Duale Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 23.06.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei [mm] K[/mm] ein Körper und [mm] V[/mm] ein K-Vektorraum. Ein Homomorphismus [mm]\varphi:\,V\toK[/mm] heißt Linearform auf [mm]V[/mm]. Die Menge aller Linearformen auf [mm]V[/mm] bezeichnet man als
[mm]V^*:=\,Abb(V,K)[/mm] und nennt sie den Dualraum von [mm]V[/mm].
(a) Beweisen Sie: [mm]V^*[/mm] ist ein K_Vektorraum.
(b) Sei [mm]B=\{ b_1, ...,b_n \} \subset V[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm]. Eine Menge [mm]B^*=\{ \varphi_1, ..., \varphi_n \}\subset V*[/mm]
heißt die zu [mm]B[/mm] duale Basis, falls
[mm]\varphi_i(b_j)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }i \not= j\\
1, & \mbox{wenn }i = j
\end{matrix}\right [/mm]
Gegeben sind die Basen [mm]B_1 = \{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{-3 \\ 5}\}[/mm] und [mm] B_1 = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\}[/mm] des [mm]\IR^2[/mm] bzw. [mm]\IR^3[/mm]. Bestimmen Sie die zugehörigen dualen Basen. |
Das ist alles, was ich zu dualen Basen weiß, d.h. sie kamen noch nicht in der Vorlesung vor. Ich würd gern wissen, ob ich Teil b) richtig gelöst habe und den Weg, wie ich zur Lösung komme richtig verstanden habe.
[mm]\varphi[/mm] ist eine lineare Abbildung. Ich vermute [mm]\varphi ( \vec{x} )= ( a_1, a_2 ) \vektor{x_1 \\ x_2} = a_1x_1+a_2x_2 [/mm]
Ich schreibe die Basis [mm]B[/mm] als Matrix A und schreib die Vektoren als Spalten.
Die duale Basis [mm]B^{*}[/mm]hat ebenfalls 2 Vektoren. Diese schreibe ich als Zeilen der Matrix B.
Wenn ich jetzt der Vorgabe [mm]\varphi_i(b_j)[/mm] folge, dann erhalte ich wenn ich B*A rechne die Einheitsmatrix. Also ist B die zu A inverse Matrix. Und hier muss ich dann doch nur noch die Zeilen als Vektoren der dualen Basis ablesen, oder?
Also zusammengefasst:
1) Basis als Spaltenmatrix schreiben
2) Inverse Matrix finden
3) Inverse transponieren
4) Spalten der transponierten Inversen Matrix aufschreiben
[mm] B_1 ^{*}= \{ {\vektor{\bruch{5}{11} \\ \bruch{3}{11}}, \vektor{\bruch{-2}{11} \\ \bruch{1}{11}} \} [/mm]
Richtig???
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> Sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]V[/mm] ein K-Vektorraum. Ein
> Homomorphismus [mm]\varphi:\,V\toK[/mm] heißt Linearform auf [mm]V[/mm]. Die
> Menge aller Linearformen auf [mm]V[/mm] bezeichnet man als
> [mm]V^*:=\,Abb(V,K)[/mm] und nennt sie den Dualraum von [mm]V[/mm].
>
> (a) Beweisen Sie: [mm]V^*[/mm] ist ein K_Vektorraum.
> (b) Sei [mm]B=\{ b_1, ...,b_n \} \subset V[/mm] eine Basis von
> [mm]V[/mm]. Eine Menge [mm]B^*=\{ \varphi_1, ..., \varphi_n \}\subset V*[/mm]
>
> heißt die zu [mm]B[/mm] duale Basis, falls
> [mm]\varphi_i(b_j)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }i \not= j\\
1, & \mbox{wenn }i = j
\end{matrix}\right[/mm]
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> Gegeben sind die Basen [mm]B_1 = \{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{-3 \\ 5}\}[/mm]
> und [mm]B_1 = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\}[/mm]
> des [mm]\IR^2[/mm] bzw. [mm]\IR^3[/mm]. Bestimmen Sie die zugehörigen dualen
> Basen.
> Das ist alles, was ich zu dualen Basen weiß, d.h. sie
> kamen noch nicht in der Vorlesung vor. Ich würd gern
> wissen, ob ich Teil b) richtig gelöst habe und den Weg,
> wie ich zur Lösung komme richtig verstanden habe.
