EV in invariantem Unterraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] T:V\to [/mm] V eine diagonalisierbare lineare Abbildung. Sei W ein T-invarianter Unterraum von V und [mm] v_{1},v_{2},...,v_{k} [/mm] Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{k}. [/mm] Zeige: Ist [mm] v_{1}+v_{2}+...+v_{k}\in [/mm] W, so sind [mm] v_{i} \in [/mm] W für i=1,...,k. |
Ich weiß, was ein invarianter Unterraum ist, es gilt also:
[mm] T(W)\subset [/mm] W.
Ich denke, dann gilt, dass mindestens ein Eigenvektor von T in W liegt. Bin mir aber nicht sicher und weiß nicht wie/ob ich das beweisen kann.
Ansonsten müssen die [mm] v_{i} [/mm] ja linear unabhängig sein, weil sie verschiedene Eigenvektoren einer diagonalisierbaren Abbildung sind.
Ich weiß aber nicht, wie/ob mir das hilft, die Aufgabe zu lösen.
Es wäre toll, wenn mir jemand Tipps geben könnte, ich sitz nämlich schon seit ner ganzen Weile hier dran und komm einfach nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]T:V\to[/mm] V
> eine diagonalisierbare lineare Abbildung. Sei W ein
> T-invarianter Unterraum von V und [mm]v_{1},v_{2},...,v_{k}[/mm]
> Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{k}.[/mm] Zeige: Ist
> [mm]v_{1}+v_{2}+...+v_{k}\in[/mm] W, so sind [mm]v_{i} \in[/mm] W für
> i=1,...,k.
> Ich weiß, was ein invarianter Unterraum ist, es gilt
> also:
> [mm]T(W)\subset[/mm] W.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja so ist es.
> Ich denke, dann gilt, dass mindestens ein Eigenvektor von T
> in W liegt. Bin mir aber nicht sicher und weiß nicht
> wie/ob ich das beweisen kann.
> Ansonsten müssen die [mm]v_{i}[/mm] ja linear unabhängig sein,
> weil sie verschiedene Eigenvektoren einer
> diagonalisierbaren Abbildung sind.
Ja.
Wir stellen fest: die [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_k [/mm] sind linear unabhängig,
und da T diagonalisierbar, gibt es weitere Eigenvektoren [mm] v_{k+1},..., v_n, [/mm] so daß
[mm] B:=(v_1,...,v_k, v_{k+1},...,v_n) [/mm] eine Basis von V ist.
Nun sei [mm] v=v_1+...+v_k \in [/mm] W.
Da W T-invariant ist, sind auch T(v), [mm] T^2(v),..., T^{k-1}(v) \in [/mm] W.
Wenn ich diese Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl B schreibe, habe ich:
[mm] \vektor{1\\\vdots\\1\\0\\\vdots\\0}, \vektor{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_k\\0\\\vdots\\0}, \vektor{\lambda_1^2\\\vdots\\\lambda_k^2\\0\\\vdots\\0}, [/mm] ..., [mm] \vektor{\lambda_1^{k-1}\\\vdots\\\lambda_k^{k-1}\\0\\\vdots\\0} \in [/mm] W.
Du kannst Dir überlegen, daß diese k Vektoren linear unabhängig sind (Stichwort: Vandermonde-Determinante).
Offensichtlich spannen sie einen Teilraum des von [mm] v_1,..., v_k [/mm] erzeugten Raumes U auf.
U ist k-dimensional, der von v,T(v), [mm] T^2(v),..., T^{k-1}(v) [/mm] erzeugte Raum ist k-dimensional.
Also sind die beiden Räume gleich.
U=<v,T(v), [mm] T^2(v),..., T^{k-1}(v) [/mm] > ist ein Unterraum von W, also ist jeder der Vektoren [mm] v_1,..., v_k [/mm] in W enthalten.
Nun hoffe ich bloß, daß ich in meiner Euphorie keinen Fehler gemacht habe - ich hatt's zuerst eine ganze Weile völlig anders probiert.
Gruß v. Angela
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