E-Feldlinien, Kugeloberfläche < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo E-Techniker!
Angenommen man hat eine vollkommen massive, leitfähige Kugel [mm] (\kappa>0) [/mm] mit einem Radius [mm] r_{0}>0. [/mm] Innerhalb dieser Kugel befindet sich nun eine Punktladung [mm] Q_{0}.
[/mm]
Jetzt würde ich gerne wissen, wie die Feldlinien des elektrischen Feldes aus der Kugel heraustreten.
Mein Vorschlag:
Da die Kugel massiv ist, stellt die gesamte Kugel ein einziges Äquipotentialvolumen dar, sodass man also eine konstante Potentialverteilung hat mit [mm] \Phi=\Phi_{0}=const. [/mm] Aus einer der MAXWELLchen Gleichungen der Elektrostatik, nämlich aus
[mm] rot(\vec{E})=\vec{0}\gdw \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=\vec{0}
[/mm]
erhalte ich über
[mm] \vec{E}=-grad{\Phi} [/mm]
den Ansatz eines Skalarpotentials. Mit der oben erhaltenen konstanten Potentialverteilung [mm] \Phi_{0} [/mm] erhält man also das elektrostatische Feld zu
[mm] \vec{E}=\vec{0}.
[/mm]
Demnach könnte man doch sagen, dass überhaupt keine Feldlinien aus der Kugel heraustreten, oder sehe ich das falsch? Die Stetigkeitsbedingungen der elektrischen Feldstärke
[mm] E_{tangential_{1}}=E_{tangential_{2}} [/mm] für [mm] r=r_{0}
[/mm]
wären damit trivialerweise erfüllt.
Meine Fragen:
(1) Stimmt mein Lösungsvorschlag?
(2) Meiner Meinung nach treten nur dann Feldlinien des E-Feldes aus der Kugel heraus, wenn es sich um eine Hohlkugel mit einer unendlich dünnen und leitfähigen Kugeloberfläche handelt. Es würden sich dann Influenzladungen an der Kugeloberfläche ansammeln, die, unabhängig von der Position der Punktladung in der Kugel, ein radialsymmetrisches E-Feld außerhalb der Kugel zur Folge hätten. Stimmt das?
(3) Wie sieht es bei einer Hohlkugel aus, die einen massiven und leitfähigen Rand mit einer Dicke d, mit d>0 besitzt? Auch hier würde ich vermuten, dass keine Feldlinien aus der Kugel heraustreten.
Über hilfreiche Antworten würde ich mich sehr freuen!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Sa 12.06.2010 | | Autor: | isi1 |
In Wirklichkeit ist es so, Marcel, dass Du von außen nur feststellen kannst, dass in der Kugel eine Ladung Q ist, aber überhaupt nicht, wo in der leitenden Kugel die Ladung ist. Die äußeren Feldlinien hängen ausschließlich davon ab, wie außen die Ladungen verteilt sind.
Angenommen, die Kugel ist alleine, dann wird sie auf der Oberfläche eine Ladung tragen, die völlig gleichmäßig auf der Kugeloberfläche verteilt ist, unabhängig davon, wie die innere Ladung verteilt ist.
Wenn sie innen überall leitfähig ist, wird die Ladung nur auf der Oberfläche sein, innen überhaupt nicht.
Grüße aus München, isi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Vielen Dank erst einmal für deine Antwort.
> In Wirklichkeit ist es so, Marcel, dass Du von außen nur
> feststellen kannst, dass in der Kugel eine Ladung Q ist,
> aber überhaupt nicht, wo in der leitenden Kugel die Ladung
> ist. Die äußeren Feldlinien hängen ausschließlich davon
> ab, wie außen die Ladungen verteilt sind.
Ich hatte in der Aufgabe keine Ladung außerhalb der Kugel angegeben. Für den Fall einer Hohlkugel mit unendlich dünner und leitfähiger Kugeloberfläche ist mir das jedenfalls klar. Im Außenraum tritt das E-Feld dann radialsymmetrisch aus der Kugel heraus, sofern sich innerhalb der Kugel irgendwo eine Punktladung befindet.
> Angenommen, die Kugel ist alleine, dann wird sie auf der
> Oberfläche eine Ladung tragen, die völlig gleichmäßig
> auf der Kugeloberfläche verteilt ist, unabhängig davon,
> wie die innere Ladung verteilt ist.
