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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 10.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich habe folgendes zu zeigen:
a) Der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen des [mm] \IR^{n} [/mm] ist offen.
b) Die Vereinigung endlich vieler offener Mengen des [mm] \IR^{n} [/mm] ist abgeschlossen
zu a)
Hab mir erstmal nen Bsp. gemacht auch wenns keine Vektoren sind:
Die a sehe ich , aber die b) net:
(0,2) [mm] \cap [/mm] (1,2) [mm] \cap [/mm] (0,2) [mm] \cap [/mm] (0,4) = (1,2)
b)
(0,2) [mm] \cup [/mm] (1,2) [mm] \cup [/mm] (0,2) [mm] \cup [/mm] (0,4) = {0.00001,.....,3.999999}
Aber zur mathematischen Lösung:
a)
Problem ist, hab mir die Definitionen von offenen Mengen (von inneren Punkten usw. angeschaut), aber ich würd a) nun für den Fall n=2 zeigen, aber eigentlich steht da ja, beliebig viele (also auch unendlich viele), daher ist das wohl falsch, oder ?
Ich wollte da in etwas so vorgehen:
A und B offen, d.h [mm] A=A^{0} [/mm] und [mm] B=B^{0}
[/mm]
mit [mm] A^{0}= [/mm] {a [mm] \in R_{n} [/mm] | a*innerer*Punkt}
a [mm] \in U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
=> [mm] \exists \varepsilon_{1},\varepsilon_{2} [/mm] >0: [mm] U_{ \varepsilon_{1}} \subseteq [/mm] A und [mm] U_{\varepsilon_{2}} \subseteq [/mm] B.
Mit [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] min(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2})
[/mm]
folgt:
[mm] U_{ \varepsilon } [/mm] (a) [mm] \subset U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
b)
[mm] R^{n} [/mm] \ A ist offen <=> A abgeschlossen
d.h ich muss zeigen [mm] R^{n} [/mm] \ [mm] \bigcap_{i=1}^{n} B_{i} [/mm] ist offen.
Also z.z., dass [mm] \bigcup_{i=1}^{n} R^{n} [/mm] \ [mm] B_{i} [/mm] offen ist.
Das würd ich so machen:
Sei x [mm] \in [/mm] U= [mm] \bigcup_{i \in I}^{n} U_{i}. [/mm] Dann [mm] \exists [/mm] ein j [mm] \in [/mm] I mit x [mm] \in U_{i}. [/mm] (irgendwoher muss es ja stammen). [mm] U_{j} [/mm] ist also die Umgebung von x. Da aber U eine Obermenge von [mm] U_{j} [/mm] ist, ist U erst Recht Umgebung von x.
Damit hätte ich gezeigt, dass [mm] \bigcup_{i \in I}^{n} U_{i} [/mm] offen ist (wenn denn die [mm] U_{i} [/mm] offen sind), somit auch die obere Aussage, oder ?
Danke für eure Hilfe !
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Di 10.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Faenol!
> a) Der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen des
> [mm]\IR^{n}[/mm] ist offen.
>
> b) Die Vereinigung endlich vieler offener Mengen des
> [mm]\IR^{n}[/mm] ist abgeschlossen
Beide Aussagen sind total falsch:
Gegenbeispiel zu a):
[mm] $A_n:=\left]-\frac{1}{n},\;\frac{1}{n}\right[$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] sind offene Intervalle von [mm] $\IR^1$, [/mm] aber der Schnitt über alle diese:
$ [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i=\{0\}$ [/mm] ist abgeschlossen (und nicht offen!) in [mm] $\IR$.
[/mm]
b) Ein ganz triviales Gegenbeispiel:
[mm] $A_1:=]-1,\;1[$, $A_2:=\left]-\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\right[$ [/mm] sind offene Mengen aus [mm] $\IR^1$, [/mm] aber die endliche Vereinigung:
[mm] $\bigcup_{i=1}^{2}A_i=A_1$ [/mm] ist offen (und nicht abgeschlossen!) in [mm] $\IR^1$.
[/mm]
Bitte prüfe erst einmal die Aufgabenstellung. Die vermutlich richtigen Aussagen (inkl. eines Beweises, denn du entsprechend deinen Kenntnissen umformulieren kannst!) findest du z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) Skript, Satz 9.7, S. 86 (interne Zählung), + Satz 9.11 auf S. 87
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 10.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi Marcel !
Ja, hmm, ich kopiers mal rüber:
- Der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen
des Rn ist offen.
- Die Vereinigung endlich vieler offener Mengen des
Rn ist abgeschlossen.
Das steht da... Ich dachte, es könnte dran liegen, dass man sich im [mm] R^{n} [/mm] befindet. Ich mein, ich bin da bissle gutgläubig, wer weiß, was im [mm] R_{n} [/mm] mit 'ner Metrik oder was auch immer so passieren kann...
Als ich gegooglet hab, bin ich allerdings auch immer auf Beweise gestoßen, die öfters was anderes bewiesen haben, als meine Aussage !
Hmm, ich glaub dir ja und erst recht deinen Beispielen...
