Ebene in Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kurve [mm] \gamma(t) [/mm] = (3t, 3t², 2t³)
mit t [mm] \in [/mm] [0, 10]; gesucht ist eine ortogonale Ebene im Punkt t=2 |
Hallo alle zusammen
Also die Lösung ist recht simpel:
gegeben ist ein Punkt: [mm] \gamma(2)= [/mm] (6,12,16)
gegeben ist eine Steigung:
[mm] \gamma'(t)=(3,6t,6t²)
[/mm]
[mm] \gamma'(2)=(3,12,24)
[/mm]
Dadurch, dass hier eine ortogonale Ebene gesucht wird und der Vektor der aus der Ableitung hervorgeht wohl oder übel im rechten Winkel auf diese Ebene stehen muss, kann ich schlicht sagen:
[mm] (\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] - [mm] \vektor{6 \\ 12 \\ 16} [/mm] ) * [mm] \vektor{3 \\ 12 \\ 24}
[/mm]
Somit erlange ich meine ortogonale Ebene...
Meine Frage nun:
Wenn jetzt eine Ebene gesucht wäre, welche nicht im rechten Winkel zu der Kurve steht, sondern tangential; also den Vektor [mm] \vektor{3 \\ 12 \\ 24} [/mm] in sich tragen würde.
Wie könnte man hier vorgehen?
Ich weiß, dass in 2D folgendes gemacht werden kann:
[mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
so ist ein ortogonal dazu stehender Vektor
[mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
Also vertauschen + 1 Vorzeichen ändern...
Funktioniert dies auch in 3D?
Danke
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
da fehlt noch das entscheidende [mm] \red{=0} [/mm] in Deiner Ebenengleichung. Sonst alles gut.
Du findest Vektoren, die orthogonal zu Deinem jetzigen Normalenvektor sind, natürlich in der durch ihn definierten Ebene. Allerdings gibt es unendlich viele Richtungen, anders als im [mm] \IR^2. [/mm]
Du kannst einen solchen Vektor über das Skalarprodukt bestimmen, oder aber durch das Vektorprodukt, indem Du einen beliebigen nicht-kollinearen zweiten Vektor mit Deinem Normalenvektor multiplizierst.
Falls es wirklich keine weiteren Nebenbedingungen gibt (wie bis hier auch schon vorausgesetzt), dann hilft dies vielleicht auch noch:
Im [mm] \IR^3 [/mm] stehen die Vektoren [mm] \vec{x}=\vektor{a\\b\\c} [/mm] und [mm] \vec{x}'=\vektor{b-c\\-a-c\\a+b} [/mm] senkrecht aufeinander, sofern [mm] \vec{x}\not= \vec{0}
[/mm]
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> da fehlt noch das entscheidende [mm]\red{=0}[/mm] in Deiner
> Ebenengleichung. Sonst alles gut.
>
Hatte ich vergessen, sry
> Du findest Vektoren, die orthogonal zu Deinem jetzigen
> Normalenvektor sind, natürlich in der durch ihn definierten
> Ebene. Allerdings gibt es unendlich viele Richtungen,
> anders als im [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Du kannst einen solchen Vektor über das Skalarprodukt
> bestimmen, oder aber durch das Vektorprodukt, indem Du
> einen beliebigen nicht-kollinearen zweiten Vektor mit
> Deinem Normalenvektor multiplizierst.
>
> Falls es wirklich keine weiteren Nebenbedingungen gibt (wie
> bis hier auch schon vorausgesetzt), dann hilft dies
> vielleicht auch noch:
Ja die Frage habe ich mir eigentlich selbst gestellt, deshalb gibts auch keine Bedingung dazu, also sie gehört nicht zum Aufgabentext...
>
> Im [mm]\IR^3[/mm] stehen die Vektoren [mm]\vec{x}=\vektor{a\\b\\c}[/mm] und
> [mm]\vec{x}'=\vektor{b-c\\-a-c\\a+b}[/mm] senkrecht aufeinander,
> sofern [mm]\vec{x}\not= \vec{0}[/mm]
>
Wie kommt man auf diese Form? Habe lange nach so etwas gesucht..
Denn wenn x hier unser Tangenten-Vektor ist, so kann man sich jetzt sehr schön den Normalvektor für meine Ebene ausrechnen und damit arbeiten..
