Dualräume < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 29.12.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR[x]_2 [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 2 in einer Variablen x. Betrachte die folgenden Elemente des Dualraumes von [mm] \IR[x]_2:
[/mm]
[mm] \lambda_0: [/mm] P [mm] \mapsto [/mm] P(0)
[mm] \lambda_1: [/mm] P [mm] \mapsto [/mm] P'(0)
[mm] \lambda_2: [/mm] P [mm] \mapsto [/mm] P''(0)
Es sei B die Basis von [mm] \IR[x]_2, [/mm] die aus den Elementen [mm] v_1=1, v_2=1+x [/mm] und [mm] v_3=1+x+x^2 [/mm] besteht.
a) Stellen sie [mm] \lambda_j,j=0,1,2 [/mm] bezüglich der zu B dualen Basis [mm] \left\{ \varphi _0,\varphi _1,\varphi _2 \right\} [/mm] von [mm] (\IR[x]_2)^\* [/mm] dar, d.h. finden sie [mm] c_{ij} \in \IR [/mm] mit [mm] \lambda_j=\summe_{i=0}^{2}c_{ij}\varphi [/mm] _i.
b) Ist die Menge [mm] \left\{ \lambda_0,\lambda_1,\lambda_2 \right\} [/mm] eine Basis von [mm] (\IR[x]_2)^\*? [/mm] Hinweis: Teil a)
c) Es ist [mm] \mu: \IR [x]_2 \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] \mu(P)=\integral_{0}^{1}{P(x) dx}.
[/mm]
Stellen sie [mm] \mu \in (\IR[x]_2)* [/mm] bezüglich der Basis [mm] \left\{ \varphi _0,\varphi _1,\varphi _2 \right\} [/mm] dar. |
Ich blicke Insgesamt durch die Dualräume noch nicht so ganz durch...Wie genau muss ich hier beispielsweise in a) ein [mm] c_{ij} [/mm] finden, muss ich eine Zahl geben oder wie? und was ist [mm] \lambda_0,\lambda_1,\lambda_2? [/mm] wie sieht es aus, wenn ich etwa [mm] \mu [/mm] bezüglich der Basis darstelle?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Sa 29.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]\IR[x]_2[/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad
> kleiner gleich 2 in einer Variablen x. Betrachte die
> folgenden Elemente des Dualraumes von [mm]\IR[x]_2:[/mm]
> [mm]\lambda_0:[/mm] P [mm]\mapsto[/mm] P(0)
> [mm]\lambda_1:[/mm] P [mm]\mapsto[/mm] P'(0)
> [mm]\lambda_2:[/mm] P [mm]\mapsto[/mm] P''(0)
> Es sei B die Basis von [mm]\IR[x]_2,[/mm] die aus den Elementen
> [mm]v_1=1, v_2=1+x[/mm] und [mm]v_3=1+x+x^2[/mm] besteht.
>
> a) Stellen sie [mm]\lambda_j,j=0,1,2[/mm] bezüglich der zu B dualen
> Basis [mm]\left\{ \varphi _0,\varphi _1,\varphi _2 \right\}[/mm] von
> [mm](\IR[x]_2)^\*[/mm] dar, d.h. finden sie [mm]c_{ij} \in \IR[/mm] mit
> [mm]\lambda_j=\summe_{i=0}^{2}c_{ij}\varphi_i[/mm] .
>
> b) Ist die Menge [mm]\left\{ \lambda_0,\lambda_1,\lambda_2 \right\}[/mm]
> eine Basis von [mm](\IR[x]_2)^\*?[/mm] Hinweis: Teil a)
>
> c) Es ist [mm]\mu: \IR [x]_2 \to \IR[/mm] gegeben durch
> [mm]\mu(P)=\integral_{0}^{1}{P(x) dx}.[/mm]
> Stellen sie [mm]\mu \in (\IR[x]_2)*[/mm]
> bezüglich der Basis [mm]\left\{ \varphi _0,\varphi _1,\varphi _2 \right\}[/mm]
> dar.
