E'wert Y-Koordinate am Kreis < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \varphi [/mm] uniform verteilt auf dem Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] und [mm] f(\varphi) [/mm] derjenige Vektor auf dem halben Einheitskreis [mm] \{(x,y)|x^2+y^2=1, y\ge{0}\},
[/mm]
der mit der positiven x-Achse den Winkel [mm] \varphi [/mm] einschließt.
Bestimmen Sie den Erwartungswert E[Y] der y-Koordinate Y von [mm] f(\varphi). [/mm] |
Nabend Leute,
also ich würde sagen, dass die y-Koordinate Y uniform verteilt ist auf dem Intervall [0,1], da ja der Winkel [mm] \varphi [/mm] nach Voraussetzung ebenfalls uniform verteilt war.
Damit wäre [mm] E[Y]=\bruch{0+1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Die Frage ist aber, ob die Annhame der Gleichverteilung von Y wirklich korrekt war.
Ich weiß aber nicht wie ich das überprüfen kann bzw. wie ich ansonsten die Verteilung von Y bestimmen soll?!
Wär echt klasse, wenn da jemand helfen könnte. Besten Dank!!
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Hallo,
> Es sei [mm]\varphi[/mm] uniform verteilt auf dem Intervall [mm][0,\pi][/mm]
> und [mm]f(\varphi)[/mm] derjenige Vektor auf dem halben
> Einheitskreis [mm]\{(x,y)|x^2+y^2=1, y\ge{0}\},[/mm]
> der mit der
> positiven x-Achse den Winkel [mm]\varphi[/mm] einschließt.
>
> Bestimmen Sie den Erwartungswert E[Y] der y-Koordinate Y
> von [mm]f(\varphi).[/mm]
> Nabend Leute,
> also ich würde sagen, dass die y-Koordinate Y uniform
> verteilt ist auf dem Intervall [0,1], da ja der Winkel
> [mm]\varphi[/mm] nach Voraussetzung ebenfalls uniform verteilt war.
Ist das deine Begründung?
...
Meinst du nicht, dass die Aufgabe ein bisschen zuviel Text hat, damit das das Ergebnis sein soll?
Wie wäre es mit:
$Y = [mm] \sin(\phi)$
[/mm]
(Warum?)
Was ist also
$E(Y) = [mm] E(\sin(\phi))$ [/mm] ?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ja da hast du vermutlich recht, habs mir dann doch etwas zuu einfach gemacht.
Okay also dann gilt:
[mm] E[Y]=E[sin(\phi)]=\integral_{\IR} sin(\phi)\cdot{}\bruch{1}{\pi}1_{[0,\pi]}d\phi=\bruch{1}{\pi}\cdot{}[-cos(\phi)]_0^\pi=\bruch{2}{\pi}
[/mm]
Passt das dann?
Und muss ich hierbei nicht mein [mm] \phi [/mm] noch irgendwie einschränken auf den Bereich 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] denn sonst betracht ich ja die y-Koordinate von [mm] f(\phi) [/mm] über den ganzen Halbkreis und ich will ja im Prinzip nur den "Viertelkreis"?!
Wenn ich dann aber mein [mm] \phi [/mm] nur im Bereich 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] anschau, bringt mir die Info der Gleichverteilung von [mm] \phi [/mm] auf [mm] [0,\pi] [/mm] ja nich mehr viel oder?
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Hallo,
> Ja da hast du vermutlich recht, habs mir dann doch etwas
> zuu einfach gemacht.
> Okay also dann gilt:
>
> [mm]E[Y]=E[sin(\phi)]=\integral_{\IR} sin(\phi)\cdot{}\bruch{1}{\pi}1_{[0,\pi]}d\phi=\bruch{1}{\pi}\cdot{}[-cos(\phi)]_0^\pi=\bruch{2}{\pi}[/mm]
>
> Passt das dann?
Ich sehe keinen Fehler ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Und muss ich hierbei nicht mein [mm]\phi[/mm] noch irgendwie
> einschränken auf den Bereich 0 bis [mm]\bruch{\pi}{2},[/mm] denn
> sonst betracht ich ja die y-Koordinate von [mm]f(\phi)[/mm] über
> den ganzen Halbkreis und ich will ja im Prinzip nur den
> "Viertelkreis"?!
Wieso willst du nur den Viertelkreis? Hast du eine andere Aufgabenstellung vorliegen als die, die oben steht?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Na in der Aufgabenstellung steht ja, dass der Winkel [mm] \phi [/mm] vom Vektor [mm] f(\phi) [/mm] und der POSITIVEN x-Achse eingeschlossen wird, d.h. es dreht sich nur um den Viertelkreis oder versteh ich da was falsch??
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Hallo,
> Na in der Aufgabenstellung steht ja, dass der Winkel [mm]\phi[/mm]
> vom Vektor [mm]f(\phi)[/mm] und der POSITIVEN x-Achse eingeschlossen
> wird, d.h. es dreht sich nur um den Viertelkreis oder
> versteh ich da was falsch??
Ja.
Wenn sich [mm] f(\phi) [/mm] auf dem linken Viertelkreis (also mit x-Koordinaten [mm] \le [/mm] 0 ) befindet, dann schließt [mm] \phi [/mm] mit der positiven x-Achse einen Winkel [mm] \ge \pi/2 [/mm] ein, es ist also alles okay.
(Es funktioniert so, wie der Sinus und Cosinus anschaulich im Einheitskreis definiert wurden. Da konnte doch der Winkel auch größer als 90 Grad sein, und dann war man eben in der linken Kreishälfte angekommen).
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar, herzlichen Dank!!
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