Duell, drei Schützen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Kasten |
| Aufgabe | Drei Schützen duellieren sich solange gegenseitig, bis nur noch einer überlebt. A trifft immer, B trifft mit 50%, C trifft nur jedes 3. Mal. Dafür darf C bestimmen, in welcher Reihenfolge geschossen wird.
(Beispiel: C bestimmt die Reihenfolge ABC: dann schießt erst A, wenn B dann noch lebt, darf B schießen, wenn C dann noch lebt darf C schießen, wenn A dann noch lebt, und noch Gegner hat, darf A wieder schießen usw.)
a) Welche Reihenfolge sollte C bestimmen?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überlebt C? |
P(A)=1, P(B)=1/2, P(C)=1/3
Leider habe ich keine feste Idee.
Muss ich da die Wahrscheinlichkeit, dass C überlebt, für alle 6 Reihenfolgen ausrechnen?
Bin über jede Hilfe sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallon Kasten,
bitte löche hier keine Fragen, die du bereits eingestellt hast. Das ist hier nicht erwünscht und wird umgehend rückgängig gemacht, was ich oben hiermit getan habe (auch wenn die Aufgabenstellung ziemlich geschmacklos ist).
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 25.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Leider habe ich keine feste Idee.
> Muss ich da die Wahrscheinlichkeit, dass C überlebt, für
> alle 6 Reihenfolgen ausrechnen?
Das ist bei den 6 möglichen Schussreihenfolgen ein durchaus guter Ansatz.
>
> Bin über jede Hilfe sehr dankbar.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Kasten |
Jeder will den gefährlichsten Gegner ausschalten: Für A ist B der gefährlichste, daher schießt er auf ihn. B ahnt wohl, dass er von A getötet wird, falls dieser aber doch auf C schießt, ist seine beste Wahl, auf A zu
schießen. C weiß, dass A wohl B erschießen wird – und in der zweiten Runde ihn. Daher ist es seine beste Wahl, auf A zu schießen.
Aber wie kriege ich daraus eine richtige Reihenfolge???
2) 1. Runde des Duells:
A schießt auf B – trifft zu 100%: B ist tot
B schießt auf A – trifft zu 50%, A überlebt zu
50%
C schießt auf A – trifft zu 33%, A überlebt zu
67%
A überlebt, wenn weder B noch C treffen – das
hat eine Wahrscheinlichkeit von 0,5 x 0,67 = 0,335
= 33,5%
Mit 66,5% Wahrscheinlichkeit (in 7 von 8 Fällen) ist
C der einzige Überlebende nach der 1. Runde!
Zweite Runde des Duells (33,5% Eintrittswahrscheinlichkeit):
A schießt auf C – sicherer Treffer, C ist tot
C schießt auf A – 33% Treffer, A überlebt zu 67%
C ist tot, A stirbt zu 0,33 x 0,335 = 11,055%
A überlebt mit 0,67 x 0,335 = 22,445% Wahrscheinlichkeit
???
Wer hilft bzw. korrigiert? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mo 25.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Jeder will den gefährlichsten Gegner ausschalten: Für A
Das ist nicht unter allen Umständen die beste Strategie (siehe unten), aber wir wollen sie jetzt zwingend zugrunde legen.
> Aber wie kriege ich daraus eine richtige Reihenfolge???
Das hast du ja selbst schon im Initialposting beantwortet und wurde dir auch von M.Rex bestätigt. Alle sechs Möglichkeiten durchrechnen, wenngleich es augenscheinlich ist, dass A besser nicht beginnt und es sicher auch besser ist, wenn B vor A zum Schuss kommt. Also kommen dadurch CBA und BCA in die engere Wahl. Dass ABC und ACB identische Ergebnisse haben liegt zB auch auf der Hand, da in beiden Fällen B nicht zum Schuss kommt und C mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 überlebt.
> Wer hilft bzw. korrigiert? Danke!