Für welche Kugel gilt das? Meiner Meinung nach nur für 1.)
1.) Hohlkugel mit unendlich dünner und leitender Oberfläche?
2.) Hohlkugel mit leitfähigem Rand der Dicke d, d>0?
3.) vollkommen massive, leitfähige Kugel?
> Wenn sie innen überall leitfähig ist, wird die Ladung nur
> auf der Oberfläche sein, innen überhaupt nicht.
Das heisst, wenn sie massiv ist? Wie sehen dann die Feldlinien außerhalb der Kugel aus, wenn sich nur im Inneren der Kugel eine Punktladung befindet? Gibt es dann überhaupt Feldlinien?
Es wäre sehr nett, wenn vielleicht jemand noch einmal ganz konkret und Punkt für Punkt auf die Fragen aus meinem ersten Beitrag antworten könnte. Das würde eindeutige Informationen bringen und mögliche Missverständnisse vermeiden.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Sa 12.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
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> Vielen Dank erst einmal für deine Antwort.
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> > In Wirklichkeit ist es so, Marcel, dass Du von außen nur
> > feststellen kannst, dass in der Kugel eine Ladung Q ist,
> > aber überhaupt nicht, wo in der leitenden Kugel die Ladung
> > ist. Die äußeren Feldlinien hängen ausschließlich davon
> > ab, wie außen die Ladungen verteilt sind.
>
>
> Ich hatte in der Aufgabe keine Ladung außerhalb der Kugel
> angegeben. Für den Fall einer Hohlkugel mit unendlich
> dünner und leitfähiger Kugeloberfläche ist mir das
> jedenfalls klar. Im Außenraum tritt das E-Feld dann
> radialsymmetrisch aus der Kugel heraus, sofern sich
> innerhalb der Kugel irgendwo eine Punktladung befindet.
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> > Angenommen, die Kugel ist alleine, dann wird sie auf der
> > Oberfläche eine Ladung tragen, die völlig gleichmäßig
> > auf der Kugeloberfläche verteilt ist, unabhängig davon,
> > wie die innere Ladung verteilt ist.
>
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> Für welche Kugel gilt das? Meiner Meinung nach nur für
> 1.)
Nein.
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> 1.) Hohlkugel mit unendlich dünner und leitender
> Oberfläche?
>
> 2.) Hohlkugel mit leitfähigem Rand der Dicke d, d>0?
>
> 3.) vollkommen massive, leitfähige Kugel?
Das ist egal. Siehe den Gaußschen Satz.
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> > Wenn sie innen überall leitfähig ist, wird die Ladung nur
> > auf der Oberfläche sein, innen überhaupt nicht.
>
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> Das heisst, wenn sie massiv ist? Wie sehen dann die
> Feldlinien außerhalb der Kugel aus, wenn sich nur im
> Inneren der Kugel eine Punktladung befindet? Gibt es dann
> überhaupt Feldlinien?
Das macht keinen Unterscheid. Von außen sieht es immer gleich aus.
Wie isi schon andeutete, gibt es keine stabile Punktladung im Inneren einer leitenden Vollkugel. Die Ladung würde sofort auf die Oberfläche wandern.
Viele Grüße
Rainer
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> > Hallo!
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> >
> >
> > Vielen Dank erst einmal für deine Antwort.
> >
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> > > In Wirklichkeit ist es so, Marcel, dass Du von außen nur
> > > feststellen kannst, dass in der Kugel eine Ladung Q ist,
> > > aber überhaupt nicht, wo in der leitenden Kugel die Ladung
> > > ist. Die äußeren Feldlinien hängen ausschließlich davon
> > > ab, wie außen die Ladungen verteilt sind.
> >
> >
> > Ich hatte in der Aufgabe keine Ladung außerhalb der Kugel
> > angegeben. Für den Fall einer Hohlkugel mit unendlich
> > dünner und leitfähiger Kugeloberfläche ist mir das
> > jedenfalls klar. Im Außenraum tritt das E-Feld dann
> > radialsymmetrisch aus der Kugel heraus, sofern sich
> > innerhalb der Kugel irgendwo eine Punktladung befindet.
