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| Aufgabe 1 | (a) Wie bestimmt man die Ebene, die die 3 nicht kollinearen Punkte
a = (a1, a2, a3, a4), b = (b1, b2, b3, b4) und c = (c1, c2, c3, c4) enthält?
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| Aufgabe 2 | (b) Wie bestimmt man den Schnittpunkt der drei Ebenen e = (e1, e2, e3, e4),
f = (f1, f2, f3, f4) und g = (g1, g2, g3, g4)? |
Ich habe leider an der Schule keine Vektorrechnung oder dergleichen gehabt und auch der Crash-Kurs an der Uni kann mir irgendwie bei diesen Aufgaben nicht helfen.
Für a) hab ich keinen blassen Schimmer...
Bei b) könnte ich mir vorstellen, das man wie bei Geraden einfach die Ebenen Gleichsetzen muss...aber ich habe keine Ahung wie das funktionieren soll. Die Aufgabe ist ja kaum gelöst wenn ich schreibe:
e1 * f1 * g1 = e2 * f2 * g2 = e3 * f3 * g3
Ich fummel mich daran wirklich schon dumm und dämlich und weiß einfach nicht, was ich tun soll :( . Unser Studiengang ist nicht so Mathelastig und ich habe für ein Semester die Uni gewechselt und gehe in der 3. Woche
schon restlos unter - ich wäre für Hinweise immens dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Sa 06.05.2006 | | Autor: | yalu |
> (a) Wie bestimmt man die Ebene, die die 3 nicht kollinearen
> Punkte
> a = (a1, a2, a3, a4), b = (b1, b2, b3, b4) und c = (c1,
> c2, c3, c4) enthält?
Also wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann sollst du eine Ebene konstruieren im 4-dimensionalen Raum mit 3 gegebenen Punkten.
Wichtig ist, dass diese Punkte nicht alle auf der selben Gerade liegen, weil sonst kannst du die Ebene nicht genau bestimmen - stell dir einfach eine Gerade im 3-dim Raum vor - es gibt unendlich viele Möglichkeiten mit dieser Gerade eine Ebene aufzuspannen.
Diese Bedingung ist aber trivialer Weise bereits erfüllt (3 nicht kollineare Punkte, womit dies wahrscheinlich gemeint ist - die Formulierung ist aber SEHR schwammig  ).
Du kannst also direkt loslegen.
Es gibt nun sehr viele unterschiedliche Formen eine Gleichung für eine Ebene anzugeben - da du keine genauer angegeben hast, gehe ich mal von der Paramterform aus.
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{O_p} [/mm] + r [mm] \cdot \vec{v_1} [/mm] + s [mm] \cdot \vec{v_2} [/mm] , wobei r,s [mm] \in \IR [/mm] (falls du als Körper die reellen Zahlen verwendest, wovon ich ebenfalls mal ausgehe) und [mm] O_p,v_1,v_2 \in \IR^{1xn}
[/mm]
Kommt dir sowas bekannt vor? Der erste Vektor [mm] \vec{O_p} [/mm] heisst ja Ortsvektor oder Stützvektor und [mm] \vec{v_1} [/mm] und [mm] \vec{v_2} [/mm] werden als Richtungsvektoren bezeichnen.
Um dir das vorzustellen: Denk dir einfach ein Koordinatensystem im 3-dim Raum. Nun gehst du vom Nullpunkt den Ortsvektor und landest bei einem Punkt auf der Ebene - von diesem Punkt aus kannst du nun die beiden Richtungsvektoren beliebig miteinander kombinieren und erhälst aus den ganzen getroffenen Punkten eine Ebene.
Was du also brauchst ist ein Ortsvektor/Stützvektor und 2 Richtungsvektoren.
Naja, aber der Ortsvektor ist doch ein beliebiger Punkt auf der Ebene - also kannst du jeden der Punkte aus der Aufgabe verwenden, da ja alle auf der Ebene liegen sollen.
Und als die Richtungsvektoren brauchst du dann nur noch die beiden Verbindungsvektoren zwischen dem gewählten Punkt und den beiden übrigen Punkten verwenden und hast eine Ebene.
Bevor ich mich an die 2. Aufgabe setze, sag erstmal Bescheid, ob du überhaupt was damit anfangen kannst oder ihr eine andere Form hattet um Ebenen darzustellen (weil die Darstellung von Aufgabenteil (b) verstehe ich so nicht).
Viel Spaß noch,
GLG, Wied
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Also, so ganz kann ich mit dem, was du mir erklärt hast, nichts anfangen. Deswegen schreibe ich dir eben unsere Definition von Ebenen. Vielleicht meinen wir ja das Selbe, nur mein Prof drückt es anders aus:
Eine Ebene ist die Menge der Form
E = {(x,y,z) | [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}y [/mm] + [mm] a_{3}z [/mm] + [mm] a_{4} [/mm] = 0} wobei [mm] a_{1}...a_{4} \in \R [/mm] und nicht alle = 0
Meinen wir das Selbe??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mo 08.05.2006 | | Autor: | statler |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Schäfchen!
> Eine Ebene ist die Menge der Form
> E = {(x,y,z) | [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{2}y[/mm] + [mm]a_{3}z[/mm] + [mm]a_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0} wobei
> [mm]a_{1}...a_{4} \in \R[/mm] und nicht alle = 0
So stimmt das mit Aufg. 1 nicht überein! Hier haben die Punkte in der Ebene definitionsgemäß 3 Koordinaten, und oben in der Aufgabe haben die gegebenen Punkte 4 Koordinaten. Nach dieser Def. gibt es im [mm] \IR^{4} [/mm] keine Ebenen. Mathematik ist u. a. auch eine Schulung in Genauigkeit des Ausdrucks. Wer hat den Fehler gemacht, du oder dein Prof.?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> Meinen wir das Selbe??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Schaefchen |
Es ist so, dass im Skript, aus dem ich die Definition übernommen habe x,y,z kartesische Koordinaten sind. Man kann laut Skript Ebenen im 3D-Raum auch mit homogenen Koordinaten (einem Viertupel) darstellen [mm] (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}) [/mm] und jedes Element mit [mm] \lambda \not= [/mm] 0 multiplizieren (so kann [mm] \lambda [/mm] durch dividieren ganz leich wieder eliminiert werden). So steht es im Skript. Und mit dieser Definition soll ich die Aufgaben lösen.
Ich habe auch nochmal nachgesehen, ob ich mich verschrieben habe, aber die Aufgabe und auch die Definition stimmt...
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