Ebene und Gerade mit Abstand < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Do 10.03.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Ihr,
ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Bestimme alle Punkte P, die auf g liegen und von E den Abstand 6 haben.
E: [mm] \vektor{1\\ -2\\ 2} \overrightarrow{x} [/mm] = 3
g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{11\\ -15\\ 8} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{4\\ -5\\ 2}
[/mm]
Wenn es mehrere Punkte gibt, die auf g liegen und von E den Abstand 6 haben, müssen diese ja parallel sein.
Die Ebene ist in HNF: x1 - 2x2 + 2x3 = 3, die beiden parallelen Ebenen in denen g liegen muss heißen:
x1 - 2x2 + 2x3 = 9 und x1 - 2x2 + 2x3 = -3
Wenn ich jetzt meine erste parallele Ebene nehme (= 9) und in sie g einsetze erhalte ich für Lambda den Wert - 2 2/3. Aber wenn ich den Wert in g einsetze, erhalte ich ja einen bestimmten Punkt und wenn g und die "richtige" Ebene parallel waren, müsste ich doch unendlich viele Lamdas herausbekommen.
Kann mir jemand einen Tipp geben? Ich würde mich freuen :)
Liebe Grüße
Bärchen
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Hi, baerchen,
> ich möchte folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme alle Punkte P, die auf g liegen und von E den
> Abstand 6 haben.
>
> E: [mm]\vektor{1\\ -2\\ 2} \overrightarrow{x}[/mm] = 3
> g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{11\\ -15\\ 8}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{4\\ -5\\ 2}
[/mm]
>
>
> Wenn es mehrere Punkte gibt, die auf g liegen und von E den
> Abstand 6 haben, müssen diese ja parallel sein.
Wie meinst Du das? Punkte sollen "parallel" sein?!
Du meinst hoffentlich: Die Punkte müssen in 2 Ebenen liegen, die zur Ebene E parallel liegen und den Abstand 6 haben!
>
> Die Ebene ist in HNF: x1 - 2x2 + 2x3 = 3,
???????????????????????????????????
Um die HNF zu kriegen musst Du doch durch die Länge des Normalenvektors (hier: 3) dividieren!!!
> die beiden parallelen Ebenen in denen g liegen muss heißen:
> x1 - 2x2 + 2x3 = 9 und x1 - 2x2 + 2x3 = -3
Nicht die Gerade g liegt da drin, sondern nur die beiden gesuchten Punkte!
>
> Wenn ich jetzt meine erste parallele Ebene nehme (= 9) und
> in sie g einsetze erhalte ich für Lambda den Wert - 2 2/3.
> Aber wenn ich den Wert in g einsetze, erhalte ich ja einen
> bestimmten Punkt und wenn g und die "richtige" Ebene
> parallel waren, müsste ich doch unendlich viele Lamdas
> herausbekommen.
>
Also: Wenn g und E parallel wären (was sie hier nicht sind!), dann brauchtest Du fast gar nix zu rechnen, denn der Abstand zwischen g und E wär' überall derselbe: Wenn Du Glück hast wäre der Abstand =6, also wären alle Punkte aus der Geraden in der Lösungsmenge; wenn aber der Abstand nicht =6 ist, kriegst Du gar keine Lösung!
Stell' Dir doch einfach vor, Du hast 3 parallele Ebenen, die mittlere davon heißt E, die beiden anderen sind jeweils 6 LE von E entfernt.
Und nun geht da quer durch eine Gerade, die alle 3 Ebenen schneidet. Der mittlere Schnittpunkt (g schneidet E) ist uninteressant, da der in E liegt und demnach von E den Abstand =0 hat. Aber die andern beiden Punkte: Die sind von E genau 6 LE entfernt!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 10.03.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Zwerglein,
danke für deine schnelle Antwort.
Ich hoffe nun habe ich es richtig.
Die gesuchte Ebenen sind:
E1: x1 - 2x2 + 2x3 = -5
E2: x1 - 2x2 + 2x3 = 7
Bei E2 habe ich jetzt den Punkt (-0,12/-1,1/2,44) heraus, da Lambda - 2,78 ist.
Liebe Grüße
Bärchen
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Hi, baerchen,
wenn die HNF der Ebene E lautet:
[mm] \bruch{1}{3}*(x_{1}-2x_{2}+2x_{3}) [/mm] - 1 = 0
und der Abstand zu den beiden dazu parallelen Ebenen ist 6,
wie können dann Deine Ebenen
> E1: x1 - 2x2 + 2x3 = -5
> E2: x1 - 2x2 + 2x3 = 7
>
lauten?!
Also: Gleich noch mal ran!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 11.03.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo,
das ist ja ein echt peinlicher Fehler. Hoffentlich ist das nun richtig.
Ich habe also 1/3x1 - 2/3x2 + 2/3 x3 = -5 bzw. 7 ?
Liebe Grüße
Bärchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Sa 12.03.2005 | | Autor: | baerchen |
P1 (3/-5/4) und P2 (-5/5/0) ?
Hoffentlich ist das auch noch richtig.
Liebe Grüße
Bärchen
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Hallo, baerchen,
geschafft! Auch richtig!
Die "Probe" kannst Du ja selbst machen:
Setz' die Punkte in die HNF von E ein; es muss +6 oder -6 rauskommen.
Dass die Punkte auf g liegen, ist sowieso klar, nachdem Du sie aus g ausgerechnet hast!
Nochmals: Alles OK!
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