Durch Norm induzierte Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Pizza89 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IR², \parallel*\parallel) [/mm] die euklidische Ebene. Die SNCF-Metrik auf [mm] \IR² [/mm] wird durch
d: [mm] \IR² [/mm] x [mm] \IR² \to \IR
[/mm]
(x,y) [mm] \mapsto \begin{cases} \parallel x-y \parallel, & \mbox{falls x, y und 0 auf einer Gerade liegen} \\ \parallel x \parallel + \parallel y \parallel, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
definiert. Wird die SNCF-Metrik von einer Norm induziert? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
mein Problem ist nicht das Lösen dieser Aufgabe, sondern generell, was man alles zeigen/wiederlegen muss, um zu beweisen, dass eine Metrik von einer Norm induziert wird. Die Aufgabe habe ich nur mal mit rangehangen, falls es jemand anhand eines Beispiels erklären möchte.
Vielen Dank im vorraus für jeden Versuch, mich aufzuklären
Pizza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm](\IR², \parallel*\parallel)[/mm] die euklidische Ebene. Die
> SNCF-Metrik auf [mm]\IR²[/mm] wird durch
> d: [mm]\IR²[/mm] x [mm]\IR² \to \IR[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \parallel x-y \parallel, & \mbox{falls x, y und 0 auf einer Gerade liegen} \\ \parallel x \parallel + \parallel y \parallel, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> definiert. Wird die SNCF-Metrik von einer Norm induziert?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> mein Problem ist nicht das Lösen dieser Aufgabe, sondern
> generell, was man alles zeigen/wiederlegen muss, um zu
> beweisen, dass eine Metrik von einer Norm induziert wird.
> Die Aufgabe habe ich nur mal mit rangehangen, falls es
> jemand anhand eines Beispiels erklären möchte.
>
1)
Da eine Norm einen Vektorraum voraussetzt, muss die gegebene Metrik auf einem solchen definiert sein.
2)
Die Metrik erfüllt ja [mm]d(x,y)=0\gdw x=y[/mm], [mm]d(x,y)=d(y,x)[/mm] und [mm]d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)[/mm]
Eine Norm braucht [mm]||x||=0\Rightarrow x=0[/mm], [mm]||ax||=|a|||x||[/mm] und [mm]||x+y||\le||x||+||y||[/mm]
Sei nun [mm]d[/mm] eine Metrik und durch eine Norm erzeugt. Dann existiert also eine Norm [mm]||.||[/mm] mit
[mm]d(x,y)=||x-y||[/mm].
Daraus folgt jetzt, dass [mm]d(x,0)[/mm] eine Norm ist und dass gilt,
[mm]d(x-y,0)=d(x,y)[/mm].
Sei nun eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben, welche diese beiden letzten Eigenschaften hat. Dann ist also [mm]||x||:=d(x,0)[/mm] eine Norm und diese Norm induziert dann [mm]d[/mm]:
[mm]d(x,y)=||x-y||=d(x-y,0)=d(x,y)[/mm]
Es reicht auch, wenn [mm]d(ax,0)=|a|d(x,0)[/mm] und [mm]d(x-y,0)=d(x,y)[/mm]. Dann ist [mm]||x||:=d(x,0)[/mm] eine Norm:
[mm]||x||=0\Rightarrow d(x,0)=0\Rightarrow x=0[/mm].
[mm]||ax||=d(ax,0)=|a|d(x,0)=|a|||x||[/mm]
[mm]||x+y||=d(x+y,0)=d(x,y)\le d(x,0)+d(0,y)=d(x,0)+d(y,0)=||x||+||y||[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Pizza89 |
Vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort. Hat mir sehr geholfen. Habs jetzt gerafft.
Gruß
Pizza
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