Ebene durch drei Punkte (2) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte [mm] P_1=(1,0,0), P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1).
[/mm]
a)Man gebe die Parameterform, die parameterfreie Form und die Hessesche Normalform der Ebene an, die durch die Punkte [mm] P_1,P_2,P_3 [/mm] geht.
b)Man bestimme den Abstand des Punktes [mm] P_0=(1,2,3) [/mm] von der Ebene.
c)Man berechne den Durchstoßpunkt einer Geraden, die druch [mm] P_0 [/mm] geht und senkrecht auf der Ebene steht. |
meine vorgehensweise:
zu a):
Parameterform:
E: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] u*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} +v*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Vorraussetzung: [mm] (\vec{P_2}-\vec{P_1})\times(\vec{P_3}-\vec{P_1})\not=0
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\0}\times\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Parameterform [mm] \rightarrow [/mm] Parameterfreie Form:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
E: [mm] x_1+x_2+x_3=1
[/mm]
Koordinatendarstellung in Hessesche Normalform:
[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{3}
[/mm]
[mm] HNF:\bruch{x_1}{\wurzel{3}}+\bruch{x_2}{\wurzel{3}}+\bruch{x_3}{\wurzel{3}}=\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
zu b)
Abstand von [mm] P_0 [/mm] zu E: [mm] A=|\vec{p}*\vec{n}_{HNF}-k|
[/mm]
[mm] \vec{p}*\vec{n}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}}}=\bruch{6}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] A=|\bruch{6}{\wurzel{3}}-\bruch{1}{\wurzel{3}}|=\bruch{5}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \vec{p}*\vec{n}>k \rightarrow P_0 [/mm] liegt auf der Nullpunkt nicht enthaltenden Seite.
Zu c)
Geradengleichung:
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Durchstoßpunkt:
[mm] \vec{x_0}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+t_0*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] t_0=\bruch{1-\vektor{1 \\ 2 \\3}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}}{\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}*\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}}=\bruch{-5}{3} [/mm]
[mm] \vec{x_0}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}-\bruch{5}{3}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{\bruch{-2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{4}{3}}
[/mm]
richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Do 07.08.2008 | | Autor: | weduwe |
wie gehabt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
aber auch wie gehabt wieder etwas gewöhnungsbedürftig (für mich)
HNF: [mm] \frac{x+y+z-1}{\sqrt{3}}=0
[/mm]
und damit sofort
[mm] d(P_0)=\frac{1+2+3-1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}
[/mm]
den durchstoßungspunkt schreibt man üblicherweise - bei uns zu hause - so:
[mm] P(-\frac{2}{3}/\frac{1}{3}/\frac{4}{3})
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Do 07.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
nochmals danke fürs durchschauen. deine methode ist auch kürzer und einfach zu merken. ich habe meine methode aus dem buch repetitorium der ingenieurmathematik teil 1, aber ich denke ich werde wohl in zukunft deine anwenden.
|
|
|
|
