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| Aufgabe | Ich hatte in meiner Klausur folgende Aufgabe:
Durchschnittswert y=f(x) auf dem Intervall [1|x] ist für alle x gleich [mm] \bruch{1}{3}f(x). [/mm] Bestimmen Sie diese Funktion. |
Diese Aufgabe ist mir ein absolutes Rätsel. Ich habe keinen Ansatz und ich brauche einen kleinen Hinweis.
Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Du musst hier folgende Integralgleichung lösen:
[mm] $$\bruch{\integral_1^x{f(t) \ dt}}{x-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*f(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ich komme nicht ganz klar. Muss das Integral nicht auch f(x)dx sein?
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Hi,
nein es muss hier nicht f(x) sein, da Loddar hier gleich die Integralfunktion nutzt. Ansonsten hättest du ja nach der Umformung mittels Stammfunktionen kein x mehr zum auflösen.
Liebe Grüße
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Ich verstehe noch nicht ganz wie ihr auf den Ansatz gekommen seit. Das mit dem Integral leichtet mir jetzt ein, aber woher kommt das [mm] \bruch{1}{x-1}? [/mm] Kann mir das jemand erklären. Vielen Dank und frohe Weihnachten
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Hallo!
Es geht hier um den Durchschnittswert.
Du möchtest die unregelmäßige Fläche unter der Funktion gegen eine rechteckige Fläche mit gleichem Flächeninhalt ersetzen. Dazu berechnest du die Fläche unter der Funktion, und teilst dann duch die Breite des Integrationsbereichs, um die Höhe des Rechtecks rauszubekommen.
In deinem Fall ist die untere Grenze bekannt, die obere jedoch nicht.
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hier kommt dann [mm] 3\bruch{F(x)-F(0)}{x-1}=f(x) [/mm] raus.
Aber wie soll ich den Therm weiter umformen, damit da eine Lösung rauskommt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 26.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hier kommt dann [mm]3\bruch{F(x)-F(0)}{x-1}=f(x)[/mm] raus.
> Aber wie soll ich den Therm weiter umformen, damit da eine
> Lösung rauskommt?
Du nimmst mit den Nenner (x-1) mal und bildest die Ableitung. Dann erhälst du eine Differentialgleichung für f.
Viele Grüße
Rainer
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Ich habe:
3*F(x)-3F(0)=f(x)*(x-1)
3*f(x)-3f(0)=f´(x)*(x-1)+f(x)
[mm] f(x)=\bruch{f^{,}(x)(x-1)+3f(0)}{2}
[/mm]
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[mm] 2y=\bruch{dy}{dx}*(x-1)
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{y}*dy=2*\integral\bruch{1}{x-1}*dx
[/mm]
ln |y| = -2 ln |x| +D
y=Cx²
soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Do 27.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Es muss in der 2. Zeile heißen:
[mm] $$\ln|y| [/mm] \ = \ [mm] \red{+} 2*\ln|x [/mm] \ [mm] \red{-1}|+D$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ach ja, richtig.
ich habe aber trotzdem:
ln|y|=2*ln|x-1|+D
ln|y|=ln|3x-1| Binomische formel benutzt
|y|=(3x-1)*C
Kann das sein?
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Ich sehe gerade ich habe die Vorzeichen bei der BF vertauscht und danach foge Fehler. Aber der weg ist der richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Du solltest Dir mal die  Logarithmusgesetze ansehen:
[mm] $$2*\ln|x-1|+D [/mm] \ = \ [mm] \ln|x-1|^{\red{2}}+\ln [/mm] C \ = \ [mm] \ln\left[C*(x-1)^2\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ja das meine ich ja mit miener Mitteilung. Da kommt
ln(x²-2x+1) hin. aber der rest ist doch analog...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Du brauchst (bzw. solltest) die binomische Formel innerhalb des [mm] $\ln$ [/mm] nicht ausrechnen. aber wo kommt denn bei Dir die $3_$ her?
Gruß
Loddar
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bei der 3 hatte ich mich bei der binom. Formel verrechnet. bezieht sich das Quatrat nur auf das Argument des ln oder komplett? Ich denke nur auf das Argument (oder wie der teil auch heißen mag) und dann ist es doch ne Binom. Formel, oder? Sonst habe ich keine Ahnung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Das Quadrat in [mm] $\ln\left[C\cdot{}(x-1)^2\right]$ [/mm] bezieht sich lediglich auf den Term $(x-1)_$ .
Gruß
Loddar
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so hatte ich das auch verstanden. Bin mir jetzt aber nicht sicher was an meinem |y|=(x²-2x+1)*C falsch ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Daran ist nichts falsch. Da [mm] $(...)^2$ [/mm] nicht negativ werden kann, darfst Du auch bei $y_$ die Betragsstriche weglassen.
Gruß
Loddar
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Dank Loddar für deine Hilfe. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Do 27.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
Kleine Anmerkung noch: gemäß den Integrationsgrenzen (siehe auch genanntes Intervall der Aufgabenstellung) muss es wie folgt heißen:
[mm] $$3*\bruch{F(x)-F(\red{1})}{x-1} [/mm] \ = \ f(x)$$
Und es gilt auch $F(1) \ = \ 0$ .
Damit ergibt sich: [mm] $\bruch{3*F(x)}{x-1} [/mm] \ = \ f(x)$ .
Gruß
Loddar
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Und es gilt auch F(1)=0 ??????????
Warum? Ergibt sich das nicht erst bei der Ableitung????
Ist F(1) nicht eine Konstante?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
> Und es gilt auch F(1)=0 ??????????
> Warum?
Die Funktion $F(x) \ = \ [mm] \integral_1^x{f(t) \ dt}$ [/mm] gibt doch den Flächeninhalt der Funktion $f(x)_$ vom Startwert [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1$ bis zum Endwert [mm] $x_2 [/mm] \ = \ x$ an.
Und beim Funktionswert $F(1)_$ ist doch überhaupt keine Fläche vohanden, da die Breite des Intervalles Null beträgt.
> Ist F(1) nicht eine Konstante?
Ja!
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der Term [mm] $3*F(\red{1})$ [/mm] (siehe 