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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Ebene und Gerade mit Abstand
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Ebene und Gerade mit Abstand: alle Punkte P bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Do 10.03.2005
Autor: baerchen

Hallo Ihr,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Bestimme alle Punkte P, die auf g liegen und von E den Abstand 6 haben.

E:   [mm] \vektor{1\\ -2\\ 2} \overrightarrow{x} [/mm] = 3
g:  [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{11\\ -15\\ 8} [/mm] +  [mm] \lambda \vektor{4\\ -5\\ 2} [/mm]

Wenn es mehrere Punkte gibt, die auf g liegen und von E den Abstand 6 haben, müssen diese ja parallel sein.

Die Ebene ist in HNF: x1 - 2x2 + 2x3 = 3, die beiden parallelen Ebenen in denen g liegen muss heißen:
x1 - 2x2 + 2x3 = 9  und x1 - 2x2 + 2x3 = -3

Wenn ich jetzt meine erste parallele Ebene nehme (= 9) und in sie g einsetze erhalte ich für Lambda den Wert - 2 2/3. Aber wenn ich den Wert in g einsetze, erhalte ich ja einen bestimmten Punkt und wenn g und die "richtige" Ebene parallel waren, müsste ich doch unendlich viele Lamdas herausbekommen.

Kann mir jemand einen Tipp geben? Ich würde mich freuen :)

Liebe Grüße
Bärchen


        
Bezug
Ebene und Gerade mit Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Do 10.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, baerchen,

  

> ich möchte folgende Aufgabe lösen:
>  Bestimme alle Punkte P, die auf g liegen und von E den
> Abstand 6 haben.
>  
> E:   [mm]\vektor{1\\ -2\\ 2} \overrightarrow{x}[/mm] = 3
>  g:  [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{11\\ -15\\ 8}[/mm] +  [mm]\lambda \vektor{4\\ -5\\ 2} [/mm]
>  
>
> Wenn es mehrere Punkte gibt, die auf g liegen und von E den
> Abstand 6 haben, müssen diese ja parallel sein.

Wie meinst Du das? Punkte sollen "parallel" sein?!
Du meinst hoffentlich: Die Punkte müssen in 2 Ebenen liegen, die zur Ebene E parallel liegen und den Abstand 6 haben!

>  
> Die Ebene ist in HNF: x1 - 2x2 + 2x3 = 3,

???????????????????????????????????

Um die HNF zu kriegen musst Du doch durch die Länge des Normalenvektors (hier: 3) dividieren!!!


> die beiden parallelen Ebenen in denen g liegen muss heißen:
>  x1 - 2x2 + 2x3 = 9  und x1 - 2x2 + 2x3 = -3

Nicht die Gerade g liegt da drin, sondern nur die beiden gesuchten Punkte!

>  
> Wenn ich jetzt meine erste parallele Ebene nehme (= 9) und
> in sie g einsetze erhalte ich für Lambda den Wert - 2 2/3.
> Aber wenn ich den Wert in g einsetze, erhalte ich ja einen
> bestimmten Punkt und wenn g und die "richtige" Ebene
> parallel waren, müsste ich doch unendlich viele Lamdas
> herausbekommen.
>  

Also: Wenn g und E parallel wären (was sie hier nicht sind!), dann brauchtest Du fast gar nix zu rechnen, denn der Abstand zwischen g und E wär' überall derselbe: Wenn Du Glück hast wäre der Abstand =6, also wären alle Punkte aus der Geraden in der Lösungsmenge; wenn aber der Abstand nicht =6 ist, kriegst Du gar keine Lösung!

Stell' Dir doch einfach vor, Du hast 3 parallele Ebenen, die mittlere davon heißt E, die beiden anderen sind jeweils 6 LE von E entfernt.
Und nun geht da quer durch eine Gerade, die alle 3 Ebenen schneidet. Der mittlere Schnittpunkt (g schneidet E) ist uninteressant, da der in E liegt und demnach von E den Abstand =0 hat. Aber die andern beiden Punkte: Die sind von E genau 6 LE entfernt!

mfG!
Zwerglein  

Bezug
                
Bezug
Ebene und Gerade mit Abstand: Richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Do 10.03.2005
Autor: baerchen

Hallo Zwerglein,

danke für deine schnelle Antwort.

Ich hoffe nun habe ich es richtig.
Die gesuchte Ebenen sind:
E1: x1 - 2x2 + 2x3 = -5
E2: x1 - 2x2 + 2x3 = 7

Bei E2 habe ich jetzt den Punkt (-0,12/-1,1/2,44) heraus, da Lambda - 2,78 ist.


Liebe Grüße
Bärchen

Bezug
                        
Bezug
Ebene und Gerade mit Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Do 10.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, baerchen,

wenn die HNF der Ebene E lautet:
[mm] \bruch{1}{3}*(x_{1}-2x_{2}+2x_{3}) [/mm] - 1 = 0
und der Abstand zu den beiden dazu parallelen Ebenen ist 6,
wie können dann Deine Ebenen

> E1: x1 - 2x2 + 2x3 = -5
>  E2: x1 - 2x2 + 2x3 = 7
>  

lauten?!

Also: Gleich noch mal ran!

mfG!
Zwerglein  


Bezug
                                
Bezug
Ebene und Gerade mit Abstand: Nun richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Fr 11.03.2005
Autor: baerchen

Hallo,

das ist ja ein echt peinlicher Fehler. Hoffentlich ist das nun richtig.
Ich habe also 1/3x1 - 2/3x2 + 2/3 x3 = -5 bzw. 7 ?

Liebe Grüße
Bärchen

Bezug
                                        
Bezug
Ebene und Gerade mit Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Fr 11.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, baerchen,

yes!



Bezug
                                                
Bezug
Ebene und Gerade mit Abstand: P1, P2 sind also
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Sa 12.03.2005
Autor: baerchen

P1 (3/-5/4) und P2 (-5/5/0) ?

Hoffentlich ist das auch noch richtig.

Liebe Grüße
Bärchen



Bezug
                                                        
Bezug
Ebene und Gerade mit Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Sa 12.03.2005
Autor: Zwerglein

Hallo, baerchen,

geschafft! Auch richtig!
Die "Probe" kannst Du ja selbst machen:
Setz' die Punkte in die HNF von E ein; es muss +6 oder -6 rauskommen.
Dass die Punkte auf g liegen, ist sowieso klar, nachdem Du sie aus g ausgerechnet hast!

Nochmals: Alles OK!


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