> Ich blicke Insgesamt durch die Dualräume noch nicht so
> ganz durch...Wie genau muss ich hier beispielsweise in a)
> ein [mm]c_{ij}[/mm] finden, muss ich eine Zahl geben oder wie? und
> was ist [mm]\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2?[/mm] wie sieht es aus,
> wenn ich etwa [mm]\mu[/mm] bezüglich der Basis darstelle?
Der Dualraum von [mm]\IR[x]_2[/mm] ist der Raum der linearen Abbildungen von [mm]\IR[x]_2[/mm] nach [mm]\IR[/mm]. Er hat die gleiche Dimension wie [mm]\IR[x]_2[/mm].
Die duale Basis zu [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] ist gegeben durch [mm]\varphi_0(v_1)=1[/mm], [mm]\varphi_1(v_2)=1[/mm], [mm]\varphi_2(v_3)=1[/mm] und alle anderen Kombinationen =0.
Du kannst doch einfach [mm]\lambda_j(v_i)[/mm] ausrechnen, indem du die Definition der [mm]\lambda_j[/mm] einsetzt.
Andererseits kannst du [mm]\lambda_j(v_i)[/mm] über die Darstellung [mm]\lambda_j=\summe_{i=0}^{2}c_{ij}\varphi_i[/mm] und die Definition der dualen Basis ausrechnen.
Damit hast du 9 Gleichungen für die neun Unbekannten [mm]c_{ij}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 30.12.2007 | | Autor: | side |
Danke schonmal...hab mir jetzt folgendes überlegt, wenn ich deine Erklärungen einfach mal so hinnehme:
[mm] \lambda_0(v_1)=\lambda_0(1)=1
[/mm]
[mm] \lambda_0(v_2)=\lambda_0(1+x)=1
[/mm]
[mm] \lambda_0(v_3)=\lambda_1(1+x+x^2)=1
[/mm]
[mm] \lambda_1(v_1)=\lambda_1(1)=0
[/mm]
[mm] \lambda_1(v_2)=\lambda_1(1+x)=1
[/mm]
[mm] \lambda_1(v_3)=\lambda_1(1+x+x^2)=1
[/mm]
[mm] \lambda_2(v_1)=\lambda_2(1)=0
[/mm]
[mm] \lambda_2(v_2)=\lambda_2(1+x)=0
[/mm]
[mm] \lambda_2(v_3)=\lambda_2(1+x+x^2)=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] 1=\summe_{i=0}^{2}c_{i0}\varphi_i(v_1)=c_{00}\varphi_0(v_1)+c{10}\varphi_1(v_1)+c{20}\varphi_2(v_1)=c_{oo}*1+c_{10}*0+c_{20}*0=c_{00}
[/mm]
in gleicher Weise ergibt sich:
[mm] 1=...=c_{10}
[/mm]
[mm] 1=...=c_{20}
[/mm]
[mm] 0=...=c_{01}
[/mm]
[mm] 1=...=c_{11}
[/mm]
[mm] 1=...=c_{21}
[/mm]
[mm] 0=...=c_{02}
[/mm]
[mm] 0=...=c_{12}
[/mm]
[mm] 2=...=c_{22}
[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm] \lambda_0=\summe_{i=0}^{2}c_{i0}\varphi_i= 1*\varphi_0+1*\varphi_1+1*\varphi_2
[/mm]
[mm] \lambda_1=\summe_{i=0}^{2}c_{i1}\varphi_i =0*\varphi_0+1*\varphi_1+1*\varphi_2
[/mm]
[mm] \lambda_2=\summe_{i=0}^{2}c_{i2}\varphi_i= 0*\varphi_0+0*\varphi_1+2*\varphi_2
[/mm]
Hab ich damit alles fertig?