Normalerweise wird, wenn eine Ebene gesucht wird welche Tangential in diesem Punkt ist, auch ein Punkt auf dieser Ebene gegeben oder sonstige Bedingungen, wie angemerkt, die Frage hier habe ich mir selbst gestellt...
Dankesehr
lg
Zuggel
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Wie man auf so eine Form kommt? Hmmm.
Du fängst wahrscheinlich damit an, Deinen "allgemeinen" [mm] \vec{x} [/mm] mit irgendeinem festen Vektor zu multiplizieren (Kreuzprodukt). Leider ist das Ergebnis untauglich, wenn [mm] \vec{x} [/mm] ein Vielfaches dieses Vektors ist.
Nun könntest Du versuchen, einfach die Koordinaten zu vertauschen, und über das Kreuzprodukt
[mm] \vektor{a\\b\\c}\times\vektor{c\\a\\b}=\vektor{b^2-ac\\c^2-ab\\a^2-bc}
[/mm]
ein hübsches Ergebnis bekommen. Leider gilt es nicht für a=b=c.
Also empfiehlt sich doch die direkte Suche über das Skalarprodukt. Der gesuchte Vektor sollte alle Koordinaten von [mm] \vec{x} [/mm] beinhalten. So führt z.B.
[mm] \vektor{a\\b\\c}\cdot\vektor{b\\-a\\0}=0
[/mm]
zum gewünschten Ergebnis, gilt aber nicht für a=b=0, [mm] c\not=0.
[/mm]
Also habe ich einfach irgendwo linear angefangen:
[mm] \vektor{a\\b\\c}\cdot\vektor{d\\e\\a+b}=a*d+b*e+ac+bc=0
[/mm]
d und e müssen also den Summanden -c beinhalten, und damit hätte man ja schon ein Ergebnis: [mm] \vektor{-c\\-c\\a+b}
[/mm]
Leider hat das wieder einen Schönheitsfehler, wenn c=0 und a=-b ist.
Daher dann eine letzte Zufügung (aus dem fehlgegangenen Versuch oben), und fertig ist [mm] \blue{\vektor{b-c\\-a-c\\a+b}}
[/mm]
Der muss nun noch überprüft werden, ob für irgendwelche a,b,c wieder ein Problem auftritt, aber das machst Du dann vielleicht ab hier selbst? Es ist nicht so schwierig.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Di 06.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
Dankeschön :)
Nun ich denke für -a=b=c wird es hier Probleme geben...
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Di 06.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, leider.
Ich weiß auch nicht, ob es möglich ist, eine allgemeine Form zu finden, die Orthogonalität garantiert. Jedenfalls müsste sie wohl etwas trickreicher sein... Ich habs auch schon mit Termen wie [mm] a^2-bc [/mm] probiert, finde aber immer Kombinationen von a,b,c, für die lineare Abhängigkeit entsteht.
Falls Du eine Lösung findest, bin ich bestimmt interessiert.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 06.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Ich weiß auch nicht, ob es möglich ist, eine allgemeine
> Form zu finden, die Orthogonalität garantiert. Jedenfalls
> müsste sie wohl etwas trickreicher sein... Ich habs auch
> schon mit Termen wie [mm]a^2-bc[/mm] probiert, finde aber immer
> Kombinationen von a,b,c, für die lineare Abhängigkeit
> entsteht.
>
> Falls Du eine Lösung findest, bin ich bestimmt
> interessiert.
>
> Grüße,
> reverend
Ich glaube dieser Problem-Fall wird sehr sehr selten eintreten. Ansonsten muss man halt sagen: pech gehabt, gibt sicher einen anderen Weg dafür.
Da wir aber gerade schön bei ortogonalen Vektoren sind wollte ich noch eine Frage stellen, angenommen ich habe die Funktion:
[mm] \bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}=1
[/mm]
Kann es sein, dass ich den ortogonalen Vektor hierbei durch folgende Formel finde:
[mm] \vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{z}}} [/mm]
Muss die Funktion dabei in einer gewissen Form stehen?
