Durchschnittlichen Wert ermitt < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 2013-1
Schleswig-Holstein – Kernfach Mathematik
2013 – Aufgabe 1: Analysis
Der Bungsberg ist die höchste Erhebung Schleswig-Holsteins und das einzige Winter-
sportgebiet unseres Bundeslandes. Als Attraktion soll eine kleine Skisprungschanze
installiert werden.
Der mit dem Bau beauftragte Architekt schlägt für das Projekt folgende Modellierung
vor: Das Profil der Anlaufbahn bis zum Ende des Schanzentisches (Absprungpunkt
des Springers) wird durch die Graphen der Funktionen g und f mit
g(x) =–x für –3 ≤ x ≤ –1
f(x) = 0,4 ⋅ x hoch 2 – 0,2 ⋅ x + 0,4 für –1 ≤ x ≤ 0
modelliert.
a) Bestimmen Sie den Neigungswinkel am Ende des Schanzentisches sowie den durchschnittlichen Neigungswinkel des gesamten Anlaufs, also vom Beginn der Anlaufbahn bis zum Ende des Schanzentisches.
Hinweise und Tipps:
Nach Aufgabenstellung hat der Startpunkt die Koordinaten (–3|g(–3)) und der Absprungpunkt die Koordinaten (0|f(0)).
Die Steigung dieser Geraden kann durch das Steigungsdreieck ermittelt werden. Bestimmen Sie dafür den Wert des Quotienten aus der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der zugehörigen Stellen.
Lösung: a) Den durchschnittlichen Neigungswinkel von der Startposition S(–3|3) bis zum Absprung A(0|0,4) (Ende des Schanzentisches) erhält man durch die Ermittlung der Steigung der Geraden durch die beiden Punkte S und A. Es gilt g(–3) = 3 und f(0) = 0,4. Damit ergibt sich die Steigung der Geraden durch den Quotienten:
(g( 3) - f (0)) : (-3 – 0) = (3 – 0,4) : (-3) = -13:15
Daraus erhält man wie oben einen durchschnittlichen Neigungswinkel durch
tan(alpha) = -13:15
also einen Winkel von ca. 40,91°. |
Wenn man einen durchschnittlichen Wert ermitteln soll, arbeitet man manchmal mit dem Differenzenquotienten (Steigungsdreieck) und manchmal bildet man das Integral, multipliziert mit dem Kehrwert der Interwalllänge.
Ich weiß nicht, wann man welchen Lösungsweg wählen soll.
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> 2013-1
> Schleswig-Holstein – Kernfach Mathematik
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> 2013 – Aufgabe 1: Analysis
> Der Bungsberg ist die höchste Erhebung Schleswig-Holsteins
> und das einzige Winter-
> sportgebiet unseres Bundeslandes. Als Attraktion soll eine
> kleine Skisprungschanze
> installiert werden.
> Der mit dem Bau beauftragte Architekt schlägt für das
> Projekt folgende Modellierung
> vor: Das Profil der Anlaufbahn bis zum Ende des
> Schanzentisches (Absprungpunkt
> des Springers) wird durch die Graphen der Funktionen g und
> f mit
> g(x) =–x für
> –3 ≤ x ≤ –1
> f(x) = 0,4 ⋅ x hoch 2 – 0,2 ⋅ x + 0,4 für –1
> ≤ x ≤ 0
> modelliert.
>
> a) Bestimmen Sie den Neigungswinkel am Ende des
> Schanzentisches sowie den durchschnittlichen Neigungswinkel
> des gesamten Anlaufs, also vom Beginn der Anlaufbahn bis
> zum Ende des Schanzentisches.
>
> Hinweise und Tipps:
> Nach Aufgabenstellung hat der Startpunkt die Koordinaten
> (–3|g(–3)) und der Absprungpunkt die Koordinaten
> (0|f(0)).
> Die Steigung dieser Geraden kann durch das Steigungsdreieck
> ermittelt werden. Bestimmen Sie dafür den Wert des
> Quotienten aus der Differenz der Funktionswerte und der
> Differenz der zugehörigen Stellen.
>
> Lösung: a) Den durchschnittlichen Neigungswinkel von der
> Startposition S(–3|3) bis zum Absprung A(0|0,4) (Ende des
> Schanzentisches) erhält man durch die Ermittlung der
> Steigung der Geraden durch die beiden Punkte S und A. Es
> gilt g(–3) = 3 und f(0) = 0,4. Damit ergibt sich die
> Steigung der Geraden durch den Quotienten:
> (g( 3) - f (0)) : (-3 – 0) = (3 – 0,4) : (-3) = -13:15
>
> Daraus erhält man wie oben einen durchschnittlichen
> Neigungswinkel durch
>
> tan(alpha) = -13:15
>
> also einen Winkel von ca. 40,91°.
