Ebene die Gerade enthält < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Gegeben: G: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] r\vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] und [mm] E_2: [/mm] 2x + 3y - 4z = -5 |
| Aufgabe 2 | | Geben Sie eine Normalenform einer Ebene E an, die die Gerade G enthält, und senkrecht auf der Ebene [mm] E_2 [/mm] steht. |
Mein bisheriger Ansatz war folgender:
Da die gesuchte Ebene senkrecht zur Ebene [mm] E_2 [/mm] liegt, brauche ich den Normalenvektor von E2 also:
[mm] $\vec [/mm] n$ = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -4}
[/mm]
Die Normalenform lautet im allgemeinen ja [mm] $\vec [/mm] n$ * [mm] ($\vec [/mm] r$ - [mm] $\vec r_1$) [/mm] = 0
Jetzt die entscheidende Frage (falls mein bisheriger Ansatz richtig ist): Wo bekomme ich [mm] $\vec r_1$ [/mm] her? Ist [mm] $\vec r_1$ [/mm] der Richtungsvektor von G?
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ciao Signore Italiano,
> Gegeben: G: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]r\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> und [mm]E_2:[/mm] 2x + 3y - 4z = -5
> Geben Sie eine Normalenform einer Ebene E an, die die
> Gerade G enthält, und senkrecht auf der Ebene [mm]E_2[/mm] steht.
>
> Da die gesuchte Ebene senkrecht zur Ebene [mm]E_2[/mm] liegt,
> brauche ich den Normalenvektor von E2 also:
> [mm]\vec n[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ -4}[/mm]
Questo è del tutto corretto. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Normalenform lautet im
> allgemeinen ja [mm]\vec n[/mm] * ([mm]\vec r[/mm] - [mm]\vec r_1[/mm]) = 0
Ah, si!
> Jetzt die entscheidende Frage (falls mein bisheriger
> Ansatz richtig ist): Wo bekomme ich [mm]\vec r_1[/mm] her? Ist [mm]\vec r_1[/mm]
> der Richtungsvektor von G?
Indubbiamente, no. Invece considera [mm] \vec{r}_1=\vektor{1\\2\\3}.
[/mm]
> Viele Grüße
(ganz nebenbei: den Normalenvektor der gesuchten Ebene hast Du auch noch nicht. Wie findest Du den?)
Grüße
reverend
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Grazie per il tuo aiuto :)
> (ganz nebenbei: den Normalenvektor der gesuchten Ebene hast
> Du auch noch nicht. Wie findest Du den?)
Danke das du das erwähnst, sonst hätte ich bisherigen $ [mm] \vec [/mm] n $ genommen.
Mir ist folgende Idee eingefallen. Es gilt ja, zwei Vektoren orthogonal zueinander sind, wenn das Skalarprodukt verschwindet richtig?
Also rechne ich:
$ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -4} [/mm] $ * $ [mm] \vektor{x\\ y \\ z} [/mm] $
Und x, y und z wähle ich mir dann selbst so aus, damit das Skalarprodukt anschließend 0 ist, richtig?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:48 Fr 19.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Grazie per il tuo aiuto :)
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> > (ganz nebenbei: den Normalenvektor der gesuchten Ebene hast
> > Du auch noch nicht. Wie findest Du den?)
>
> Danke das du das erwähnst, sonst hätte ich bisherigen
> [mm]\vec n[/mm] genommen.
> Mir ist folgende Idee eingefallen. Es gilt ja, zwei
> Vektoren orthogonal zueinander sind, wenn das Skalarprodukt
> verschwindet richtig?
> Also rechne ich:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ -4}[/mm] * [mm]\vektor{x\\ y \\ z}[/mm]
>
> Und x, y und z wähle ich mir dann selbst so aus, damit das
> Skalarprodukt anschließend 0 ist, richtig?
Nicht ganz !
Der gesuchte Normalenvektor ist auch noch ortogonal zum Rivhtungsvektor der Gerade G.
FRED
>
> Viele Grüße
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Hi,
ich habe jetzt folgendes gerechnet:
2x + 3y -4z = 0 <-- Normalenvektor von [mm] E_2
[/mm]
2x + y + 2z = 0 <-- Richtungsvektor von G
---------------------
2y -6z = 0
y = 3z
z = t
Daraus ergibt sich folgende Ebenengleichung:
$ [mm] \vektor{-5/2t \\ 3t \\ t} [/mm] $ $ [mm] \vektor{ x-1 \\ y-2 \\ z-3} [/mm] $
Wobei ich jetzt für das t beispielsweise 1 einsetzen kann. Ist das alles richtig soweit?
Vielen Grüße
PS: Danke auch an dir FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 So 21.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich habe jetzt folgendes gerechnet:
> 2x + 3y -4z = 0 <-- Normalenvektor von [mm]E_2[/mm]
> 2x + y + 2z = 0 <-- Richtungsvektor von G
> ---------------------
> 2y -6z = 0
> y = 3z
> z = t
> Daraus ergibt sich folgende Ebenengleichung:
>
> [mm]\vektor{-5/2t \\ 3t \\ t}[/mm] [mm]\vektor{ x-1 \\ y-2 \\ z-3}[/mm]
Ja, Du kannst t=1 wählen, aber damit steht oben noch keine Gleichung !
So muß es aussehen:
[mm]\vektor{-5/2 \\ 3 \\ 1}[/mm] [mm]\vektor{ x-1 \\ y-2 \\ z-3}=0[/mm]
FRED
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> Wobei ich jetzt für das t beispielsweise 1 einsetzen kann.
> Ist das alles richtig soweit?
>
> Vielen Grüße
>
> PS: Danke auch an dir FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 21.04.2013 | | Autor: | MrItalian |
Danke nochmals für deine Hilfe :).
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