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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 14.02.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Sei X eine Menge, P(X) Potenzmenge, A [mm] \subset [/mm] P(X). Zeigen Sie, dass folgende Definitionen eines Dynkin-Systems äquivalent sind:
(i) X [mm] \in [/mm] A
(ii) M,N [mm] \in [/mm] A, M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] N [mm] \backslach [/mm] M [mm] \in [/mm] A
(iii) [mm] M_n \in [/mm] A mit [mm] M_1 \subset M_2 \subset [/mm] ... [mm] \Rightarrow \bigcup M_n \in [/mm] A
(i') [mm] \emptyset \in [/mm] A
(ii') [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] A: [mm] M^c \in [/mm] A
(iii') Falls [mm] M_n \in [/mm] A disjunkt [mm] \Rightarrow \bigcup M_n \in [/mm] A
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Hallo.
Ein paar Elemente im Beweis sind mir noch nicht klar:
1. Zeige: aus der zweiten Definition folgt (ii): Seien M,N [mm] \in [/mm] A mit M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow N^c,M, \emptyset [/mm] sind disjunkt [mm] \Rightarrow [/mm] (iii') [mm] N^c \cup [/mm] M [mm] \cup \emptyset \cup \emptyset \cup [/mm] ... [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] (ii') [mm] (N^c \cup [/mm] M [mm] \cup \emptyset \cup \emptyset \cup ...)^c=N/M \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] (ii).
Meine Frage: Warum muss dabei die Leere Menge berücksichtigt werden? Wie soll ich die Vereinigung mit den unendlich vielen leeren Mengen verstehen?
2. Zeige: aus der zweiten Definition folgt (iii): Sei [mm] (M_n)_n [/mm] eine Folge disjunkter Mengen aus A [mm] \Rightarrow \bigcup M_n \in [/mm] A. Definiere [mm] M_1'=M_1, M_2'=M_1 \cup M_2, M_3'=M_1 \cup M_2 \cup M_3,... \Rightarrow M_1' \subset M_2' \subset M_3' \subset [/mm] ... [mm] \Rightarrow \bigcup M_n [/mm] = [mm] \bigcup M_n' \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] (iii)
Meine Frage: Bei diesem Beweis fehlt noch zz. [mm] M_n' \in [/mm] A. Doch wie kann ich das tun? Dazu bräuchte ich die andere Definition....
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 So 14.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei X eine Menge, P(X) Potenzmenge, A [mm]\subset[/mm] P(X). Zeigen
> Sie, dass folgende Definitionen eines Dynkin-Systems
> äquivalent sind:
> (i) X [mm]\in[/mm] A
> (ii) M,N [mm]\in[/mm] A, M [mm]\subset[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] N [mm]\setminus[/mm] M [mm]\in[/mm]
> A
> (iii) [mm]M_n \in[/mm] A mit [mm]M_1 \subset M_2 \subset[/mm] ...
> [mm]\Rightarrow \bigcup M_n \in[/mm] A
>
> (i') [mm]\emptyset \in[/mm] A
> (ii') [mm]\forall[/mm] M [mm]\in[/mm] A: [mm]M^c \in[/mm] A
> (iii') Falls [mm]M_n \in[/mm] A disjunkt [mm]\Rightarrow \bigcup M_n \in[/mm]
> A
>
>
> Hallo.
> Ein paar Elemente im Beweis sind mir noch nicht klar:
> 1. Zeige: aus der zweiten Definition folgt (ii): Seien M,N
> [mm]\in[/mm] A mit M [mm]\subset[/mm] N [mm]\Rightarrow N^c,M, \emptyset[/mm] sind
> disjunkt [mm]\Rightarrow[/mm] (iii') [mm]N^c \cup[/mm] M [mm]\cup \emptyset \cup \emptyset \cup[/mm]
> ... [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] (ii') [mm](N^c \cup[/mm] M [mm]\cup \emptyset \cup \emptyset \cup ...)^c=N/M \in[/mm]
Du meinst $N [mm] \setminus [/mm] M$, und nicht $N / M$. Das ist etwas ganz anderes. Das solltest du auch wissen.
> A [mm]\Rightarrow[/mm] (ii).
> Meine Frage: Warum muss dabei die Leere Menge
> berücksichtigt werden? Wie soll ich die Vereinigung mit
> den unendlich vielen leeren Mengen verstehen?
Na, bei (iii') steht nichts von einer endlichen Vereinigung, sondern von einer abzaehlbaren Vereinigung. Und [mm] $N^c \cup [/mm] M$ ist eine endliche Vereinigung, du musst sie als zu einer abzaehlbaren Vereinigung ausweiten indem du ganz viele [mm] $\emptyset$ [/mm] hinzufuegt (die machen ja auch nichts kaputt).