Wenn zB f(x,y)= .... stehen würde, würde mein Normalvektor dann Form a) oder Form b annehmen:
Form a)
[mm] \vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\ 1} [/mm]
Form b)
[mm] \vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\ / -1}
[/mm]
Danke
lg
Zuggel
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> Da wir aber gerade schön bei orthogonalen Vektoren sind
> wollte ich noch eine Frage stellen, angenommen ich habe die
> Funktion:
>
> [mm]\bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}=1[/mm]
Dies ist ja nicht eigentlich eine Funktion, sondern
die Gleichung einer Fläche im [mm] \IR^3, [/mm] wenn man will eine
Äquipotentialfläche der Funktion
$\ f: (x,y,z) [mm] \mapsto \bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}$
[/mm]
> Kann es sein, dass ich den orthogonalen Vektor hierbei durch
> folgende Formel finde:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{z}}}[/mm]
Ja - wobei f eben die gerade definierte Funktion ist !
> Muss die Funktion Flächengleichung dabei in
> einer gewissen Form stehen?
Ja, eben f(x,y,z)= C (C konstant)
> Wenn zB f(x,y)= .... stehen würde, würde mein Normalvektor
> dann Form a) oder Form b annehmen:
Bringe die Gleichung z=f(x,y)=... zuerst auf die Form F(x,y,z)=f(x,y)-z=0
und verfahre dann so wie oben !
>
> Form a)
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\ 1}[/mm]
>
> Form b)
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
Dies kannst du jetzt leicht selber entscheiden !
Cari saluti Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 06.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
> > Da wir aber gerade schön bei orthogonalen Vektoren sind
> > wollte ich noch eine Frage stellen, angenommen ich habe die
> > Funktion:
> >
> > [mm]\bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}=1[/mm]
>
> Dies ist ja nicht eigentlich eine Funktion, sondern
> die Gleichung einer Fläche im [mm]\IR^3,[/mm] wenn man will eine
> Äquipotentialfläche der Funktion
>
> [mm]\ f: (x,y,z) \mapsto \bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}[/mm]
>
>
> > Kann es sein, dass ich den orthogonalen Vektor hierbei
> durch
> > folgende Formel finde:
> >
> >
> [mm]\vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{z}}}[/mm]
>
> Ja - wobei f eben die gerade definierte Funktion ist !
>
> > Muss die Funktion Flächengleichung dabei in
> > einer gewissen Form stehen?
>
> Ja, eben f(x,y,z)= C (C konstant)
>
Hallo
Also:
die Funktion haben wir gegeben
[mm]\ f: (x,y,z) \mapsto \bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}[/mm]
auf Wiki Stand man sollte eine solche Funktion immer in der Form f(x,y,z)=0 sein, sehe zwar keine Veränderung in den Abelitungen aber naja:
[mm] \bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}-1=0
[/mm]
[mm]\vec{n}=\vektor{x/2 \\ 2y/9 \\ z/8}[/mm]
>
> > Wenn zB f(x,y)= .... stehen würde, würde mein Normalvektor
> > dann Form a) oder Form b annehmen:
>
> Bringe die Gleichung z=f(x,y)=... zuerst auf die Form
> F(x,y,z)=f(x,y)-z=0
> und verfahre dann so wie oben !
>
> >
> > Form a)
> >
> >
> [mm]\vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\ 1}[/mm]
> >
> > Form b)
> >
> >
> [mm]\vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
>
>
> Dies kannst du jetzt leicht selber entscheiden !
>
>
> Cari saluti Al-Chw.
Nun diese Frage habe ich ja schon einmal gestellt ist mir aufgefallen, und zwar:
f(x,y) = x + y
Somit:
[mm] \partial{x} [/mm] = 1
[mm] \partial{y}=1
[/mm]
[mm] \vec{n}=\partial{x} \times \partial{y}
[/mm]
wobei:
[mm] \partial{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \partial{y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Also ist eine Funktion gegeben durch (immer als Beispiel)
f(x,y)=z= x + y
so verwende ich die partiellen Ableitungen
Ist eine Funktion gegeben durch f(x,y,z)
[mm]\ f: (x,y,z)= \bruch{x²}{4}+\bruch{y²}{9}+\bruch{z²}{16}[/mm]
so verwende ich den Gradienten?
Grazie
Saluti
Zuggel
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Na, es ist ja eben beides im Prinzip dasselbe.
Was du wolltest, war ja einfach (irgend) ein
Normalenvektor zu einer Fläche im Raum [mm] \IR^3
[/mm]
in einem Punkt P der Fläche.
Am einfachsten ist es, wenn die Flächengleichung
in der Form F(x,y,z)=0 gegeben ist. Dann ist
[mm] $\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}$
[/mm]
ein möglicher Normalenvektor.