Wenn ja, dann stellt sich mir die Frage:
Wieso gilt folgendes?:
> Die duale Basis zu [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] ist gegeben durch
> [mm]\varphi_0(v_1)=1[/mm], [mm]\varphi_1(v_2)=1[/mm], [mm]\varphi_2(v_3)=1[/mm] und
> alle anderen Kombinationen =0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 30.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke schonmal...hab mir jetzt folgendes überlegt, wenn ich
> deine Erklärungen einfach mal so hinnehme:
> [mm]\lambda_0(v_1)=\lambda_0(1)=1[/mm]
> [mm]\lambda_0(v_2)=\lambda_0(1+x)=1[/mm]
> [mm]\lambda_0(v_3)=\lambda_1(1+x+x^2)=1[/mm]
> [mm]\lambda_1(v_1)=\lambda_1(1)=0[/mm]
> [mm]\lambda_1(v_2)=\lambda_1(1+x)=1[/mm]
> [mm]\lambda_1(v_3)=\lambda_1(1+x+x^2)=1[/mm]
> [mm]\lambda_2(v_1)=\lambda_2(1)=0[/mm]
> [mm]\lambda_2(v_2)=\lambda_2(1+x)=0[/mm]
> [mm]\lambda_2(v_3)=\lambda_2(1+x+x^2)=2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]1=\summe_{i=0}^{2}c_{i0}\varphi_i(v_1)=c_{00}\varphi_0(v_1)+c{10}\varphi_1(v_1)+c{20}\varphi_2(v_1)=c_{oo}*1+c_{10}*0+c_{20}*0=c_{00}[/mm]
> in gleicher Weise ergibt sich:
> [mm]1=...=c_{10}[/mm]
> [mm]1=...=c_{20}[/mm]
> [mm]0=...=c_{01}[/mm]
> [mm]1=...=c_{11}[/mm]
> [mm]1=...=c_{21}[/mm]
> [mm]0=...=c_{02}[/mm]
> [mm]0=...=c_{12}[/mm]
> [mm]2=...=c_{22}[/mm]
> Damit ergibt sich:
> [mm]\lambda_0=\summe_{i=0}^{2}c_{i0}\varphi_i= 1*\varphi_0+1*\varphi_1+1*\varphi_2[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=\summe_{i=0}^{2}c_{i1}\varphi_i =0*\varphi_0+1*\varphi_1+1*\varphi_2[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=\summe_{i=0}^{2}c_{i2}\varphi_i= 0*\varphi_0+0*\varphi_1+2*\varphi_2[/mm]
>
> Hab ich damit alles fertig?
Ja, für Teil a) sieht das gut aus (ich habe allerdings die einzelnen Zahlen nicht nachgerechnet).
Für Teil b) musst du nachweisen, dass sich jedes Element des Dualraums eindeutig als Linearkombination der [mm]\lambda_j[/mm] darstellen lässt. Du weisst ja, dass die [mm]\varphi_i[/mm] eine Basis sind.
> Wenn ja, dann stellt sich mir die Frage:
> Wieso gilt folgendes?:
> > Die duale Basis zu [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] ist gegeben durch
> > [mm]\varphi_0(v_1)=1[/mm], [mm]\varphi_1(v_2)=1[/mm], [mm]\varphi_2(v_3)=1[/mm] und
> > alle anderen Kombinationen =0.
Das ist die Definition der dualen Basis.
Viele Grüße
Rainer
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Müsste nicht eigentlich die Definition der
$ [mm] \lambda_0: [/mm] $ P $ [mm] \mapsto [/mm] $ P(0)
$ [mm] \lambda_1: [/mm] $ P $ [mm] \mapsto [/mm] $ P'(0)
$ [mm] \lambda_2: [/mm] $ P $ [mm] \mapsto [/mm] $ P''(0)
mit berücksichtigt werden und natürlich $ [mm] \lambda [/mm] $ ganz allgemein betrachtet werden für a x² + b x + c?
Also $ [mm] \lambda_0: [/mm] $ = c
Also $ [mm] \lambda_1: [/mm] $ = b
Also $ [mm] \lambda_2: [/mm] $ = 2a
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mo 31.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Müsste nicht eigentlich die Definition der
>
> [mm]\lambda_0:[/mm] P [mm]\mapsto[/mm] P(0)
> [mm]\lambda_1:[/mm] P [mm]\mapsto[/mm] P'(0)
> [mm]\lambda_2:[/mm] P [mm]\mapsto[/mm] P''(0)
>
> mit berücksichtigt werden und natürlich [mm]\lambda[/mm] ganz
> allgemein betrachtet werden für a x² + b x + c?