> 2. Zeige: aus der zweiten Definition folgt (iii): Sei
> [mm](M_n)_n[/mm] eine Folge disjunkter Mengen aus A [mm]\Rightarrow \bigcup M_n \in[/mm]
> A. Definiere [mm]M_1'=M_1, M_2'=M_1 \cup M_2, M_3'=M_1 \cup M_2 \cup M_3,... \Rightarrow M_1' \subset M_2' \subset M_3' \subset[/mm]
> ... [mm]\Rightarrow \bigcup M_n[/mm] = [mm]\bigcup M_n' \in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] (iii)
Du hast hier das, was du zeigen sollst, als Ausgangsbasis genommen, um das, was du schon weisst, zu zeigen.
Du musst dir eine Folge von Mengen [mm] $(M_n)_n$ [/mm] nehmen mit [mm] $M_1 \subseteq M_2 \subseteq \dots$. [/mm] Und nicht mit disjunkten [mm] $M_n$. [/mm] Du sollst schliesslich (iii) zeigen und nicht (iii')!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 15.02.2010 | | Autor: | moerni |
Erstmal vielen Dank für die Antwort.
Bei meiner letzten Frage habe ich mich in der Nummerierung etwas vertan. Deswegen hier nochmal neu und richtig:
X Menge, [mm] \mathcal{A} \subset [/mm] P(X).
Definition (1): [mm] \mathcal{A} [/mm] ist ein Dynkinsystem, wenn gilt:
(i) X [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
(ii) für A,B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit A [mm] \subset [/mm] B gilt [mm] B\backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
(iii) für [mm] A_n \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] A_1 \subset A_2 \subset [/mm] ... gilt [mm] \bigcup_{n \in \mathbb N} A_n \in \mathcal{A}
[/mm]
Definition (2): [mm] \mathcal{A} [/mm] ist ein Dynkinsystem, wenn gilt:
(i') [mm] \emptyset \in \mathcal{A}
[/mm]
(ii') Für jedes A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] ist [mm] A^c=\{x \in X: x \not \in A\} \in \mathcal{A} [/mm] (iii') Falls [mm] A_n \in \mathcal{A} [/mm] disjunkt sind, dann ist [mm] \bigcup_{n \in \mathbb N} A_n \subset \mathcal{A}
[/mm]
Jetzt möchte ich zeigen, dass die Bedingung (iii') aus (i),(ii),(iii) folgt.
Seien [mm] A_n \in \mathcal{A} [/mm] disjunkt. Definiere [mm] A_1'=A_1, A_2'=A_1 \cup A_2, A_3'=A_3 \cup A_2 \cup A_1, [/mm] ... Dann gilt ja [mm] A_1' \subset A_2' \subset [/mm] ..., also [mm] \bigcup_{n \in \mathbb N} A_n'=\bigcup_{n \in \mathbb N} A_n \in \mathcal{A}. \Rightarrow [/mm] (iii'). Nun muss ich noch zeigen, dass [mm] A_2', A_3',... \in \mathcal{A} [/mm] ist. Könnte ich dazu so vorgehen: [mm] A_1'=A_1 \in \mathcal{A} [/mm] nach Vor. [mm] A_2 \in \mathcal{A} [/mm] nach Vor [mm] \Rightarrow A_2'=A_1 \cup A_2 \cup \emptyset \cup \emptyset [/mm] ... [mm] \in \mathcal{A} [/mm] nach (iii), induktiv folgt [mm] A_n' \in \mathcal{A}?
[/mm]
Lg, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo moerni,
> Seien [mm]A_n \in \mathcal{A}[/mm] disjunkt. Definiere [mm]A_1'=A_1, A_2'=A_1 \cup A_2, A_3'=A_3 \cup A_2 \cup A_1,[/mm]
> Nun muss ich noch zeigen, dass [mm]A_2', A_3',... \in \mathcal{A}[/mm]
> ist. Könnte ich dazu so vorgehen: [mm]A_1'=A_1 \in \mathcal{A}[/mm]
> nach Vor. [mm]A_2 \in \mathcal{A}[/mm] nach Vor [mm]\Rightarrow A_2'=A_1 \cup A_2 \cup \emptyset \cup \emptyset[/mm]
> ... [mm]\in \mathcal{A}[/mm] nach (iii)
Nein, (iii) ist nicht anwendbar, weil die Folge der von dir betrachteten Mengen nicht notwendig aufsteigend ist, da nicht notwendig [mm] $A_2\subset\emptyset$ [/mm] gilt.
Mein Vorschlag:
Vorbemerkung: Aus (i) und (ii) folgt (ii') (wähle B=X).
Es genügt zu zeigen, dass mit [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] für disjunkte A und B auch [mm] $A\cup B\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt. Dann folgt das zu zeigende induktiv.
Es gilt: [mm] $A\cup B=((A\cup B)^c)^c=(A^c\cap B^c)^c=(A^c\setminus B)^c\in\mathcal{A}$ [/mm] nach (ii') und (ii). Bei der Anwendung von (ii) geht dabei ein, dass [mm] $B\subset A^c$ [/mm] gilt. Das folgt aus der Disjunktheit von A und B.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Mo 15.02.2010 | | Autor: | moerni |
super! Vielen Dank 
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