Ist die Gleichung der Fläche in der Form z=f(x,y)
gegeben, so kann man sie leicht auf die erste
Form bringen, indem man F(x,y,z)=f(x,y)-z setzt.
Dann ist
[mm] $\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}$
[/mm]
Braucht man jedoch einen Normalenvektor zu
einer Fläche, die in der Form z=f(x,y) gegeben
ist, um durch Integration den Flächeninhalt
eines Ausschnitts dieser Ebene zu berechnen,
dann ist es geschickter, einen Normalenvektor
via Vektorprodukt zu bestimmen, dessen Betrag
dann gerade dem Flächenelement entspricht.
LG 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Na, es ist ja eben beides im Prinzip dasselbe.
> Was du wolltest, war ja einfach (irgend) ein
> Normalenvektor zu einer Fläche im Raum [mm]\IR^3[/mm]
> in einem Punkt P der Fläche.
>
> Am einfachsten ist es, wenn die Flächengleichung
> in der Form F(x,y,z)=0 gegeben ist. Dann ist
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}[/mm]
>
> ein möglicher Normalenvektor.
> Ist die Gleichung der Fläche in der Form z=f(x,y)
> gegeben, so kann man sie leicht auf die erste
> Form bringen, indem man F(x,y,z)=f(x,y)-z setzt.
> Dann ist
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
>
> Braucht man jedoch einen Normalenvektor zu
> einer Fläche, die in der Form z=f(x,y) gegeben
> ist, um durch Integration den Flächeninhalt
> eines Ausschnitts dieser Ebene zu berechnen,
> dann ist es geschickter, einen Normalenvektor
> via Vektorprodukt zu bestimmen, dessen Betrag
> dann gerade dem Flächenelement entspricht.
>
> LG
Hallo, Danke für die Antwort, habe es leider verpasst gestern nochmal hereinzuschauen.
Also ich beziehe mich auf den letzten Satz von dir:
> Braucht man jedoch einen Normalenvektor zu
> einer Fläche, die in der Form z=f(x,y) gegeben
> ist, um durch Integration den Flächeninhalt
> eines Ausschnitts dieser Ebene zu berechnen,
> dann ist es geschickter, einen Normalenvektor
> via Vektorprodukt zu bestimmen, dessen Betrag
> dann gerade dem Flächenelement entspricht.
Ist das nicht das Selbe? Ob ich jetzt mit dem Vektorprodukt arbeite oder mir der Formel:
[mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
Denn:
[mm] \partial{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}}
[/mm]
[mm] \partial{y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}}
[/mm]
[mm] \partial{x} \times \partial{y} [/mm] = [mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
Oder hast du jetzt etwas anderes gemeint?
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> > [mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}[/mm]
>
> Also ich beziehe mich auf den letzten Satz von dir:
>
> > Braucht man jedoch einen Normalenvektor zu
> > einer Fläche, die in der Form z=f(x,y) gegeben
> > ist, um durch Integration den Flächeninhalt
> > eines Ausschnitts dieser Ebene zu berechnen,
> > dann ist es geschickter, einen Normalenvektor
> > via Vektorprodukt zu bestimmen, dessen Betrag
> > dann gerade dem Flächenelement entspricht.
>
> Ist das nicht das Selbe? Ob ich jetzt mit dem Vektorprodukt
> arbeite oder mit der Formel:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
>
> Denn:
>
> [mm]\partial{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}}[/mm]
( diese Schreibweise [mm] \partial{x} [/mm] ist mir fremd ... )
> [mm]\partial{y}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{\red{x}}}}[/mm]
>
> [mm]\partial{x} \times \partial{y}= \vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
(Vorzeichen !)
> Oder hast du jetzt etwas anderes gemeint?
Mein Hauptpunkt, an deinem früheren Beispiel erklärt,
war folgender:
Die Flächengleichung
[mm] $\bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}+\bruch{z^2}{6}-1\ [/mm] =\ 0$
könnte, erweitert, auch so geschrieben werden:
$\ [mm] 36\, x^2+16\, y^2+9\, z^2-144\ [/mm] =\ 0$
Bildet man hier Normalenvektoren nach der ersten
Methode (partielle Ableitungen, siehe ganz oben),
so erhält man verschiedene Resultate, denn auch
der Normalenvektor wurde mit "erweitert". Für die
Flächenberechnung braucht man aber den normier-
ten Normalenvektor, den man als Vektorprodukt
[mm] $\vec{t}_x \times \vec{t}_y=\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}}\times \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}}$
[/mm]
erhält. Seine besondere Eigenschaft besteht darin,
dass [mm] |\vec{n}*dx*dy|=dS [/mm] (Flächenelement für
die Berechnung der Oberfläche durch Integration).
