Ebene mit Punkt D -> Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(2/-4/4),B(5/1/8),C(8/-4/12)
a) Gib für die Ebene E1 durch A,B und C eine Parameterdarstellung und eine Normalengleichung an.
b) Zeige, Dass D(5/-9/8) ebenfalls in der Ebene E1 liegt und mit A,B und C die Eckpunkte eines Quadrates bildet. Berechne den Flächeninhalt.
c) Bestimme alle Punkte S, die zusammen mit A,B,C und D die Eckpunkte einer quadratischen geraden Pyramide mit der Höhe h=10 bilden.
d) Zeige, dass die Ebene E2:(-503)+λ⋅(324)+μ⋅(678) mit λ,μ el ℝ parallel zu E1 ist und zwischen E1 und S(-3/-4/14) liegt.
Berechne den Flächeninhalt des von E2 aus der Pyramide ABCDs herausgeschnittenen Quadrates. |
a und b habe ich bereits gelöst.
Bei c bleib ich leider hängen, komm absolut nich an den punkt S
kann wer helfen? :(
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Vektorrechnung-Quadrat-mit-punkt-S-zur-Pyramide]
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Hallo xyria,
> Gegeben sind die Punkte A(2/-4/4),B(5/1/8),C(8/-4/12)
> a) Gib für die Ebene E1 durch A,B und C eine
> Parameterdarstellung und eine Normalengleichung an.
> b) Zeige, Dass D(5/-9/8) ebenfalls in der Ebene E1 liegt
> und mit A,B und C die Eckpunkte eines Quadrates bildet.
> Berechne den Flächeninhalt.
> c) Bestimme alle Punkte S, die zusammen mit A,B,C und D
> die Eckpunkte einer quadratischen geraden Pyramide mit der
> Höhe h=10 bilden.
> d) Zeige, dass die Ebene E2:(-503)+λ⋅(324)+μ⋅(678)
> mit λ,μ el ℝ parallel zu E1 ist und zwischen E1 und
> S(-3/-4/14) liegt.
> Berechne den Flächeninhalt des von E2 aus der Pyramide
> ABCDs herausgeschnittenen Quadrates.
> a und b habe ich bereits gelöst.
> Bei c bleib ich leider hängen, komm absolut nich an den
> punkt S
> kann wer helfen? :(
>
Es ist klar, dass der Punkt S 10 Längeneinheiten
von der Ebene ABCD entfernt ist.
In der Regel liegt der Punkt S über dem Mittelpunkt des Quadrates ABCD.
Siehe: ![[]](/images/popup.gif) Gerade Pyramide
Bilde also die Gerade
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{m}+\lambda*\overrightarrow{n}[/mm]
, wobei [mm]\ovverightarrow{m}[/mm] der Mittelpunkt des Qaudrates ABCD und
[mm]\overrightarrow{n}[/mm] der Normalenvektor der Ebene ABCD ist.
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.onlinemathe.de/forum/Vektorrechnung-Quadrat-mit-punkt-S-zur-Pyramide]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
genau das hatte ich jetzt auch rausgefunden.. aber ich krieg den richtigen mittelpunkt nicht raus..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Do 29.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xyria,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Der Mittelpunkt ergibt sich entweder als Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrates.
Oder noch einfacher (da Quadrat): es ist auch der Mittelpunkt zwei gegenüberliegender Eckpunkte des Quadrates.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
...? danke erstmal :)
also die hälfte eines vektors zB von A nach C? Laut meiner Lösungen wär das aber falsch..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Do 29.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xyria!
> also die hälfte eines vektors zB von A nach C?
Diesen musst Du nun noch an den Ortsvektor von $A_$ setzen.
Also:
[mm] $$\overrightarrow{OM} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OA}+\bruch{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
dann bekomm ich als Mittelpunkt (5/4/8) raus.. hab gehört der soll (5/-4/8) sein..
und den richtigen Punkt S bekomm ich dann mithilfe der Geraden auch nich raus.. der soll am ende (-3/-4/14) ergeben.. also einer von den beiden
irgendwie bin ich glaub ich zu blöd dafür :( egal wie man mir hilft ich kriegs nie hin..
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Hallo xyria,
> dann bekomm ich als Mittelpunkt (5/4/8) raus.. hab gehört
> der soll (5/-4/8) sein..