Wenn A je zum Schuss kommt, dann ist das Duell entweder in der nächsten oder spätestens in der übernächsten Runde zu Ende und man kann sich die Wahrscheinlichkeiten leicht etwa in einem Bäumchen aufmalen. Wird A aber getroffen, bevor er selbst zum Schuss kommt, dann läuft das auf ein Duell B gegen C hinaus und das kann sich unendlich lang ziehen. Da wird das Bäumchen schon mal zu groß und man muss sich etwas anderes überlegen. Man sieht aber schnell, dass die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten auf die Summe einer geometrischen Reihe hinausläuft und somit leicht berechenbar ist.
Beginnt C im Duell mit B, dann ist seine Wahrscheinlichkeit zu überleben exakt 50%. Beginnt B, verringert sich die Überlebenswahrscheinlichkeit von C auf nur 25%.
Mit diesen Werten lassen sich nun leicht die gewünschten Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Falls ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe gilt für die Reihenfolge CBA (angeben sind immer die Überlebenswahrscheinlichkeiten):
[mm] $p(A)=\br{2}{9}\approx22,2\ \%\ [/mm] \ \ [mm] p(B)=\br{5}{12}\approx41,7\ \%\ [/mm] \ \ [mm] p(C)=\br{13}{36}\approx36,1\ \%$
[/mm]
Hingegen erhält man für die Reihenfolge BAC die Wahrscheinlichkeiten
[mm] $p(A)=\br{1}{3}\approx33,3\ \%\ [/mm] \ \ [mm] p(B)=\br{1}{4}=25,0\ \%\ [/mm] \ \ [mm] p(C)=\br{5}{12}\approx41,7\ \%$
[/mm]
Jede andere Reihenfolge hat für C eine geringere Überlebenswahrscheinlichkeit.
Die Aufgabe selbst ist ja schon recht alt und findet sich in einer Reihe von Büchern der sogen. Unterhaltungsmathematik. Üblicherweise ist aber die Reihenfolge mit CBA vorgegeben und nach der optimalen Strategie von C gefragt. Diese besteht offensichtlich darin, den ersten Schuss absichtlich in die Luft abzugeben (wir wollen dabei annehmen, dass er das in jedem Fall schafft ohne einen seiner Gegner zu verletzen), damit sind wir dann bei der für ihn günstigeren BAC Reihenfolge.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Di 26.08.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Kasten!
> Drei Schützen duellieren sich solange gegenseitig, bis nur
> noch einer überlebt. A trifft immer, B trifft mit 50%, C
> trifft nur jedes 3. Mal. Dafür darf C bestimmen, in
> welcher Reihenfolge geschossen wird.
> (Beispiel: C bestimmt die Reihenfolge ABC: dann schießt
> erst A, wenn B dann noch lebt, darf B schießen, wenn C
> dann noch lebt darf C schießen, wenn A dann noch lebt, und
> noch Gegner hat, darf A wieder schießen usw.)
>
> a) Welche Reihenfolge sollte C bestimmen?
>
> b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überlebt C?
Die Worte "duellieren" und "gegenseitig" deuten darauf hin, dass immer zwei Personen gleichzeitig schießen.
Beim ersten Lesen habe ich die Aufgabe aber so verstanden:
Angenommen C wählt die Reihenfolge ABC. Dann darf zunächst A einen Schuss abgeben (ohne dass sein Opfer zurückschießt). Falls B jetzt noch lebt, darf dieser schießen. Nun darf, Lebendigkeit vorausgesetzt, C schießen. Dann wieder A usw.
> P(A)=1, P(B)=1/2, P(C)=1/3
Ist die Formulierung "C trifft nur jedes 3. Mal" wirklich als P(C)=1/3 zu verstehen, oder wörtlich, d.h. erst wenn er zum dritten Mal dran ist, trifft er (und zwar mit 100% Wahrscheinlichkeit)?
Dies nur so als Anmerkung. Vielleicht hilft es ja...
Lieben Gruß,
Fulla
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