Tatsächlich stimmt dieser Vektor mit dem Vektor
[mm] $\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}$
[/mm]
überein, allerdings nur bis auf das Vorzeichen (!).
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
> > > [mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}[/mm]
>
> >
> > Also ich beziehe mich auf den letzten Satz von dir:
> >
> > > Braucht man jedoch einen Normalenvektor zu
> > > einer Fläche, die in der Form z=f(x,y) gegeben
> > > ist, um durch Integration den Flächeninhalt
> > > eines Ausschnitts dieser Ebene zu berechnen,
> > > dann ist es geschickter, einen Normalenvektor
> > > via Vektorprodukt zu bestimmen, dessen Betrag
> > > dann gerade dem Flächenelement entspricht.
> >
> > Ist das nicht das Selbe? Ob ich jetzt mit dem Vektorprodukt
> > arbeite oder mit der Formel:
> >
> > [mm]\vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
>
> >
> > Denn:
> >
> > [mm]\partial{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}}[/mm]
>
> ( diese Schreibweise [mm]\partial{x}[/mm] ist mir fremd ... )
>
> > [mm]\partial{y}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{\red{x}}}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\partial{x} \times \partial{y}= \vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
>
>
> (Vorzeichen !)
>
> > Oder hast du jetzt etwas anderes gemeint?
>
>
> Mein Hauptpunkt, an deinem früheren Beispiel erklärt,
> war folgender:
>
> Die Flächengleichung
>
> [mm]\bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}+\bruch{z^2}{6}-1\ =\ 0[/mm]
>
> könnte, erweitert, auch so geschrieben werden:
>
> [mm]\ 36\, x^2+16\, y^2+9\, z^2-144\ =\ 0[/mm]
>
> Bildet man hier Normalenvektoren nach der ersten
> Methode (partielle Ableitungen, siehe ganz oben),
> so erhält man verschiedene Resultate, denn auch
> der Normalenvektor wurde mit "erweitert". Für die
> Flächenberechnung braucht man aber den normier-
> ten Normalenvektor, den man als Vektorprodukt
>
> [mm]\vec{t}_x \times \vec{t}_y=\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}}\times \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}}[/mm]
>
> erhält. Seine besondere Eigenschaft besteht darin,
> dass [mm]|\vec{n}*dx*dy|=dS[/mm] (Flächenelement für
> die Berechnung der Oberfläche durch Integration).
>
> Tatsächlich stimmt dieser Vektor mit dem Vektor
>
> [mm]\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ -1}[/mm]
>
> überein, allerdings nur bis auf das Vorzeichen (!).
>
>
> Gruß Al
Hm, also wir reden schon von der Funktion f(x,y)? Dann ist der Normalvektor natürlich mit z=1
[mm]\partial{x} \times \partial{y}= \vec{n}=\vektor{-\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ -\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ 1}[/mm]
Besser so ;)?
lg
Zuggel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
Da du gerade einA ntwort erstellst und ich für 15 Minuten weg muss, wollte ich hier meine Methode vorschlagen (morgen ist eben Prüfung):
Um nichts falsch zu machen nehme ich bei Funktionen folgendes her:
F(x,y,z)=
Gradienten bilden, also:
[mm] \vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}
[/mm]
Bei Funktionen in Form von f(x,y):
[mm] \partial{x} [/mm] und [mm] \partial{y} [/mm] über ein Vektorprodukt vereinen und schon habe ich n mit Einheitslänge.
Habe ich das so richtig verstanden bzw dürfte mit dieser Methode alles glatt laufen?
danke
lg
Zuggel
Wie gesagt bin in 15 Minuten wieder da...
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> Hm, also wir reden schon von der Funktion f(x,y)?