>
> Also [mm]\lambda_0:[/mm] = c
> Also [mm]\lambda_1:[/mm] = b
> Also [mm]\lambda_2:[/mm] = 2a
Das ist ja geschehen durch Anwendung der [mm]\lambda_j[/mm] auf die [mm]v_i[/mm], die eine Basis sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 31.12.2007 | | Autor: | side |
Ich habe also jetzt:
[mm] \lambda_0=\varphi_0+\varphi_1+\varpji_2
[/mm]
[mm] \lambda_1=\varphi_1+\varphi_2
[/mm]
[mm] \lambda_2=2*\varphi_2
[/mm]
Zu Aufgaenteil b)
Reicht es jetzt zu zeigen, dass ich aus den [mm] \lambda_i [/mm] die Basiselemente [mm] \varphi_0,\varphi_1,\varphi_2 [/mm] darstellen kann um zu beweisen, dass es sich bei den [mm] \lambda_i [/mm] auch um eine Basis handelt? Und wenn ja, mit welchem Satz kann ich begründen, dass dies reicht?
Ich würde dann sagen:
[mm] \lambda_0-\lambda_1=\varphi_0
[/mm]
[mm] \lambda_1-\bruch{1}{2}\lambda_2=\varphi_1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\lambda_2=\varphi_2
[/mm]
Kannst du mir bei aufgabe c) auch weiterhelfen?
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@ side
Bitte sag Bescheid, wenn es dich stört, dass ich hier auch frage.
Zum Thema und eventuell die Lösung für deine Frage:
Kann ich die Basisvektoren als Matrix schreiben und dann entsprechend umformen, bis ich die Basisvektoren der dualen Basis habe und so den Nachweis führen?
Im Prinzip ist die Antwort von side ja nichts anderes als diese Umformung.
Also die [mm] \lambda [/mm] als Spalten der Matrix A schreiben, die Basiswechselmatrix bestimmen und zeigen, dass ich mit der Matrix A und der Basiswechselmatrix die duale Matrix darstellen kann. Ich hab's mal durchgeführt und es klappt. Ist aber vielleicht nicht die kürzeste Lösung.
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> @ side
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> Bitte sag Bescheid, wenn es dich stört, dass ich hier auch
> frage.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ob es side stört, wenn Du hier fragst, kann ich natürlich nicht wissen - ich kann's mir allerdings nicht vorstellen...
Es ist auf jeden Fall völlig im Sinne des Forums, wenn Du Fragen zu dieser Aufgabe hier stellst - und nicht etwa eine neue Diskussion mit derselben Aufgabe eröffnest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zu Aufgaenteil b)
> Reicht es jetzt zu zeigen, dass ich aus den [mm]\lambda_i[/mm] die
> Basiselemente [mm]\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2[/mm] darstellen kann
> um zu beweisen, dass es sich bei den [mm]\lambda_i[/mm] auch um eine
> Basis handelt? Und wenn ja, mit welchem Satz kann ich
> begründen, dass dies reicht?
Ja, das ist die Aussage des Basisaustauschsatzes.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 03.01.2008 | | Autor: | JulianTa |
> Danke schonmal...hab mir jetzt folgendes überlegt, wenn ich
> deine Erklärungen einfach mal so hinnehme:
> [mm]\lambda_0(v_1)=\lambda_0(1)=1[/mm]
> [mm]\lambda_0(v_2)=\lambda_0(1+x)=1[/mm]
> [mm]\lambda_0(v_3)=\lambda_1(1+x+x^2)=1[/mm]
> [mm]\lambda_1(v_1)=\lambda_1(1)=0[/mm]
> [mm]\lambda_1(v_2)=\lambda_1(1+x)=1[/mm]
> [mm]\lambda_1(v_3)=\lambda_1(1+x+x^2)=1[/mm]
> [mm]\lambda_2(v_1)=\lambda_2(1)=0[/mm]
> [mm]\lambda_2(v_2)=\lambda_2(1+x)=0[/mm]
> [mm]\lambda_2(v_3)=\lambda_2(1+x+x^2)=2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
...
> Wenn ja, dann stellt sich mir die Frage:
> Wieso gilt folgendes?:
> > Die duale Basis zu [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] ist gegeben durch
> > [mm]\varphi_0(v_1)=1[/mm], [mm]\varphi_1(v_2)=1[/mm], [mm]\varphi_2(v_3)=1[/mm] und
> > alle anderen Kombinationen =0.