> >
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> > > Angenommen, die Kugel ist alleine, dann wird sie auf der
> > > Oberfläche eine Ladung tragen, die völlig gleichmäßig
> > > auf der Kugeloberfläche verteilt ist, unabhängig davon,
> > > wie die innere Ladung verteilt ist.
> >
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> >
> > Für welche Kugel gilt das? Meiner Meinung nach nur für
> > 1.)
>
> Nein.
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> >
> > 1.) Hohlkugel mit unendlich dünner und leitender
> > Oberfläche?
> >
> > 2.) Hohlkugel mit leitfähigem Rand der Dicke d, d>0?
> >
> > 3.) vollkommen massive, leitfähige Kugel?
>
> Das ist egal. Siehe den Gaußschen Satz.
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> > > Wenn sie innen überall leitfähig ist, wird die Ladung nur
> > > auf der Oberfläche sein, innen überhaupt nicht.
> >
> >
> > Das heisst, wenn sie massiv ist? Wie sehen dann die
> > Feldlinien außerhalb der Kugel aus, wenn sich nur im
> > Inneren der Kugel eine Punktladung befindet? Gibt es dann
> > überhaupt Feldlinien?
>
> Das macht keinen Unterscheid. Von außen sieht es immer
> gleich aus.
>
> Wie isi schon andeutete, gibt es keine stabile Punktladung
> im Inneren einer leitenden Vollkugel. Die Ladung würde
> sofort auf die Oberfläche wandern.
Ich denke, dass ich hier noch einige Defizite aus der Schulzeit aufweise.
Und zwar ich habe Probleme damit, mir das Ganze vorzustellen.
(1) Kann man sich die Punktladung beispielsweise als ein einzelnes Elektron vorstellen?
(2) Wie kann ein einzelnes punktförmiges Elektron seine Ladung gleichmäßig auf einer Kugeloberfläche verteilen?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Sa 12.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi Marcel,
Ich denke, dass ich hier noch einige Defizite aus der Schulzeit aufweise.
Und zwar ich habe Probleme damit, mir das Ganze vorzustellen.
(1) Kann man sich die Punktladung beispielsweise als ein einzelnes Elektron vorstellen?
Ja vorstellen schon. Man kann sich ja weniger gut einen unendlich kleinen Punkt vorstellen.
(2) Wie kann ein einzelnes punktförmiges Elektron seine Ladung gleichmäßig auf einer Kugeloberfläche verteilen?
Das Elektron selbst verteilt nicht *selbst* seine Ladung gleichmässig.
Es ist eigentlich ganz einfach, wenn man sich die Bedeutung von "leitend" überdenkt. Da es sich um eine leidende Kugel handelt, sind die Elektronen frei beweglich. Werden nun Elektronen im Innern unsymetrisch der Kugel von einem elektrischen Feld angezogen, wenn auch es nicht symetrisch ist, so verteilen sich die Elektronen im Innern der Kugel so, dass ein Ausgleich stadtfindet.
Die Elektronen befinden sich nacher übrigens an den Rändern der leitenden Kugel, das innere ist bei idealer Leitfähigkeit Feldfrei.
Noch was vielleicht nützlich ist:
Wie du schon begründet hast, ist die Tangentialkomponente des E-Felds stetig.
Wie sieht es mit der Normalkomponente aus?
Nun das kann man einfach mit der Durchflutung D zeigen.
D = [mm] E*\varepsilon
[/mm]
Die Normalkomponente des D-Felds muss intuitiverweise stetig sein.
Somit hast du die Beziehung zwischen dem Übergang von zwei leitwerten:
[mm] \varepsilon_{1} [/mm] * [mm] E_{normal 1} [/mm] = [mm] \varepsilon_{2} [/mm] * [mm] E_{normal 2}
[/mm]
Bei idealer leitfähigkeit (unendlich) kann man so auch, mit etwas Trigonometrie unter Einbeziehung der Tangentialkomponente, begründen, weshalb die Feldlinien senkrecht aus einem leitenden zu einem nicht-leitenden Material treten.
Gruss Qsxqsx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 So 13.06.2010 | | Autor: | isi1 |
> (2) Wie kann ein einzelnes punktförmiges Elektron seine
> Ladung gleichmäßig auf einer Kugeloberfläche verteilen?