> Wenn man einen durchschnittlichen Wert ermitteln soll,
> arbeitet man manchmal mit dem Differenzenquotienten
> (Steigungsdreieck) und manchmal bildet man das Integral,
> multipliziert mit dem Kehrwert der Interwalllänge.
>
> Ich weiß nicht, wann man welchen Lösungsweg wählen
> soll.
Hallo,
Deine Funktion hat auf der y-Achse die Höhe der Schanze.
Durchschnittliche Steigung=durchschnittliche Höhenänderung/Änderung in der Waagerechten ---> Differenzenquotient.
Durchschnittliche Höhe der Schanzen ---> Integral durch Intervall-Länge.
Anderes Beispiel:
Wurfkurve: auf der waagerechten Achse:Zeit, senkrechte Achse: Höhe.
durchschnittliche Geschwindigkeit (Höhenänderung/Zeitänderung): Differenzenquotient
Durchschnittliche Höhe: Integral durch Intervall-Länge
Anderes Beispiel
auf der waagerechten Achse:Zeit, senkrechte Achse: Geschwindigkeit.
Durchschnittliche Beschleunigung( Geschwindigkeitsänderungral/Zeitänderung): Differenzenquotient
Durchschnittliche Geschwindigkeit: Integral/Intervall-Länge.
LG Angela
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| Aufgabe | Aufgabe
Abi 2013-1 Schleswig-Holstein – Kernfach Mathematik
2013 – Aufgabe 1: Analysis
Der Bungsberg ist die höchste Erhebung Schleswig-Holsteins und das einzige Wintersportgebiet unseres Bundeslandes. Als Attraktion soll eine kleine Skisprungschanze installiert werden.
Der mit dem Bau beauftragte Architekt schlägt für das Projekt folgende Modellierung vor:
Das Profil der Anlaufbahn bis zum Ende des Schanzentisches (Absprungpunkt des Springers) wird durch die Graphen der Funktionen g und f mit
g(x) = –x für –3 ≤ x ≤ –1
f(x) = 0,4 [mm] x^2 [/mm] – 0,2 x + 0,4 für –1 ≤ x ≤ 0
modelliert.
a) Bestimmen Sie den Neigungswinkel am Ende des Schanzentisches sowie den durchschnittlichen Neigungswinkel des gesamten Anlaufs, also vom Beginn der Anlaufbahn bis zum Ende des Schanzentisches.
Hinweise und Tipps:
Nach Aufgabenstellung hat der Startpunkt die Koordinaten (–3|g(–3)) und der Absprungpunkt die Koordinaten (0|f(0)).
Die Steigung dieser Geraden kann durch das Steigungsdreieck ermittelt werden. Bestimmen Sie dafür den Wert des Quotienten aus der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der zugehörigen Stellen.
Lösung: a) Den durchschnittlichen Neigungswinkel von der Startposition S(–3|3) bis zum Absprung A(0|0,4) (Ende des Schanzentisches) erhält man durch die Ermittlung der Steigung der Geraden durch die beiden Punkte S und A. Es gilt g(–3) = 3 und f(0) = 0,4. Damit ergibt sich die Steigung der Geraden durch den Quotienten:
(g( 3) - f (0))/(-3 – 0) = (3 – 0,4)/(-3 ) = - 13/(15 )
Daraus erhält man wie oben einen durchschnittlichen Neigungswinkel durch
tan(α) = -13:15
also einen Winkel von ca. 40,91°.
Frage: (19.04.15)
Wenn man einen durchschnittlichen Wert ermitteln soll, arbeitet man manchmal mit dem Differenzenquotienten (Steigungsdreieck) und manchmal bildet man das Integral, multipliziert mit dem Kehrwert der Intervalllänge.
Ich weiß nicht, wann man welchen Lösungsweg wählen soll.
________________________________________
Antwort 19.04.2015
Hallo,
Deine Funktion hat auf der y-Achse die Höhe der Schanze.
Durchschnittliche Steigung = (durchschnittliche Höhenänderung)/(Änderung in der Waagerechten) ---> Differenzenquotient.
Durchschnittliche Höhe der Schanzen ---> Integral durch Intervall-Länge.
Anderes Beispiel:
Wurfkurve: auf der waagerechten Achse: Zeit, senkrechte Achse: Höhe.
durchschnittliche Geschwindigkeit (Höhenänderung/Zeitänderung): Differenzenquotient
Durchschnittliche Höhe: Integral durch Intervall-Länge
Anderes Beispiel
auf der waagerechten Achse: Zeit, senkrechte Achse: Geschwindigkeit.
Durchschnittliche Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung/Zeitänderung): Differenzenquotient
Durchschnittliche Geschwindigkeit: Integral/Intervall-Länge.
LG Angela |
Frage zur Antwort, Anderes Beispiel: Wurfkurve
Eigentlich ist die Geschwindigkeit die Ableitung der Strecke (oder des Weges) und nicht der Höhe,
geht das trotzdem so?