Damit wir das kontrollieren können, wo sich hier ein Vorzeichenfehler
eingeschlichen hat, poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
> und den richtigen Punkt S bekomm ich dann mithilfe der
> Geraden auch nich raus.. der soll am ende (-3/-4/14)
> ergeben.. also einer von den beiden
Nun, Du mußt hier den Normalenvektor der Ebene bestimmen.
Ein Vielfaches des Betrages dieses Normalenvektors muß 10 ergeben.
>
> irgendwie bin ich glaub ich zu blöd dafür :( egal wie man
> mir hilft ich kriegs nie hin..
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
Also..
Ich hab halt die Formel genommen, die mir oben bereitgestellt wurde und die vektoren eingesetzt, sprich
((2/-4/4)+(8/-4/12))/2
der ortsvektor zu punkt A(2/-4/4) plus den ortsvektor zu punkt C(8/-4/12) durch 2
ergibt bei mir (5/4/8)
der normalenvektor hier ist (8/0/-6).. rechnet man seine länge aus bekommt man 10LE raus
unnu?
wenn ichs in die gleichung einsetz passiert das:
m+lambda*n
(5/4/8)+lambda*(8/0/6)..??
mein lehrer hat was davon erzählt, den normalenvektor durch 10 zu teilen (einheitsnormalenvektor) und dann für lambda 10 einzusetzen um den vektor auf 10 zu bekommen, aber das führt ja aufs selbe hinaus.. ich raff irgendwie nichts mehr..
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Hallo xyria,
> Also..
> Ich hab halt die Formel genommen, die mir oben
> bereitgestellt wurde und die vektoren eingesetzt, sprich
> ((2/-4/4)+(8/-4/12))/2
> der ortsvektor zu punkt A(2/-4/4) plus den ortsvektor zu
> punkt C(8/-4/12) durch 2
> ergibt bei mir (5/4/8)
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\bruch{\left(-4\right)+\left(-4\right)}{2}=\red{-}4[/mm]
> der normalenvektor hier ist (8/0/-6).. rechnet man seine
> länge aus bekommt man 10LE raus
>
> unnu?
Jetzt gilt: [mm]\vmat{\left(-1\right)*\pmat{8 \\ 0 \\ -6}}=\vmat{1*\pmat{8 \\ 0 \\ -6}}[/mm]
> wenn ichs in die gleichung einsetz passiert das:
>
> m+lambda*n
> (5/4/8)+lambda*(8/0/6)..??
Jetzt erhältst Du 2 mögliche Punkte S:
[mm]S_{1}:\pmat{5 \\ -4 \\ 8}+\left(-1\right)*\pmat{8 \\ 0 \\ -6}[/mm]
[mm]S_{2}:\pmat{5 \\ -4 \\ 8}+1*\pmat{8 \\ 0 \\ -6}[/mm]
>
> mein lehrer hat was davon erzählt, den normalenvektor
> durch 10 zu teilen (einheitsnormalenvektor) und dann für
> lambda 10 einzusetzen um den vektor auf 10 zu bekommen,
> aber das führt ja aufs selbe hinaus.. ich raff irgendwie
> nichts mehr..
Ja, das führt auf dasselbe hinaus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
perfekt, das wars.. daran lag's, die -1 mit der ich noch rechnen muss..
man war das ne schwere geburt ^^ ich danke dir und auch allen anderen viiiieeelmals.. das hat echt geholfen ^^ habs endlich kapiert..
jetzt fehlt nurnoch das letzte problem: aufgabe d.. hat da jemand nur nen kleinen schubser für mich wie ich anfangen kann?
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Hallo xyria,
> perfekt, das wars.. daran lag's, die -1 mit der ich noch
> rechnen muss..
>
> man war das ne schwere geburt ^^ ich danke dir und auch
> allen anderen viiiieeelmals.. das hat echt geholfen ^^ habs
> endlich kapiert..
>
> jetzt fehlt nurnoch das letzte problem: aufgabe d.. hat da
> jemand nur nen kleinen schubser für mich wie ich anfangen
> kann?