*verwirrt und verstört bin, Übungsaufgabe falsch --> ERROR *
Aber naja, wenn sie falsch gestellt sind....... *schulterzuck*
Faenôl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Di 10.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Faenol!
> Hi Marcel !
>
> Ja, hmm, ich kopiers mal rüber:
>
> - Der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen
> des Rn ist offen.
> - Die Vereinigung endlich vieler offener Mengen des
> Rn ist abgeschlossen.
>
> Das steht da... Ich dachte, es könnte dran liegen, dass
> man sich im [mm]R^{n}[/mm] befindet.
Naja, für $n=1$ befinden wir uns auch dann in [mm] $\IR$ [/mm]  !
> Ich mein, ich bin da bissle
> gutgläubig, wer weiß, was im [mm]R_{n}[/mm] mit 'ner Metrik oder was
> auch immer so passieren kann...
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Keine Sorge, meistens ist das alles immer nur "technischer Natur", was da passieren kann. Ihr betrachtet ja immer die von der "üblichen Metrik" induzierte Topologie... Okay, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , vermutlich weißt du noch gar nichts über Topologien (oder?)!
Aber schau mal, die Aussagen kann man auch locker für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] widerlegen:
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest. Für jedes natürliche $k$ ist [mm] $C_k:=\left\{x \in \IR^n:\;||x|| < \frac{1}{k}\right\}$ [/mm] (wobei für $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] $||x||$ definiert sei durch [m]||x||:=\wurzel{\summe_{i=1}^n x_i^2}[/m] ) eine offene Menge des [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Aber:
[m] \bigcap_{i=1}^{\infty}C_i=\left\{0 \right\}[/m] ist abgeschlossen (und nicht offen!), wobei hier:
[mm] $0=\vektor{0\\.\\.\\.\\0} \in \IR^n$ [/mm] sei!
Aussage b) kann man ganz trivial widerlegen:
Man nehme einfach irgendeine offene, echte Teilmenge des [mm] $\IR^n$, [/mm] z.B. die offene Einheitskugel:
[mm] $D_1:=\IB_n:=\left\{x \in \IR^n:\;||x|| < 1\right\}$.
[/mm]
Nun bilden wir die endliche Vereinigung:
$ [mm] \bigcup_{i=1}^{1} D_i=\IB_n$ [/mm] und das ist eine offene, und nicht abgeschlossene, Menge des [mm] $\IR^n$. [/mm] Das hätte ich eben vielleicht auch so formulieren sollen, denn es gibt ja schon Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Naja, zwar nicht viele in diesem Falle (das hat z.B. etwas mit dem Begriff "Zusammenhang von Mengen in metrischen Räumen" (Skript, Definition 26.18) zu tun!), aber man sollte doch dran denken. Ich formuliere das noch um! [mm] ($\leftarrow$ bereits erledigt ;-))
Übrigens, wenn du doch eine Vereinigung über 2 Mengen haben willst:
$D_2:=\frac{1}{2}D_1=\left\{x \in \IR^n:\;||x|| < \frac{1}{2}\right\}$, aber:
$ \bigcup_{i=1}^{2} D_i=\IB_n$ ist nicht abgeschlossen (aber offen) im $\IR^n$!
> Als ich gegooglet hab, bin ich allerdings auch immer auf
> Beweise gestoßen, die öfters was anderes bewiesen haben,
> als meine Aussage !
>
> Hmm, ich glaub dir ja und erst recht deinen Beispielen...
Gut :-)!
> *verwirrt und verstört bin, Übungsaufgabe falsch --> ERROR
> *
>
> Aber naja, wenn sie falsch gestellt sind.......
> *schulterzuck*
Naja, dann guck in das (von mir erwähnte) Skript, schau dir die wirklichen Aussagen an und probiere erst mal, sie alleine zu beweisen. Denn Ansätze hast du ja, denke ich (ich habe deine Beweise nur überflogen, da du ja nicht beweisbare Aussagen beweisen wolltest. Aber wenn man die "wahren Aussagen" beweist, dann hatte manches, was du geschrieben hattest, Ähnlichkeit damit; sofern mich mein Gedächtnis nicht trübt ;-). Und ich denke, wenn du die "wahren Aussagen" kennst, dann bekommst du die Beweise auch, zumindest teilweise, zusammen :-))! Und notfalls bzw. ggf. kannst du ja auch hier nochmal nachfragen :-)!
PS:
Die eigentliche Aufgabe könnte zum Beispiel so lauten:
- Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen des $\IR^n$ ist offen.
- Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen des $\IR^n$ ist offen.
Aber da bei der ursprünglichen Aufgabenstellung auch das Wort 'abgeschlossen' vorkam, kann es auch sein, dass ich mich da täusche.
(Es gibt auch noch die Sätze:
- Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen des $\IR^n$ ist abgeschlossen
- Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen des $\IR^n$ ist abgeschlossen
Das ergibt sich z.B. sofort mit "De Morgan", wenn man die obigen Aussagen über "Vereinigung/Durchschnitt offener Mengen" bereits bewiesen hat!)
Frage am besten einfach mal beim Prof./Übungsleiter nach, wie die eigentliche Aufgabe lauten soll :-)!
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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