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Forum "Geraden und Ebenen" - Ebene parallel zu Vektor
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Ebene parallel zu Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:23 So 08.11.2015
Autor: Ceriana

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Ich habe einen Vektor [mm] \vec{u} [/mm] und einen Vektor [mm] \vec{f}. [/mm] Ich möchte eine Ebene konstruieren, die genau parallel zu [mm] \vec{u} [/mm] ist und den Abstand [mm] |\vec{f}| [/mm] von ihm hat. Ein Bild zur Veranschaulichung [mm] (\vec{u} [/mm] = up, [mm] \vec{f} [/mm] = forward):

€dit: Uploadfunktion funktioniert gerade nicht (Fehlermeldung), daher mit externen Link auf imgur:

http://i.imgur.com/MkP1Mj1.png

[mm] \vec{t} [/mm] ist die Summe der beiden Vektoren. Daraus habe ich eine Gerade konstruiert, die immerhin schonmal parallel zu [mm] \vec{u} [/mm] ist. Die Frage ist nun:

Wie finde ich einen dritten Spannvektor mit dem ich besagte parallele Ebene aufspannen kann? Zuerst hab ich [mm] \vec{t} [/mm] um 90° gedreht und daraus die Ebene konstruiert. Das war natürlich nichts, da die Gerade ja nicht parallel zur xy-Ebene läuft. Weitere Ansätze hab ich leider nicht, hab einige Sachen versucht die aber zu noch falscheren Ergebnissen geführt haben..

Vielen Dank,

Ceriana

        
Bezug
Ebene parallel zu Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 So 08.11.2015
Autor: reverend

Hallo Ceriana,

das ist einfacher, als Du denkst.

> Ich habe einen Vektor [mm]\vec{u}[/mm] und einen Vektor [mm]\vec{f}.[/mm] Ich
> möchte eine Ebene konstruieren, die genau parallel zu
> [mm]\vec{u}[/mm] ist und den Abstand [mm]|\vec{f}|[/mm] von ihm hat.

Du meinst offenbar dies: der Vektor [mm] \vec{u} [/mm] sei der Richtungsvektor einer Urssprungsgeraden. Gesucht ist eine Ebene, die von dieser Geraden den Abstand [mm] |\vec{f}| [/mm] hat.
Es gibt unendlich viele voneinander verschiedene Ebenen, die diese Bedingung erfüllen.

> Ein Bild
> zur Veranschaulichung [mm](\vec{u}[/mm] = up, [mm]\vec{f}[/mm] = forward):
>  
> €dit: Uploadfunktion funktioniert gerade nicht
> (Fehlermeldung), daher mit externen Link auf imgur:
>  
> http://i.imgur.com/MkP1Mj1.png

Habe ich mir nicht angesehen.

> [mm]\vec{t}[/mm] ist die Summe der beiden Vektoren.

Diese Summe brauchst Du nicht.

> Daraus habe ich
> eine Gerade konstruiert, die immerhin schonmal parallel zu
> [mm]\vec{u}[/mm] ist. Die Frage ist nun:
>  
> Wie finde ich einen dritten Spannvektor mit dem ich besagte
> parallele Ebene aufspannen kann? Zuerst hab ich [mm]\vec{t}[/mm] um
> 90° gedreht und daraus die Ebene konstruiert. Das war
> natürlich nichts, da die Gerade ja nicht parallel zur
> xy-Ebene läuft. Weitere Ansätze hab ich leider nicht, hab
> einige Sachen versucht die aber zu noch falscheren
> Ergebnissen geführt haben..

Zwei Dinge müssen erfüllt sein:
1) Du brauchst einen Punkt im Abstand [mm] |\vec{f}| [/mm] von der Geraden. Dieser Punkt soll dann in der gesuchten Ebene liegen.
2) Du brauchst einen beliebigen Vektor, der kein Vielfaches von [mm] \vec{u} [/mm] ist. Den kannst Du als zweiten Spannvektor nehmen.

Grüße
reverend

> Vielen Dank,
>  
> Ceriana


Bezug
        
Bezug
Ebene parallel zu Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 So 08.11.2015
Autor: M.Rex

Hallo

Falls ihr die Normalenform der Ebene schon kennt, kannst du auch anders vorgehen, als reverend vorgeschlagen hat.

Der (unbekannte) Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] muss senkrecht auf dem gegebenen Vektor [mm] \vec{u} [/mm] stehen, denn genau dann ist die Ebene parallel zu [mm] \vec{u}. [/mm]

Suche also einen Vektor [mm] \vec{n}, [/mm] der senkrecht auf [mm] \vec{u} [/mm] steht.

Berechne dann den zugehörigen Einheitsvektor [mm] \vec{n_{0}}=\frac{1}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n} [/mm]

Wenn du diesen dann auf die Länge des Vektors [mm] \vec{f} [/mm] skalierst, hast du einen Normalenvektor [mm] \vec{n_{e}} [/mm] der Ebene, also
[mm] \vec{n_{e}}=|\vec{f}|\cdot\vec{n_{0}}=\frac{|\vec{f}|}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n} [/mm]

Marius

Bezug
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