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| Aufgabe | a) Sei H eine Halbgruppe und U' eine Menge von Unterhalbgruppen von H. Zeigen Sie, dass [mm] \bigcap_{U \in U'}U [/mm] genau dann Unterhalbgruppe von H ist, wenn [mm] \bigcap_{U \in U'}U \not= \emptyset.
[/mm]
b) Sei M Monoid (Gruppe) und U' eine Menge von Untermonoiden (Untergruppen) von M. Zeigen Sie, dass [mm] \bigcap_{U \in U'}U [/mm] Untermonoid (Untergruppe) von M ist.
c) Sei R Ring (Ring mit Einselement, Schiefkörper) und S' eine Menge von Unterringen (Unterringen mit Einselement, Teilschiefkörpern) von R. Zeigen Sie, dass [mm] \bigcap_{S \in S'}S [/mm] Unterring (Unterring mit Einselement, Teilschiefkörper) von R ist. |
Hallo liebe Matheraum-Gemeinde,
ich hab die oben stehende Aufgabe zu lösen und bin mir nicht sicher, ob meine Denkrichtung die richtige war bzw. ist.
Zu a) dachte ich mir, wenn H aus Unterhalbgruppen U besteht und wir die Menge dieser mit U' beschreiben, dann muss die Vereinigung dieser Unterhalbgruppen doch wieder die Halbgruppe H selbst ergeben und da H ja selbst eine Unterhalbgruppe ist, ist damit der Beweis erbracht.
Oder muss ich hier zeigen, dass die Vereinigung der Unterhalbgruppen selbst assoziativ und abgeschlossen ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Do 05.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> a) Sei H eine Halbgruppe und U' eine Menge von
> Unterhalbgruppen von H. Zeigen Sie, dass [mm]\bigcap_{U \in U'}U[/mm]
> genau dann Unterhalbgruppe von H ist, wenn [mm]\bigcap_{U \in U'}U \not= \emptyset.[/mm]
>
> b) Sei M Monoid (Gruppe) und U' eine Menge von
> Untermonoiden (Untergruppen) von M. Zeigen Sie, dass
> [mm]\bigcap_{U \in U'}U[/mm] Untermonoid (Untergruppe) von M ist.
>
> c) Sei R Ring (Ring mit Einselement, Schiefkörper) und S'
> eine Menge von Unterringen (Unterringen mit Einselement,
> Teilschiefkörpern) von R. Zeigen Sie, dass [mm]\bigcap_{S \in S'}S[/mm]
> Unterring (Unterring mit Einselement, Teilschiefkörper)
> von R ist.
>
> Hallo liebe Matheraum-Gemeinde,
>
> ich hab die oben stehende Aufgabe zu lösen und bin mir
> nicht sicher, ob meine Denkrichtung die richtige war bzw.
> ist.
> Zu a) dachte ich mir, wenn H aus Unterhalbgruppen U besteht
> und wir die Menge dieser mit U' beschreiben, dann muss die
Hmm? Du hast einfach eine Menge $U'$ von Unterhalbgruppen $U$ von $H$ gegeben.
> Vereinigung dieser Unterhalbgruppen doch wieder die
> Halbgruppe H selbst ergeben und da H ja selbst eine
Die Vereinigung aller Unterhalbgruppen ist wieder $H$, da insbesondere $H$ selber eine Unterhalbgruppe ist. Aber das muss nicht fuer die Menge $U'$ gelten, und davon abgesehen geht es bei dieser Aufgabe nicht um die Vereinigung, sondern um den Durchschnitt!
> Unterhalbgruppe ist, ist damit der Beweis erbracht.
Nein.
> Oder muss ich hier zeigen, dass die Vereinigung der
> Unterhalbgruppen selbst assoziativ und abgeschlossen ist?
Nein. Du musst hier zeigen, dass der Durchschnitt von Unterhalbgruppen wieder eine Unterhalbgruppe ist, also die Axiome einer Unterhalbgruppe erfuellt. Liste diese erstmal auf und fange dann an diese Nachzupruefen!