>
Das ist genau der Punkt, an dem ich nicht weiterkomme!
Warum ist [mm]\lambda_0(v_2)=\lambda_0(1+x)=1[/mm] und nicht =0 (Nach Definition?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das ist genau der Punkt, an dem ich nicht weiterkomme!
> Warum ist [mm]\lambda_0(v_2)=\lambda_0(1+x)=1[/mm] und nicht =0
> (Nach Definition?)
Das ist nicht die Definition von [mm]\lambda_0[/mm]. Da steht, man solle das Polynom an der Stelle x=0 ausrechnen, und das ist 1.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Side,
ich habe eine Frage. Wenn du diese Summe berechnest.
[mm] \lambda0(v1) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{2} cio\psii(v1)
[/mm]
Ich habe dann
[mm] 1=coo\psi0(v1) [/mm] + [mm] c10\psi1(v1) [/mm] + [mm] c20\psi2(v1)
[/mm]
1=coo*0 + c10*1 + c20*0
Weil es gilt doch wenn i=j = 1 und sonst 0
Du hast da allerdings was anderes raus.
Dann habe ich noch das Problem, wenn ich mir die folgende Summe anschaue:
[mm] \lambda0(v3) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{2} cio\psii(v3) [/mm]
[mm] 1=coo\psi0(v3) [/mm] + [mm] c10\psi1(v3) [/mm] + [mm] c20\psi2(v3)
[/mm]
1=coo*0 + c10*0 + c20*0
Das kann ja nicht sein, denn dann würde ich ja insgesamt nachher nur 6 Werte rausbekommen, anstatt 9 wie du. Weißt du, wo mein Fehler liegt?
Grüße Tanzmaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tanzmaus!
> Hallo Side,
>
> ich habe eine Frage. Wenn du diese Summe berechnest.
> [mm]\lambda0(v1)[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{2} cio\psii(v1)[/mm]
>
> Ich habe dann
> [mm]1=coo\psi0(v1)[/mm] + [mm]c10\psi1(v1)[/mm] + [mm]c20\psi2(v1)[/mm]
> 1=coo*0 + c10*1 + c20*0
> Weil es gilt doch wenn i=j = 1 und sonst 0
>
> Du hast da allerdings was anderes raus.
Da bist du über die blöde Nummerierung gestolpert: die [mm]\lambda[/mm] und die [mm]\varphi[/mm] sind von 0 bis 2 nummeriert, die v von 1 bis 3. Daher ist [mm]\varphi_0(v_1)=1[/mm], [mm]\varphi_1(v_2)=1[/mm], [mm]\varphi_2(v_3)=1[/mm], und es passt wieder.
EDIT: letzte Gleichung korrigiert.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo rainer,
habe irgendwie nen Brett vorm Kopf und verstehe das leider noch nicht wirklich. Zudem ist die Aufgabenstellung geändert worden. Wir haben jetzt gegeben $ [mm] \varphi [/mm] $ von 1 bis 3 als Basis.
War meine Aussage, denn falsch, wenn i=j dann ist es gleich 1 und sonst 0? Denn du hast ja jetzt bei jedem eine 1 stehen, was ja bedeuten würde, dass es andersrum ist [mm] i\not=j [/mm] gleich 1 und sonst 0 ???
HOffe, ich hab es jetzt nicht ganz zu durcheinander geschrieben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tanzmaus!
> Hallo rainer,
> habe irgendwie nen Brett vorm Kopf und verstehe das leider
> noch nicht wirklich. Zudem ist die Aufgabenstellung
> geändert worden. Wir haben jetzt gegeben [mm]\varphi[/mm] von 1 bis
> 3 als Basis.
>
> War meine Aussage, denn falsch, wenn i=j dann ist es gleich
> 1 und sonst 0? Denn du hast ja jetzt bei jedem eine 1
> stehen, was ja bedeuten würde, dass es andersrum ist
> [mm]i\not=j[/mm] gleich 1 und sonst 0 ???
Sorry, ich habe mich vertan (copy-and-paste  )
Ich wollte schreiben: [mm]\varphi_0(v_1)=1[/mm], [mm]\varphi_1(v_2)=1[/mm], [mm]\varphi_2(v_3)=1[/mm].
