Ebene durch Geradenschneidung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 So 08.01.2006 | | Autor: | MIB |
| Aufgabe | | Eine Ebene kann vorgegeben werden durch zwei einander schneidende Geraden. Zeige, dass die Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] einander schneiden. Gib eine Parameterdarstellung der durch [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] bestimmten Ebenen an. |
Hallo,
leider weiß ich nicht, wie man das berechnet. Wer kann helfen?
DANKE
Hier die Aufgabe:
(1)
[mm] g_1: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 1 \\ 3 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{-1 \\ -2 \\ 0 }
[/mm]
[mm] g_2: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 1 \\ 3 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{-3 \\ 1 \\ 4 }
[/mm]
Wie berechne ich jetzt was ich berechnen soll?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo MIB
Vielleicht siehst Du die Lösung nicht, weil sie so nah liegt ?
> Eine Ebene kann vorgegeben werden durch zwei einander schneidende Geraden. Zeige, dass die Geraden [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] einander schneiden.
Schau die Gleichungen gut an! Wenn sich zwei Geraden schneiden, haben sie einen Punkt gemeinsam. Da bei beiden Geraden der jeweilige Stützvektor zum Punkt mit den Koordinaten (2/1/3) weist, schneiden sie sich dort.
Gib eine Parameterdarstellung der durch [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] bestimmten Ebenen an.
Beide Geraden liegen in der gesuchten Ebene. Für die Gleichung der Ebene brauchst Du einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren, die nicht parallel (kollinear) sind. Du findest beide Angaben in den Geradengleichungen:
Stützvektor: zB [mm]\pmat{ 2 \\ 1 \\ 3 }[/mm] Dort schneiden sich ja die beiden Geraden; Du könntest aber auch irgend einen Punkt von der einen der beiden Geraden wählen.
Richtungsvektoren: [mm] $\pmat{-1 \\ -2 \\ 0 } [/mm] \ und \ [mm] \pmat{-3 \\ 1 \\ 4 }$
[/mm]
Nun kannst Du alles "zusammen" setzen:
Gleichung der Ebene:
[mm] $E:\overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 1 \\ 3 }+\lambda \pmat{-1 \\ -2 \\ 0 }+\mu \pmat{-3 \\ 1 \\ 4 }$
[/mm]
Das Einzige, worauf Du besonders achten musst, sind die beiden verschiedenen Parameter [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu. [/mm] sie müssen ja nicht gleich sein.
Viele Grüsse
dominik
> [mm]g_1: \overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 \\ 1 \\ 3 }[/mm] + [mm]\lambda \pmat{-1 \\ -2 \\ 0 }[/mm]
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> [mm]g_2: \overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 \\ 1 \\ 3 }[/mm] + [mm]\lambda \pmat{-3 \\ 1 \\ 4 }[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 08.01.2006 | | Autor: | MIB |
Das heißt man muss nur den Schnittpunkt haben, also ausrechnen wenn man ihn nicht hat (mit Gauß?), und dann den rest wieder "drumherum bauen"?
DANKE
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hallo,
ja, so wie du es sagst stimmt die Vorgehensweise dann für jede aufgabenstellung,
statt gauß kannst du aber immer auch ein "normales" Gleichungssystem hinschreiben.
gruß andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 So 08.01.2006 | | Autor: | MIB |
Alles klar.
Vielen Dank euch beiden
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