> Dann ist der Normalvektor natürlich mit z=1
>
> [mm]\partial{x} \times \partial{y}= \vec{n}=\vektor{-\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ -\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ 1}[/mm]
>
> Besser so ;)?
nein; das war vorher schon richtig !
du könntest auf der linken Seite [mm] \partial{y} \times \partial{x}
[/mm]
schreiben, dann stimmt's wieder.
> lg
> Zuggel
Wenn man (was keineswegs immer der Fall ist)
die Funktion F so gewinnt, dass man von der
Gleichung einer Fläche in der expliziten Form
z=f(x,y) ausgeht und dann auf die Form
F(x,y,z)=0 mit F(x,y,z)=z-f(x,y) bringt
(Achtung, ich habe jetzt in der Subtraktion die
Reihenfolge umgekehrt), dann wird aus dem
Normalenvektor
[mm] \vec{n}=\vektor{\bruch{\partial{F}}{\partial{x}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{y}}\\ \bruch{\partial{F}}{\partial{z}}}
[/mm]
natürlich gerade der Vektor
[mm] \vektor{-\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ -\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ 1}
[/mm]
den man auch als Vektorprodukt von Tangentialvektoren
so bekommen kann:
[mm] \vec{t}_x \times \vec{t}_y=\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}}\times \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}}=\vektor{-\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\ -\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\\ 1}
[/mm]
(Ich benütze lieber die Schreibweise mit [mm] \vec{t}_x [/mm] und [mm] \vec{t}_y [/mm]
als die [mm] \partial [/mm] - Schreibweise, die mir ungeeignet
scheint. Woher hast du sie ?)
Schönen Abend noch !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
Alles klar, ich denke ich habs verstanden.
Dir auch einen schönen Abend noch.
lg
Zuggel
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| Aufgabe | Gegeben ist die Kurve [mm]\gamma(t)[/mm] = (3t, 3t², 2t³)
mit t [mm]\in[/mm] [0, 10]; gesucht ist eine orthogonale Ebene im
Punkt mit t=2 |
> Meine Frage nun:
>
> Wenn jetzt eine Ebene gesucht wäre, welche nicht im rechten
> Winkel zu der Kurve steht, sondern tangential; also den
> Vektor [mm]\vektor{3 \\ 12 \\ 24}[/mm] in sich tragen würde.
> Wie könnte man hier vorgehen?
>
> Ich weiß, dass in 2D folgendes gemacht werden kann:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> so ist ein orthogonal dazu stehender Vektor
>
> [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm]
>
> Also vertauschen + 1 Vorzeichen ändern...
>
> Funktioniert dies auch in 3D?
Hallo Zuggel,
Die korrekte Analogie in 3D wäre wohl gar nicht,
eine zur Kurve tangentiale Ebene, sondern eben
die Tangente (Gerade) zu beschreiben. Das ist
einfach.
Um die Schar aller Ebenen zu beschreiben, die
im Punkt P(t) tangential an die Kurve [mm] \gamma [/mm] sind,
könnte man so vorgehen:
Es handelt sich um alle Ebenen, welche den Punkt
P(t)=(6/12/16) enthalten und einen Normalenvektor
[mm] \vec{n}=\vektor{a\\b\\c} [/mm]
haben, der zum Tangentialvektor [mm] \vec{t}=\vektor{1\\4\\8} [/mm] (gekürzt)
senkrecht steht.
Es müsste also gelten a+4b+8c=0.
Eine der Komponenten von [mm] \vec{n} [/mm] darf man frei wählen,
weil Normalenvektoren beliebig gestreckt werden
dürfen. Setzen wir also z.B. c:=1. Wählen wir ausserdem
b als freien Parameter: k:=b. Aus der Gleichung ergibt
sich dann für a:
$\ a\ =\ -4k-8$
und damit:
[mm] $\vec{n}=\vektor{-4k-8\\k\\1}$
[/mm]
Die Gleichung der Ebene der Schar zum Parameter-
wert k ist dann:
$\ [mm] \vec{n}*(\vec{r}-\vec{P(t)})=0$
[/mm]
$\ [mm] \vektor{-4k-8\\k\\1}*\left(\vektor{x\\y\\z}-\vektor{6\\12\\16}\right)=0$
[/mm]
Multipliziert man dies noch aus, dann hat man eine
Gleichung der Ebenenschar in Koordinatenform:
$\ [mm] E_k:\ [/mm] \ -(4k+8)*x+k*y+z+12*k+32=0$
Gruß
Al-Chwarizmi
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