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Durchschnitt von Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:08 Mi 14.09.2016
Autor: Jura86

Aufgabe
Berechnen Sie den Durchschnitt folgender drei Ebenen im R3 (im zweiten Teil
in Abhängigkeit von  Lamda):


Das sind die gegebenen Werte :
[mm] E_{1} [/mm] = [mm] \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} = 4\right\} [/mm]

[mm] E_{2} [/mm] = [mm] \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| x_{1} + \lambda x_{2} - 3x_{3} = -13\right\} [/mm]

[mm] E_{3} [/mm] = [mm] \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| x_{1} - x_{2} + x_{3} = -1 \right\} [/mm]

Ich habe soweit gerechnet und habe das raus.
[mm] \begin{pmatrix} 1 & \frac{-3}{2} & 2 &|2\\ & (\lambda -\frac{2}{3}) & -5 & | -15 \\ 0 & (\lambda -1) & 0 & | 0 \end{pmatrix} [/mm]

Wie muss ich hier weiterrechnen ?
Könnte mir das jemand kurz und Detaliert zeigen ?
ich weiß nämlich nicht mehr wie ich die Klammern verrechnen soll.

Habe ich überhaupt soweit richtig gerechnet?


        
Bezug
Durchschnitt von Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 Mi 14.09.2016
Autor: hippias


> Berechnen Sie den Durchschnitt folgender drei Ebenen im R3
> (im zweiten Teil
>  in Abhängigkeit von  Lamda):
>  Das sind die gegebenen Werte :
>  [mm]E_{1}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} = 4\right\}[/mm]
>  
> [mm]E_{2}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| x_{1} + \lambda x_{2} - 3x_{3} = -13\right\}[/mm]
>  
> [mm]E_{3}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| x_{1} - x_{2} + x_{3} = -1 \right\}[/mm]
>  
> Ich habe soweit gerechnet und habe das raus.
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & \frac{-3}{2} & 2 &|2\\ & (\lambda -\frac{2}{3}) & -5 & | -15 \\ 0 & (\lambda -1) & 0 & | 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Wie muss ich hier weiterrechnen ?
> Könnte mir das jemand kurz und Detaliert zeigen ?
>  ich weiß nämlich nicht mehr wie ich die Klammern
> verrechnen soll.

Die untere Matrixzeile bedeutet: [mm] $(\lambda-1)x_{2}=0$. [/mm] Nun ist eine Fallunterscheidung notwendig: [mm] $\lambda=1$ [/mm] und [mm] $\lambda\neq [/mm] -1$. Im Fall [mm] $\lambda=1$ [/mm] ist [mm] $x_{2}$ [/mm] beliebig, da die Klammer $=0$ ist. Die mittlere Matrixzeile liefert durch umstellen und mit [mm] $\lambda= [/mm] 1$, dass [mm] $x_{3}= -\frac{1}{5}\left(-15-\frac{1}{3}x_{2}\right)$. [/mm] Ähnlich folgt aus der obersten Matrixzeile durch einsetzen von [mm] $x_{3}$ [/mm] ein Ausdruck für [mm] $x_{1}$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $x_{2}$. [/mm] Damit ist die Lösungsmenge eine (affine) Gerade.

Im Fall [mm] $\lambda\neq [/mm] 1$ folgt aus [mm] $(\lambda-1)x_{2}=0$, [/mm] dass [mm] $x_{2}= [/mm] 0$ ist. Die mittlere Gleichung liefert dann [mm] $x_{3}= [/mm] 3$ und oberste [mm] $x_{1}= [/mm] -4$ o.s.ä.: die Lösung ist ein Punkt.

>  
> Habe ich überhaupt soweit richtig gerechnet?
>  

Meiner Meinung nach hast Du nicht richtig gerechnet.

Bezug
                
Bezug
Durchschnitt von Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Mi 14.09.2016
Autor: Jura86

Vielen Dank !

Bezug
        
Bezug
Durchschnitt von Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Mi 14.09.2016
Autor: HJKweseleit


> Berechnen Sie den Durchschnitt folgender drei Ebenen im R3
> (im zweiten Teil
>  in Abhängigkeit von  Lamda):
>  Das sind die gegebenen Werte :
>  [mm]E_{1}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} = 4\right\}[/mm]
>  
> [mm]E_{2}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| x_{1} + \lambda x_{2} - 3x_{3} = -13\right\}[/mm]
>  
> [mm]E_{3}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{b}| x_{1} - x_{2} + x_{3} = -1 \right\}[/mm]
>  
> Ich habe soweit gerechnet und habe das raus.
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & \frac{-3}{2} & 2 &|2\\ & (\lambda -\frac{2}{3}) & -5 & | -15 \\ 0 & (\lambda -1) & 0 & | 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Wie muss ich hier weiterrechnen ?
> Könnte mir das jemand kurz und Detaliert zeigen ?
>  ich weiß nämlich nicht mehr wie ich die Klammern
> verrechnen soll.
>  
> Habe ich überhaupt soweit richtig gerechnet?
>  




Du kannst auch so ohne Matrizenrechnung vorgehen: [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{3} [/mm] sind konkret angegeben. Daraus errechnest du die Schnittgerade

g: [mm] \vec{x}=k*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+\vektor{-7 \\ -6 \\0}. [/mm]

Nun bringst du g mit [mm] E_2 [/mm] zum Schnitt durch Einsetzen der Komponenten:

[mm] (k-7)+\lambda*(2k-6)-3(k)= [/mm] -13
[mm] \Rightarrow 2k(\lambda-1)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] k = 0 oder [mm] \lambda [/mm] = 1.

Einsetzen in [mm] E_2 [/mm] ergibt im 2. Fall wieder g und im ersten Fall den Schnittpunkt (-7 | -6  0).


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