Denn z.B. ein geworfener Ball kann ja bei der Höhenänderung sich zugleich stark vorwärtsbewegen oder schwach; das ist doch dann ein Unterschied in der Geschwindigkeit.
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> Frage: (19.04.15)
> Wenn man einen durchschnittlichen Wert ermitteln soll,
> arbeitet man manchmal mit dem Differenzenquotienten
> (Steigungsdreieck) und manchmal bildet man das Integral,
> multipliziert mit dem Kehrwert der Intervalllänge.
>
> Ich weiß nicht, wann man welchen Lösungsweg wählen soll.
> ________________________________________
> Antwort 19.04.2015
>
> Hallo,
>
> Deine Funktion hat auf der y-Achse die Höhe der Schanze.
>
> Durchschnittliche Steigung = (durchschnittliche
> Höhenänderung)/(Änderung in der Waagerechten) --->
> Differenzenquotient.
> Durchschnittliche Höhe der Schanzen ---> Integral durch
> Intervall-Länge.
>
> Anderes Beispiel:
> Wurfkurve: auf der waagerechten Achse: Zeit, senkrechte
> Achse: Höhe.
> durchschnittliche Geschwindigkeit
> (Höhenänderung/Zeitänderung): Differenzenquotient
> Durchschnittliche Höhe: Integral durch Intervall-Länge
>
> Anderes Beispiel
> auf der waagerechten Achse: Zeit, senkrechte Achse:
> Geschwindigkeit.
> Durchschnittliche Beschleunigung
> (Geschwindigkeitsänderung/Zeitänderung):
> Differenzenquotient
> Durchschnittliche Geschwindigkeit:
> Integral/Intervall-Länge.
>
> LG Angela
> Frage zur Antwort, Anderes Beispiel: Wurfkurve
>
> Eigentlich ist die Geschwindigkeit die Ableitung der
> Strecke (oder des Weges) und nicht der Höhe,
>
> geht das trotzdem so?
Hallo,
in meinem Beispiel bekommst Du natürlich nur die vertikale Komponente der Geschwindigkeit, die Höhenänderung/Zeitänderung.
LG Angela
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> Denn z.B. ein geworfener Ball kann ja bei der
> Höhenänderung sich zugleich stark vorwärtsbewegen oder
> schwach; das ist doch dann ein Unterschied in der
> Geschwindigkeit.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 So 23.10.2016 | | Autor: | hippias |
Du kannst beide Methoden zur Berechnung des Durchschnittswertes benutzen. Scheinbar ist Dir die Bedeutung der Formel [mm] $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} [/mm] g(x)dx$ nicht ganz klar: Diese Formel liefert den durchschnittlichen Funktionswert der Funktion $g$ im Intervall $[a,b]$. Wenn Du nun die durchschnittliche Steigung der Funktion $f$ benötigst, dann rechnest Du [mm] $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} [/mm] f'(x)dx$; dies liefert [mm] $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
[/mm]
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> Den durchschnittlichen Neigungswinkel von der
> Startposition S(–3|3) bis zum Absprung A(0|0,4) (Ende des
> Schanzentisches) erhält man durch die Ermittlung der
> Steigung der Geraden durch die beiden Punkte S und A.
Dahinter könnte man ein Fragezeichen setzen !
Wenn man den Durchschnittswert auf diese Weise berechnet,
erhält man den Mittelwert in Bezug auf eine horizontale
x-Koordinate.
Wenn man aber berücksichtigt, dass der Schanzenspringer
sich ja nicht in der Horizontalen, sondern der Schanzenkurve
entlang bewegt, wäre es eventuell sinnvoll, einen anderen
Mittelwert zu bilden, indem man von einer Mess-Skala
ausgeht, die den Weg entlang dieser Kurve zur Grund-
lage nimmt. Die Rechnung dazu würde naturgemäß schwieriger.
Man könnte sich sogar auf den Standpunkt stellen, dass man
die Zeitskala eines Springers zugrundelegt, der etwa bei
t=0 oben startet und dann (beschleunigt) die Schanze
entlang zum Schanzentisch runterfährt, wo er dann
abspringt. Dieser zeitliche Mittelwert der Steigung wäre
nochmals was anderes !
LG , Al-Chwarizmi
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Mein obiger "Einwand" richtet sich natürlich nur an jene,
die sich tiefer mit dem Thema der Grundlagen von
Mittelwertsberechnungen befassen möchten.
In der Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, war bestimmt
der "simple" Mittelwert in Form der Sekantensteigung
gemeint. Zahlenmäßig würden sich bei den anderen
vorgeschlagenen Mittelwertsberechnungen im vorliegenden
Beispiel bestimmt auch nur geringfügige Unterschiede zeigen.
LG , Al-Chw.
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