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank, dass Du drüber geschaut hast. Vereinigung und Durchschnitt zu verwechseln war ein blöder und vermeidbarer Fehler von mir.
Die Axiome für eine Halbgruppe sind ja zum einen, dass es eine binäre Verknüpfung gibt, die assoziativ ist und bezüglich der Operation abgeschlossen ist. Also wenn es u,v [mm] \in \bigcap_{U \in U'}U [/mm] gibt, dann muss gelten u [mm] \odot [/mm] (v [mm] \odot [/mm] w)= (u [mm] \odot [/mm] v) [mm] \odot [/mm] w und u [mm] \odot [/mm] v [mm] \in\bigcap_{U \in U'}U \Box
[/mm]
Dann müsste ich für das Monoid noch das neutrale Element e nachweisen durch e [mm] \odot [/mm] u = u [mm] \odot [/mm] e = u [mm] \Rightarrow [/mm] e [mm] \in \bigcap_{U \in U'}U
[/mm]
Für die Gruppe noch die Inversen und deren Abgeschlossenheit durch u [mm] \odot [/mm] u' = u' [mm] \odot [/mm] u = e [mm] \Rightarrow [/mm] u' [mm] \in \bigcap_{U \in U'}U [/mm] und u= (u')' [mm] \Box
[/mm]
Bin ich da jetzt auf dem richtigen Weg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 07.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> vielen Dank, dass Du drüber geschaut hast. Vereinigung und
> Durchschnitt zu verwechseln war ein blöder und
> vermeidbarer Fehler von mir.
>
> Die Axiome für eine Halbgruppe sind ja zum einen, dass es
> eine binäre Verknüpfung gibt, die assoziativ ist und
> bezüglich der Operation abgeschlossen ist.
Du hast ein wichtiges vergessen: dass die Menge nicht leer ist!
Bei dieser Aufgabe ist es allerdings etwas einfacher, wenn du die Axiome einer Unterhalbgruppe betrachtest.
> Also wenn es
> u,v [mm]\in \bigcap_{U \in U'}U[/mm] gibt, dann muss gelten u [mm]\odot[/mm]
> (v [mm]\odot[/mm] w)= (u [mm]\odot[/mm] v) [mm]\odot[/mm] w und u [mm]\odot[/mm] v
> [mm]\in\bigcap_{U \in U'}U \Box[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann müsste ich für das Monoid noch das neutrale Element
> e nachweisen durch e [mm]\odot[/mm] u = u [mm]\odot[/mm] e = u [mm]\Rightarrow[/mm] e
> [mm]\in \bigcap_{U \in U'}U[/mm]
Nein, du musst nachweisen: $e [mm] \cdot [/mm] u = u = u [mm] \cdot [/mm] e$ und $e [mm] \in \bigcap_{U \in U'}$.
[/mm]
[Das ist etwas anderes als: $e [mm] \cdot [/mm] u = u = u [mm] \cdot [/mm] e [mm] \Rightarrow [/mm] e [mm] \in \bigcap_{U \in U'}$.]
[/mm]
> Für die Gruppe noch die Inversen und deren
> Abgeschlossenheit durch u [mm]\odot[/mm] u' = u' [mm]\odot[/mm] u = e
> [mm]\Rightarrow[/mm] u' [mm]\in \bigcap_{U \in U'}U[/mm] und u= (u')' [mm]\Box[/mm]
Hier ebenfalls: lass das [mm] $\Rightarrow$ [/mm] da weg!
Und $u = (u')'$ musst du nicht nachweisen. Schau mal genau nach was die Untergruppenaxiome sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 So 08.01.2012 | | Autor: | Zero-Zero |
Hallo Felix,
Danke auch für Deine Zeit und die zweite Korrektur!
Ich habe mich nochmal mit der Materie eingehender beschäftigt und Deine Hinweise und Anmerkungen auch mit dabei einbezogen.
Ich glaube, so wie ich die Aufgabe jetzt gelöst habe, wird sie richtig sein.
Liebe Grüße
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