>
> [mm]\varphi[/mm] ist eine lineare Abbildung. Ich vermute [mm]\varphi ( \vec{x} )= ( a_1, a_2 ) \vektor{x_1 \\ x_2} = a_1x_1+a_2x_2[/mm]
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> Ich schreibe die Basis [mm]B[/mm] als Matrix A und schreib die
> Vektoren als Spalten.
> Die duale Basis [mm]B^{*}[/mm]hat ebenfalls 2 Vektoren. Diese
> schreibe ich als Zeilen der Matrix B.
>
> Wenn ich jetzt der Vorgabe [mm]\varphi_i(b_j)[/mm] folge, dann
> erhalte ich wenn ich B*A rechne die Einheitsmatrix. Also
> ist B die zu A inverse Matrix. Und hier muss ich dann doch
> nur noch die Zeilen als Vektoren der dualen Basis ablesen,
> oder?
>
> Also zusammengefasst:
> 1) Basis als Spaltenmatrix schreiben
> 2) Inverse Matrix finden
> 3) Inverse transponieren
> 4) Spalten der transponierten Inversen Matrix
> aufschreiben
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> [mm]B_1 ^{*}= \{ {\vektor{\bruch{5}{11} \\ \bruch{3}{11}}, \vektor{\bruch{-2}{11} \\ \bruch{1}{11}} \}[/mm]
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> Richtig???
Hallo,
irritiert Dich hier nichts?
Bedenke: die Menge [mm] B_1 ^{\*}, [/mm] welche Du angibst, ist eine Teilmenge des [mm] \IR^2.
[/mm]
Da aber [mm] B_1 ^{\*} [/mm] eine Basis des Raumes der Linearformen auf V sein soll, wäre doch anzunehmen, daß diese aus Linearfomen, also Abbildungen, besteht, oder?
Diese Abbildungen [mm] \varphi [/mm] 1 und [mm] \varphi [/mm] 2 brauchen wir...
Ich sage ausdrücklich nicht, daß alles, was Du getan hast, für die Katz' ist, aber Du solltest nochmal in Dich gehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Do 24.06.2010 | | Autor: | ella87 |
Ja, das leuchtet ein!
Also die Basis dann doch nicht als Vektoren aufschreiben, sondern als Funktion. Ich frag mich nur wie!
Definiere ich dann [mm]\varphi ( \vec{x} ) = ( a_1 , a_2 ) {x_1 \choose x_2} [/mm]
und [mm]B^{*}_{1} = \{ (\bruch{5}{11},\bruch{3}{11} ) (\vec{x} ), ( \bruch{-2}{11},\bruch{1}{11} ) (\vec{x} ) \}[/mm] ?
Ich versteh das Problem, aber ich hab Probleme das jetzt korrekt aufzuschreiben - da steh ich auf dem Schlauch. Das sieht mir irgendwie zu kompliziert aus, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das leuchtet ein!
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> Also die Basis dann doch nicht als Vektoren aufschreiben,
> sondern als Funktion. Ich frag mich nur wie!
>
> Definiere ich dann [mm]\varphi ( \vec{x} ) = ( a_1 , a_2 ) {x_1 \choose x_2}[/mm]
>
> und [mm]B^{*}_{1} = \{ (\bruch{5}{11},\bruch{3}{11} ) (\vec{x} ), ( \bruch{-2}{11},\bruch{1}{11} ) (\vec{x} ) \}[/mm]
> ?
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> Ich versteh das Problem, aber ich hab Probleme das jetzt
> korrekt aufzuschreiben - da steh ich auf dem Schlauch. Das
> sieht mir irgendwie zu kompliziert aus, oder?
Gerechnet hast Du richtig. Darstellen würde ich es so:
$ [mm] \varphi_1 [/mm] ( [mm] \vec{x} [/mm] ) = ( [mm] \bruch{5}{11} [/mm] , [mm] \bruch{3}{11} [/mm] )* [mm] {x_1 \choose x_2} [/mm] $
$ [mm] \varphi_2 [/mm] ( [mm] \vec{x} [/mm] ) = ( [mm] \bruch{-2}{11} [/mm] , [mm] \bruch{1}{11} [/mm] )* [mm] {x_1 \choose x_2} [/mm] $
FRED
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