Das geht ganz leicht, Die Kugel besteht ja aus Atomen mit ihren Elekronen. Wenn die Anordnung leitfähig ist (es genügt schon die geringste Leitfähigkeit ungleich Null), werden sich die Elektronen geringfügig nach außen verschieben, so dass Du außen wieder gleichmäßig über die Oberfläche verteilt Feldlinien bekommst. Die Verschiebung ist 1/n des Atomdurchmessers, wenn an der Oberfläche n Atome sind - und das sind wirklich sehr viele.
Warum genügt schon die geringste Leitfähigkeit?
Dann dauert halt der Ausgleichsvorgang etwas länger, aber schon nach sehr kurzer Zeit wird er beendet sein. Du hast bei so einer Elektrostatikanordnung kein Fließgleichgewicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Sa 12.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo E-Techniker!
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> Angenommen man hat eine vollkommen massive, leitfähige
> Kugel [mm](\kappa>0)[/mm] mit einem Radius [mm]r_{0}>0.[/mm] Innerhalb dieser
> Kugel befindet sich nun eine Punktladung [mm]Q_{0}.[/mm]
>
>
>
> Jetzt würde ich gerne wissen, wie die Feldlinien des
> elektrischen Feldes aus der Kugel heraustreten.
>
>
>
>
> Mein Vorschlag:
>
>
>
> Da die Kugel massiv ist, stellt die gesamte Kugel ein
> einziges Äquipotentialvolumen dar, sodass man also eine
> konstante Potentialverteilung hat mit [mm]\Phi=\Phi_{0}=const.[/mm]
> Aus einer der MAXWELLchen Gleichungen der Elektrostatik,
> nämlich aus
>
>
> [mm]rot(\vec{E})=\vec{0}\gdw \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=\vec{0}[/mm]
>
>
>
> erhalte ich über
>
>
> [mm]\vec{E}=-grad{\Phi}[/mm]
>
>
>
> den Ansatz eines Skalarpotentials. Mit der oben erhaltenen
> konstanten Potentialverteilung [mm]\Phi_{0}[/mm] erhält man also
> das elektrostatische Feld zu
>
>
> [mm]\vec{E}=\vec{0}.[/mm]
Aber nur im Inneren der Kugel. Du hast als Voraussetzung nur, dass das Potential im Inneren der Kugel konstant ist. Über den Außenraum weisst du noch nichts.
>
>
>
> Demnach könnte man doch sagen, dass überhaupt keine
> Feldlinien aus der Kugel heraustreten, oder sehe ich das
> falsch?
Ja. Du vergisst den Satz von Gauß: das Volumenintegral über die Divergenz der Feldstärke entspricht der eingeschlossenen Ladung. Der deine Gesamtladung endlich ist, kann die Feldstärke nicht überall 0 sein.
> Die Stetigkeitsbedingungen der elektrischen
> Feldstärke
>
>
> [mm]E_{tangential_{1}}=E_{tangential_{2}}[/mm] für [mm]r=r_{0}[/mm]
>
>
>
> wären damit trivialerweise erfüllt.
Und das ist mit der Radialkomponente?
> (1) Stimmt mein Lösungsvorschlag?
Nein.
> (2) Meiner Meinung nach treten nur dann Feldlinien des
> E-Feldes aus der Kugel heraus, wenn es sich um eine
> Hohlkugel mit einer unendlich dünnen und leitfähigen
> Kugeloberfläche handelt. Es würden sich dann
> Influenzladungen an der Kugeloberfläche ansammeln, die,
> unabhängig von der Position der Punktladung in der Kugel,
> ein radialsymmetrisches E-Feld außerhalb der Kugel zur
> Folge hätten. Stimmt das?
>
>
> (3) Wie sieht es bei einer Hohlkugel aus, die einen
> massiven und leitfähigen Rand mit einer Dicke d, mit d>0
> besitzt? Auch hier würde ich vermuten, dass keine
> Feldlinien aus der Kugel heraustreten.
Auch falsch. Das Feld außerhalb wird ausschließlich durch die Gesamtladung innerhalb der Kugel bestimmt. Auch das folgt aus dem Gaußschen Satz: eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung sieht von außen aus wie die einer Punktladung im Zentrum.
Viele Grüße
Rainer
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