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(2/-4/4),B(5/1/8),C(8/-4/12)
a) Gib für die Ebene E1 durch A,B und C eine Parameterdarstellung und eine Normalengleichung an.
b) Zeige, Dass D(5/-9/8) ebenfalls in der Ebene E1 liegt und mit A,B und C die Eckpunkte eines Quadrates bildet. Berechne den Flächeninhalt.
c) Bestimme alle Punkte S, die zusammen mit A,B,C und D die Eckpunkte einer quadratischen geraden Pyramide mit der Höhe h=10 bilden.
d) Zeige, dass die Ebene E2:(-503)+λ⋅(324)+μ⋅(678) mit λ,μ el ℝ parallel zu E1 ist und zwischen E1 und S(-3/-4/14) liegt.
Berechne den Flächeninhalt des von E2 aus der Pyramide ABCDs herausgeschnittenen Quadrates. |
Du meinst wohl: [mm] E_2: \vec{x}=\vektor{-5\\0\\3}+\lambda*\vektor{3\\2\\4}+\mu*\vektor{6\\7\\8} [/mm] ?
Wie lautet denn die Ebenengleichung [mm] E_1 [/mm] ?
Dann überlege: wann sind zwei Ebenen parallel und wie überprüft man dies?
Wenn die Ebene zwischen [mm] E_1 [/mm] und S liegen soll, muss ihr Abstand kleiner als die Höhe h der Pyramide sein, prüfe dies!
Dann sehen wir weiter...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
so.. hab mich da mal dran gesetzt
ja, ich meinte die ebene so geschrieben, weiss nur nicht, wie das hier geht..
also hab jetzt mal nachgedacht
E1 ist (2/-4/4)+lambda*(3/5/4)+mu*(6/0/8)
E2 ist (-5/0/3)+lambda*(3/2/4)+mu*(6/7/8)
mir ist als erstes aufgefallen, dass jeweils die erste und letzte komponente der richtungsvektoren gleich ist.. sind die dann parallel?
und zum anderen teil:
Ich hab mir gedacht, ich rechne den Abstand der ersten Ebene zum Punkt aus, also zum Stützvektor der zweiten Ebene.. kann man das so machen?
hab das jedenfalls versucht und bekäme als ergebnis wurzel aus 43,93 also ca. 6,63FE raus, was sich nicht gerade wirklich richtig anhört..
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Hallo xyria,
> so.. hab mich da mal dran gesetzt
> ja, ich meinte die ebene so geschrieben, weiss nur nicht,
> wie das hier geht..
> also hab jetzt mal nachgedacht
>
> E1 ist (2/-4/4)+lambda*(3/5/4)+mu*(6/0/8)
> E2 ist (-5/0/3)+lambda*(3/2/4)+mu*(6/7/8)
>
> mir ist als erstes aufgefallen, dass jeweils die erste und
> letzte komponente der richtungsvektoren gleich ist.. sind
> die dann parallel?
Nein.
Berechne hier die Normalenvektoren der beiden Ebenen.
>
> und zum anderen teil:
> Ich hab mir gedacht, ich rechne den Abstand der ersten
> Ebene zum Punkt aus, also zum Stützvektor der zweiten
> Ebene.. kann man das so machen?
Ja.
> hab das jedenfalls versucht und bekäme als ergebnis
> wurzel aus 43,93 also ca. 6,63FE raus, was sich nicht
> gerade wirklich richtig anhört..
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo xyria,
>
> > so.. hab mich da mal dran gesetzt
> > ja, ich meinte die ebene so geschrieben, weiss nur
> nicht,
> > wie das hier geht..
> > also hab jetzt mal nachgedacht
> >
> > E1 ist (2/-4/4)+lambda*(3/5/4)+mu*(6/0/8)
> > E2 ist (-5/0/3)+lambda*(3/2/4)+mu*(6/7/8)
> >
> > mir ist als erstes aufgefallen, dass jeweils die erste und
> > letzte komponente der richtungsvektoren gleich ist.. sind
> > die dann parallel?
>
>
> Nein.
>
> Berechne hier die Normalenvektoren der beiden Ebenen.
Hallo,
laut Aufgabe a) müsstest du doch schon eine Normalengleichung der ersten Ebene haben (und damit auch einen Normalenvektor?).
Wenn das auch der Normalenvektor der zweiten Ebene sein sollte, muss sein Skalarprodukt mit beiden Spannvektoren dieser zweiten Ebene jeweils Null sein.