Wenn auch die [mm]\varphi[/mm] von 1 bis 3 nummeriert sind, dann hast du in der Tat =1 wenn i=j und =0, wenn [mm]i\not=j[/mm].
Die unterschiedliche Nummerierung ändert nichts am Prinzip: die [mm]\varphi_i[/mm] und die [mm]v_j[/mm] gehören paarweise zusammen; wenn man das passende Paar hat, ist [mm]\varphi_i(v_j)=1[/mm], sonst =0.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 02.01.2008 | | Autor: | side |
Bei Aufgabenteil c) komm ich immer noch nicht weiter...muss ich irgendwie eine Linearkombination der [mm] \varphi_i [/mm] finden, die [mm] \mu [/mm] darstellt?Aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bei Aufgabenteil c) komm ich immer noch nicht weiter...muss
> ich irgendwie eine Linearkombination der [mm]\varphi_i[/mm] finden,
> die [mm]\mu[/mm] darstellt?Aber wie?
Tipp: [mm]\mu[/mm] ist ein lineares Funktional, und außerdem ist jedes Polynom P als Linearkombination der [mm]v_i[/mm] darstellbar.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Damn88 |
Kann man die Aufgabe c nicht auch so lösen wie die a?
[mm] \mu(v_1) [/mm] = [mm] \mu(1) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{1 dx}=[x]_0^1=1=\summe_{i=0}^{2}(c_i*$ \varphi_i $)(v_1)=c_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow c_0 [/mm] = 1
[mm] \mu(v_2) [/mm] = [mm] \mu(1+x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{(1+x) dx}=[x+0,5x^2]_0^1=1,5=\summe_{i=0}^{2}(c_i*$ \varphi_i $)(v_2)=c_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow c_1=1,5
[/mm]
[mm] \mu(v_3) [/mm] = [mm] \mu(1+x+x^2) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{(1+x+x^2) dx}=[x+0,5x^2+1/3x^3]_0^1=11/6=\summe_{i=0}^{2}(c_i*$ \varphi_i $)(v_3)=c_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow c_2 [/mm] =11/6
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \mu(P)=$ \varphi_0 [/mm] $+1,5*$ [mm] \varphi_1 [/mm] $+11/6$ [mm] \varphi_2 [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Kann man die Aufgabe c nicht auch so lösen wie die a?
>
> [mm]\mu(v_1)[/mm] = [mm]\mu(1)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{1 dx}=[x]_0^1=1=\summe_{i=0}^{2}(c_i*[/mm]
> [mm]\varphi_i[/mm][mm] )(v_1)=c_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow c_0[/mm] = 1
>
> [mm]\mu(v_2)[/mm] = [mm]\mu(1+x)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{(1+x) dx}=[x+0,5x^2]_0^1=1,5=\summe_{i=0}^{2}(c_i*[/mm]
> [mm]\varphi_i[/mm][mm] )(v_2)=c_1[/mm]
> [mm]\Rightarrow c_1=1,5[/mm]
>
> [mm]\mu(v_3)[/mm] = [mm]\mu(1+x+x^2)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{(1+x+x^2) dx}=[x+0,5x^2+1/3x^3]_0^1=11/6=\summe_{i=0}^{2}(c_i*[/mm]
> [mm]\varphi_i[/mm][mm] )(v_3)=c_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow c_2[/mm] =11/6
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\mu(P)=[/mm] [mm]\varphi_0 [/mm]+1,5*[mm] \varphi_1 [/mm]+11/6[mm] \varphi_2[/mm]
Ja, genau so!
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:28 Do 03.01.2008 | | Autor: | side |
Ok, danke schon mal für Aufgabenteil a und c. Hat mir sehr geholfen und ich habe jetzt endlich gemerkt, dass ich viel besser klarkomme, wenn ich mir hier nicht die Lösung diktieren lasse sondern mich auf die Tips einlasse und in eine Diskusion einsteiege. Aber kannst du mir noch was zum Teil b sagen? Ich hab weiter oben schon mal einen Vorschlag gemacht, der aber bisher ohne KOmmentar geblieben ist, wäre echt super
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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