E[X-Y] bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien X und Y Zufallsvariablen mit P[X=Y]=1.
Ist dann E[X-Y]=0? |
Tag Leute,
wieder ne kurze Frage, die mir nicht so ganz 100% klar ist.
P[X=Y]=1 heißt doch, dass X und Y die gleiche Verteilung haben oder was kann ich daraus ableiten??
Dann ist E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0
Kann ich das dann so begründen?
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Huhu,
> Dann ist E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0
wer sagt dir überhaupt, dass X und Y einen Erwarungswert besitzen? 
Insofern geht das so nur bedingt.
Beweise es lieber über die Definition des Erwartungswerts, die lautet wie?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay also nur damit ichs auch richtig verstanden:
Falls der Erwartunsgwert von X und Y existiert, sagt mir P[X=Y]=1, dass X und Y die gleiche Verteilung haben und mit der Gleichung E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0 bin ich dann fertig, richtig??
Okay wenn ich das ganze über die Definition angehe, dann gilt:
[mm] E[X-Y]=\sum_{k\in{(X-Y)}} k\cdot{}P[X-Y=k]=0\cdot{1}=0
[/mm]
Aber woher weiß ich, dass X und Y diskrete ZV sind?
Und ist auch wirklich das einzige Element aus X-Y gerade 0?
Besten Dank schon mal.
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> Okay also nur damit ichs auch richtig verstanden:
> Falls der Erwartunsgwert von X und Y existiert, sagt mir
> P[X=Y]=1, dass X und Y die gleiche Verteilung haben und mit
> der Gleichung E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0 bin ich dann fertig,
> richtig??
Hm, theoretisch ja, die Gleichung brauchst du aber gar nicht.
> Okay wenn ich das ganze über die Definition angehe, dann
> gilt:
>
> [mm]E[X-Y]=\sum_{k\in{(X-Y)}} k\cdot{}P[X-Y=k]=0\cdot{1}=0[/mm]
Das ist nur der Spezialfall für diskrete ZV wie du richtig erkannt hast.
Allgemein gilt doch $E[X] = [mm] \integral_{\Omega}Xd\IP$
[/mm]
Wende das mal auf X-Y an und zerlege das Integral in die Mengen [mm] $\{X=Y\}$ [/mm] und [mm] $\{X\not= Y\}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay dann weiß ich Bescheid, vielen Dank euch beiden!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Do 01.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Okay also nur damit ichs auch richtig verstanden:
> Falls der Erwartunsgwert von X und Y existiert, sagt mir
> P[X=Y]=1, dass X und Y die gleiche Verteilung haben und mit
Hallo,
"die gleiche Verteilung" ist viel zu lasch.
P[X=Y]=1 heißt, dass bei einer beliebigen Durchführung eines Zufallsexperiments das Ereignis, dass die beiden Zufallsgrößen X und Y "zufällig" den gleichen Wert annehmen, die Wahrscheinlichkeit 1 hat und somit ein sicheres Ereignis ist.
Somit ist es sicher, dass die Differenz der Werte X und Y Null ist
> der Gleichung E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0 bin ich dann fertig,
> richtig??
>
> Okay wenn ich das ganze über die Definition angehe, dann
> gilt:
>
> [mm]E[X-Y]=\sum_{k\in{(X-Y)}} k\cdot{}P[X-Y=k]=0\cdot{1}=0[/mm]
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> Aber woher weiß ich, dass X und Y diskrete ZV sind?
> Und ist auch wirklich das einzige Element aus X-Y gerade
> 0?
> Besten Dank schon mal.
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