Gruß Abakus
>
>
> >
> > und zum anderen teil:
> > Ich hab mir gedacht, ich rechne den Abstand der ersten
> > Ebene zum Punkt aus, also zum Stützvektor der zweiten
> > Ebene.. kann man das so machen?
>
>
> Ja.
>
>
> > hab das jedenfalls versucht und bekäme als ergebnis
> > wurzel aus 43,93 also ca. 6,63FE raus, was sich nicht
> > gerade wirklich richtig anhört..
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
so, habe jetzt alles fertig.
mir fehlt nurnoch, wie ich auf das nun ausgeschnittene quadrat komme.
also ich hab mir ne skizze gemacht, weiss auch was von mir gewollt ist aber ich weiss nicht, wie ich jetzt auf die jeweiligen punkte komme?
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Hallo xyria,
> so, habe jetzt alles fertig.
> mir fehlt nurnoch, wie ich auf das nun ausgeschnittene
> quadrat komme.
> also ich hab mir ne skizze gemacht, weiss auch was von mir
> gewollt ist aber ich weiss nicht, wie ich jetzt auf die
> jeweiligen punkte komme?
Bilde die Geraden AS, BS, CS, DS und schneide
jede dieser Geraden mit der Ebene E2.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
okay, die geraden hatte ich auch schon gebildet, wusste nur nicht, wo ich die schneiden sollte :)
hab das letzte bisschen jetzt zwar nicht mehr hingekriegt, weil ich nach ca. 6std arbeit auch irgendwann keinen nerv mehr habe und das wieder nicht so ganz auf die reihe kriege, weil ich irgendwo wieder ein paar kleine rechenfehler einbau, die ich nich erkenn..
eins will ich loswerden:
Ich danke euch allen, die mir geholfen haben.. Das war ein Referat, und das muss bis morgen fertig sein, selbst mein Lehrer konnte mir nicht wirklich viel weiter helfen. Ich hab die Aufgabe komplett sogut wie fertig und kann sie bis dahin auch vollständig nachvollziehen :)
das hab ich alles euch zu verdanken, ohne euch wäre ich nie im Leben auf die Ergebnisse gekommen. Daher möchte ich euch von ganzem Herzen danken :) Ihr wart wirklich meine Rettung, die Hilfe in letzter Not :D
ein wirklich herzliches Dankeschön an euch alle.. und eine gute Nacht :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> ...? danke erstmal :)
> also die hälfte eines vektors zB von A nach C? Laut
> meiner Lösungen wär das aber falsch..
Das ist unvollständig. Richtig wäre (um es mit deinen Worten zu formulieren): "Der Ortsvektor von A plus die hälfte eines vektors von A nach C"
Noch einfacher ist allerdings: das arithmetische Mittel der Koordinaten von A und C.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
juhuuu :D das hat geholfen.. zumindest um den mittelpunkt rauszukriegen ^^ sehr gut dankeschön.
jetzt muss ich nurnoch irgendwie auf den punkt S kommen..
ähm.. habs jetzt soweit.. habe folgendes:
mittelpunkt+lambda*normalenvektor
(5/-4/8)+lambda*(8/0/-6)
wenn ich jetzt den normalenvektor durch 10 teile um den einheitsnormalenvektor zu bekommen und für lambda 10 einsetze um die höhe von 10 zu bekommen dann hab ich
(5/-4/8)+(8/0/-6)
da kommt raus: (13/-4/2)
es soll aber rauskommen: (-3/-4/14).. mir ist aufgefallen, wären die zeichen beim normalenvektor andersherum würde es rauskommen..?
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Hallo xyria,
> juhuuu :D das hat geholfen.. zumindest um den mittelpunkt
> rauszukriegen ^^ sehr gut dankeschön.
>
> jetzt muss ich nurnoch irgendwie auf den punkt S kommen..
Du kennst doch die Normalenform der Ebene, nicht wahr? Wie heißt also der Normalenvektor?
Wenn du davon den  Einheitsvektor [mm] \vec{n}^0=\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|} [/mm] bildest, findest du den Ortsvektor zum Punkt S durch
[mm] \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+10*\vec{n}^0
[/mm]
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Do 29.10.2009 | | Autor: | xyria |
danke dir auch :)
habs jetzt endlich verstanden und das richtige ergebnis rausgekriegt.. vielen dank euch allen, ihr seid wirklich liebenswert :D und meine letzte rettung noch dazu :)
kussi an euch alle
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