\\-0.2}.
[/mm]
Hierzu habe ich das LGS gelöst, welches auch Du löst:
ich habe in [mm] \vektor{x\\y}=a\vektor{0.6\\0.4}+b\vektor{0.2\\-0.2} [/mm] die Koeffizienten a und b bestimmt.
Also ist (Linearität ausnutzen!)
[mm] f_1(\vektor{x\\y})=f_1((x+y)\vektor{0.6\\0.4}+(2x-3y)\vektor{0.2\\-0.2})
[/mm]
[mm] =(x+y)f_1(\vektor{0.6\\0.4})+(2x-3y)f_1(\vektor{0.2\\-0.2})
[/mm]
=(x+y)*1+(2x-3y)*0
=x+y,
wenn man's in Matrixschreibweise mag:
[mm] =\pmat{1&1}\vektor{x\\y}
[/mm]
[mm] f_2(\vektor{x\\y}))=... [/mm] = [mm] 2x-3y=\pmat{2&-3}*\vektor{x\\y}.
[/mm]
(Die Darstellungsmatrizen der dualen Basis findest Du in den Zeilen der Matrix [mm] \pmat{v_1 &v_2}^{-1}).
[/mm]
Es ist dann [mm] V^{/*}=.
[/mm]
> Ich habe folgendes gemeint:
> Wenn ich eine Basis für [mm]R^2[/mm] habe, die aus [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]
> besteht, dann laesst sich jeder Vektor [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] aus
> [mm]R^2[/mm] darstellen als
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=av_1+bv_2,[/mm] mit Koeff. a,b aus R.
>
> Matrixschreibweise wäre
>
> [mm]\vektor{x \\ y}= (v_1 v_2)\vektor{a \\ b}[/mm]
>
> wobei [mm](v_1 v_2)[/mm] eine Matrix bestehend aus den Basisvektoren
> ist.
>
> Das kann ich dann nach [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] auflösen,
indem man mit [mm] \pmat{v_1&v_2}^{-1} [/mm] multipliziert.
Damit kennt man die Koeffizienten a und b, welche natürlich von x und y abhängen.
>
> Angenommen da stünde dann
>
> [mm]\vektor{a \\ b}=\vektor{x+y \\ 2x-3y}[/mm]
>
> Wären a, b nicht die gesuchten lin. Abbildungen, die die
> ges. duale Basis bilden?
Die Funktionsgleichungen der Abbildungen, die die duale Basis bilden,
und daß das so ist, hängt damit zusammen, wie die duale Basis definiert ist, mit dieser Kroneckersache.
Oben in der Rechnung, die ich ausgeführt habe, sollte es klar geworden sein.
LG Angela
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 17.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Danke für eine weitere geduldige Antwort!! :)
Rechnerisch ist mir das jetzt soweit klar.
Nur hier hakt es mit dem Verständnis (rechnerisch bzgl. Anwedung der Linearität verstehe ich es):
> Also ist (Linearität ausnutzen!)
>
> [mm]f_1(\vektor{x\\y})=f_1((x+y)\vektor{0.6\\0.4}+(2x-3y)\vektor{0.2\\-0.2})[/mm]
Mir ist klar, dass die Lin. Abb. eideutig bestimmt ist, wenn klar ist, wie die Basisvektoren abgeb. werden.
Nur steht hier nicht mehr die Abb. der Basisvektoren, also z B [mm] f_1(\vektor{0.6\\0.4}, [/mm] sondern allgemein [mm] f_1(\vektor{x\\y}).
[/mm]
Macht man das nur, weil in der vorher allgemein berechneten Darstellung aller [mm] \vektor{x\\y} [/mm] die Basisvektoren drin sind und man damit die Definition der Basisfunktion ...=1, ...=0 anwenden kann?
(Ich glaube die Frage ist nicht leicht zu verstehen...)
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> Danke für eine weitere geduldige Antwort!! :)
>
> Rechnerisch ist mir das jetzt soweit klar.
>
> Nur hier hakt es mit dem Verständnis (rechnerisch bzgl.
> Anwedung der Linearität verstehe ich es):
>
> > Also ist (Linearität ausnutzen!)
> >
> >
> [mm]f_1(\vektor{x\\y})=f_1((x+y)\vektor{0.6\\0.4}+(2x-3y)\vektor{0.2\\-0.2})[/mm]
>
> Mir ist klar, dass die Lin. Abb. eideutig bestimmt ist,
> wenn klar ist, wie die Basisvektoren abgeb. werden.
>
> Nur steht hier nicht mehr die Abb. der Basisvektoren, also
> z B [mm]f_1(\vektor{0.6\\0.4},[/mm] sondern allgemein
> [mm]f_1(\vektor{x\\y}).[/mm]
Hallo,
ja.
Wir wollen ja nicht nur Basisvektoren vermöge [mm] f_1 [/mm] abbilden, sondern jeden Beliebigen Vektor.
Wir wollen beispielsweise auch das Bild vom Vektor [mm] \vektor{47\\11} [/mm] wissen - und zwar schnell.
>
> Macht man das nur, weil in der vorher allgemein berechneten
> Darstellung aller [mm]\vektor{x\\y}[/mm] die Basisvektoren drin sind
> und man damit die Definition der Basisfunktion ...=1, ...=0
> anwenden kann?
>
> (Ich glaube die Frage ist nicht leicht zu verstehen...)
Da glaubst Du richtig...
Was ist mache, ist doch etwas ganz Normales:
ich habe eine lineare Abbildung durch die Werte auf einer Basis gegeben, und ich möchte jetzt aber lieber die Funktionsgleichung haben.
Also stelle ich die Funktionsgleichung auf.
Daß für die Basisvektoren der zu B dualen Basis dann gerade die berechneten Koeffizienten vor den Basisvektoren von B herauskommen, liegt natürlich an der Definition der zu B dualen Basis.
Falls das Deine Frage war...
LG Angela
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Sa 17.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
OK, auch das akzeptiere ich! Danke für die Antworten!
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