Duell mit Schützen, W-keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Di 26.10.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Zwei Schützen treten zum Duell an. Dabei schießen die Kontrahenten gleichzeitig
aufeinander. Wenn beide Schützen den Schusswechsel überleben, ist ein weiterer notwendig.
Das Duell wird fortgesetzt, bis eine Entscheidung gefallen ist. Dabei trit t Schütze A mit
Wahrscheinlichkeit p und Schütze B mit Wahrscheinlichkeit q. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
überlebt Schütze A das Duell, mit welcher Wahrscheinlichkeit überlebt Schütze B? |
Hallo Matheraumler,
Könnte jemand bitte meine Lösung kontrollieren und sagen, ob das reicht.
Also:
Ereignisse:
keiner trifft (0,0) : (1-p)(1-q)
A trifft (1,0) : p * (1-q)
B trifft (0,1) : (1-p) * q
beide treffen (1,1) : p * q
Überlebenwahrscheinlichkeit von A = P(Aü)
P(Aü) = P(0,0)* P(Aü) + P(1,0) - P(0,1) - P(1,1)
[mm] \gdw [/mm] P(Aü) = [mm] \bruch{P(1,0) - P(0,1) - P(1,1)}{1 - P(0,0)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] P(Aü) = [mm] \bruch{p - q - pq}{p+q-pq}
[/mm]
das ist insofern sinnvoll:
0 [mm] \le \bruch{p - q - pq}{p+q-pq} \le [/mm] 1
Analog verfährt man bei der Überlebenswahrscheinlichkeit von B P(Bü) und erhält:
P(Bü) = [mm] \bruch{q - p - pq}{q+p-pq}
[/mm]
das ist insofern sinnvoll:
0 [mm] \le \bruch{q - p - pq}{q+p-pq} \le [/mm] 1
Ist damit die Aufgabe erledigt?
Vielen Dank.
Gruß
Felix
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Moin, stell' dir vor: Im Jahre 2022 werden Lehrämter immer noch mit dieser Aufgabe gequält... -.- Das, was hier von mir steht, gab ganze 2 von 2 Punkte. Also fleißig durchdenken und dann abschreiben XD.
Omega = [mm] ({0,1})^{(n)}, [/mm] wobei 0 = nicht getroffen, 1 = getroffen. ##Unser Übungsleiter hat aber gesagt, dass "hoch n" nicht stimmt... naja, muss er wissen.
W =(kleines [mm] omega_1, [/mm] kleines [mm] omega_2), [/mm] wobei [mm] omega_1 [/mm] = Schuss des Schütze 1 und [mm] omeaga_2 [/mm] = Schuss von B ist.
Omega = {(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}
P({(0,0)}) = (1-q)*(1-p) = 1-p-q+pq
P({(1,0)}) = p* (1-q) = p-pq
P({(0,1)}) = q*(1-p) = q-pq
P({(1,1)}) = p*q = pq
Wahrscheinlichkeit, dass A überlebt?
P(A) = P(1,0)+ P(0,0)* P(A) | * [mm] \bruch{1}{P(A)}
[/mm]
[mm] \bruch{P(A)}{P(A)} [/mm] = [mm] \bruch{P(1,0)}{P(A)} [/mm] + P(0,0) |-P(0,0)
1- P(0,0) = [mm] \bruch{P(1,0)}{P(A}
[/mm]
[mm] \bruch{(1-P(0,0))}{P(1,0)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{P(A)}
[/mm]
P(A) = [mm] \bruch{P(1,0)}{1-P(0,0)}
[/mm]
-> P(A) = [mm] \bruch{p-qp}{1-1+p+q-pq} [/mm] = [mm] \bruch{p-pq}{p+q-pq} [/mm]
Wahrscheinlichkeit, dass B überlebt?
P(B) = P(0,1) + P(0,0) * P(B)
= ... (analog zu A)
-> P(B) = [mm] \bruch{q-pq}{p+q-pq}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Di 26.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> das ist insofern sinnvoll:
> 0 $ [mm] \le \bruch{p - q - pq}{p+q-pq} \le [/mm] $ 1
Das ist es doch gerade nicht, wenn z.B. p = q = 1 ist.
Der Fehler liegt hier :
> P(Aü) = P(0,0)* P(Aü) + P(1,0) - P(0,1) - P(1,1)
die letzten beiden Simmanden sind zu streichen.
Bei Division beachten : Nicht durch 0 teilen !
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:18 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo, danke dir für die Antwort.
D.h. P(Aü) = P(0,0) P(Aü) + P(1,0) = [mm] \bruch{p* (1-q)}{ 1 - (1-q)(1-p)} [/mm]
= [mm] \bruch{p - pq }{ 1 - 1+p+q-pq)} [/mm] = [mm] \bruch{p - pq }{p+q-pq)}
[/mm]
das ist aber nicht kleiner 0 und größer 1
Analog mit B:
P(A) = = [mm] \bruch{q - pq }{q+p-pq)}
[/mm]
Richtig?
Danke dir nochmal.
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Sax |
ja, richtig, falls der Nenner nicht 0 ist !
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Danke vielmals.
Gruß
Felix
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