Dynamik < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht genau weiss. wie ich hier vorgehen soll, es handelt zwar von Chemie, hat aber mit Chemie nix zu tun:
In einem Reaktionsgefaess befinden sich 3 chemische Substanzen A,B und C. Die Substanzen koennen sich nach folgenden Reaktionen ineinander umwandeln :
A [mm] \to [/mm] B [mm] \to [/mm] C und C [mm] \to [/mm] B [mm] \to [/mm] A,
wobei die Rate, mit der A in B umgewandelt wird, proportional zur Konzentration von A mit der Proportionalitaetskonstanten K. Analoges gilt fuer die Reaktionen B [mm] \to [/mm] C, C [mm] \to [/mm] B, B [mm] \to [/mm] Amit derselben Prop.konstanten K.
a) Man soll nun die Dynamik der Konzentrationen a(t), b(t), c(t) von A,B,C zum Zeitpunkt t durch ein Differentialgleichungssystem beschreiben. Was soll ich da genau machen? Mir ist doch nix gegeben als Gleichung...
b) Loese nun dieses System mit der Anfangsbedingung a(0) =1 , b(0) =0 (d.h. anfangs ist nur A im Reagenzglas drin.)
c) Dann berechne [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}a(t), \limes_{t\rightarrow\infty}b(t) [/mm] und [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}c(t).
[/mm]
Kann mir jemand helfen, was und wie ich die Aufgabe angehen soll?
Vielen Dank.
wetterfrosch
|
|
| |
|
Hallo!
Ich würde diese Aufgabe so angehen: Die Ableitungen drücken ja jeweils die Veränderungen von $a(t),\ b(t),\ c(t)$ aus. Also ist $a'(t)=Kb(t)$, da ein Zuwachs an $A$ nur durch umgewandeltes $B$ entstehen kann. Für $b(t)$ folgt $b'(t)=Ka(t)+Kc(t)$, und für $c(t)$ gilt $c'(t)=Kb(t)$. Also hast du eine Differentialgleichung, die so aussieht:
[mm] $\vektor{a'(t)\\b'(t)\\c'(t)}=K\pmat{0&1&0\\1&0&1\\0&1&0}\vektor{a(t)\\b(t)\\c(t)}$.
[/mm]
Kannst du die lösen?
Ich hoffe, dass der Ansatz richtig ist... Hat sonst vielleicht jemand eine Idee?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
Hallöle,
im Prinzip ist der Ansatz von banachella nicht übel, aber wenn A in B umgewandelt wird, nimmt nicht nur die Konzentration von B zu sondern auch die von A ab. Da B sowohl in A als auch in C umgewandelt wird, nimmt $b(t)$ sogar mit [mm] $2k\cdot [/mm] b(t)$ ab. wenn man dann noch berücksichtigt, dass die Summe der Konzentrationen 1 sein muss, erhält man:
$a' = k*(b-a), b'=k*(a+c-2b)=k*(1-3b)$
und nach Lösen des Dglsystems c(t) aus $c=1-(a+b)$.
Viel Erfolg,
Peter
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die hilfreichen Tipps! Aber jetzt hab ich doch noch ne doofe Frage. Wenn ich nun das Dgl.system habe und nun die Teilaufgabe b) lösen will, in der ich das System mit der Anfangsbedingung a(0)=1, b(0)=0, c(0)=0 zu lösen habe, muss ich da einfach für a,b, c mit den entsprechenden Werten in das Dgl.system einsetzen oder wie geht man nun als nächstes vor? Ich weiß es nicht genau; ich hab nun in a'(t) = k(b(t)-a(t)) a(0)=1 und b(0)=0 eingesetzt, dann kommt -k raus, aber das kann doch nicht stimmen oder? So trivial kann es doch nicht funktionieren oder?  Analog hab ich die Werte in die anderen beiden Gleichungen eingesetzt, bei b'(0) kommt k raus und bei c(t) null. Das kann doch nicht die Lösung sein?!
Bei der Aufgabe c) soll ich ja den limes ausrechnen, das kann ich nach meinen Ergebnissen nicht mher, da k eine Konstante ist...
Vielen Dank für weitere Hilfe.
wetterfrosch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 04.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst ERST die allgemeine Lösung der Dgl. dann bestimmst du die darin freien Parameter, indem du die Anfangsbedingungen einsetzest!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
HAllo,
jaja, ich weiß, dass man das DGLsystem lösen muss, also ein Anfangswertproblem. Aber ich komm einfach nicht auf die Diagonalmatix A und die Dreiecksmatrix B mit ihrem Inversen [mm] B^{-1}.
[/mm]
Das Anfangswertproblem, dass ich nun zu lösen habe lautet ja jetzt:
a'(t) = k(b(t)-a(t))
b'(t) =k(a(t)+c(t)-2b(t))
c'(t) = kb(t) (im vorherigen Post hat man mir nur c(t) angegeben, also hab ich mir gedacht, dass c'(t) so lautet, oder?)
Es gilt ja:
[mm] \vektor{a'(t) \\ b'(t) \\ c'(t)}= \vektor{k(b(t)-a(t)) \\ k(a(t)+c(t)-2b(t)) \\ kb(t)}= \pmat{ -k & k & 0 \\ k & -2k & k \\ 0 & 1 & 0 } \vektor{a(t) \\ b(t) \\ c(t)}
[/mm]
Dann kann ich schreiben: [mm] e^{At} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}(At)^{k}, [/mm] wobei At so lautet [mm] \pmat{ -kt & kt & 0 \\ kt & -2kt & kt \\ 0 & t & 0 }.
[/mm]
Jetzt hab ich ein Problem beim Auffinden der Diagonalmatrix und der Dreeicksmatrix und dessen Inverses, sodass diese drei AMtrizen insgesamt wieder die Matrix A ergeben. Dadruch erhält man doch die Lösung des Anfangswertproblems und kann dann erst a(0), b(0) und c(0) einsetzen.
KAnn mit bitte jemand weiterhelfen. Ohne die Lösung des DGLsystems kann ich Aufgabe b) und c) nicht lösen.
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 So 08.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Wetterfrosch,
$ [mm] \vektor{a'(t) \\ b'(t) \\ c'(t)}= \vektor{k(b(t)-a(t)) \\ k(a(t)+c(t)-2 b(t)) \\ k(b(t)- c(t))}=k\cdot\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } \vektor{a(t) \\ b(t) \\ c(t)} [/mm] $,
denn ebenso wie A wird ja auch C in B umgewandelt...
Die Eigenwerte, der Koeffizientenmatrix sind -3, -1 und 0. Das sollte doch schon mal helfen.
Liebe Grüße,
Peter
|
|
|
|
