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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 Sa 01.09.2007 | | Autor: | Diva |
Aufgabe:
Gegeben:
A(1/3/4); B(-1/5/6); [mm] \varepsilon: [/mm] 2x-2y+z-3=0
1.1. Beweisen Sie: A und B liegen auf derselben Seite von [mm] \varepsilon.
[/mm]
1.2. Berechnen Sie die Koordinatengleichung der Mittelnormalebene von [mm] \overline{AB}.
[/mm]
1.3. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung jener Parallelebene zu [mm] \varepsilon [/mm] im Abstand 9, welche auf derselben Seite von [mm] \varepsilon [/mm] liegt wie der Punkt A.
1.4 Eine Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r=9 gehe durch die Punkte A und B und berühre die Ebene [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wieviele solche Kugeln gibt es?
Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M einer solchen Kugel.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe:
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> Gegeben:
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> A(1/3/4); B(-1/5/6); [mm]\varepsilon:[/mm] 2x-2y+z-3=0
>
> 1.1. Beweisen Sie: A und B liegen auf derselben Seite von
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> 1.2. Berechnen Sie die Koordinatengleichung der
> Mittelnormalebene von [mm]\overline{AB}.[/mm]
>
> 1.3. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung jener
> Parallelebene zu [mm]\varepsilon[/mm] im Abstand 9, welche auf
> derselben Seite von [mm]\varepsilon[/mm] liegt wie der Punkt A.
>
> 1.4 Eine Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r=9
> gehe durch die Punkte A und B und berühre die Ebene
> [mm]\varepsilon.[/mm]
> Wieviele solche Kugeln gibt es?
> Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M einer
> solchen Kugel.
Hallo,
in meinem anderen Post habe ich Dir gerade geschrieben, daß wir Wert auf eigene Lösungsansätze legen.
Schildere bitte, wie weit Du bei der Lösung der Aufgabe gekommen bist bzw. wo die Probleme liegen.
Um Dir zu helfen, müssen wir ja auch in etwa wissen, welche Methoden Dir zur Verfügung stehen.
Dann wird Dir sicher gern geholfen.
Dieses Forum ist nicht als Lösungsmaschine gedacht, es kommt hier darauf an, beim Verständnis zu helfen und die Lösungsversuche helfend zu begleiten.
zu 1.1.: Stichwort "Hessesche Normalform"
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Diva |
Stimmen diese Resultate?
1.1
Ja sie liegen auf derselben seite -- Beweis mittels HNF.
1.2
Mitelnormalebene ist [mm] \varepsilon: [/mm] -2x+2y+2z-18=0
Mittels HNF und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist Normalenvektor.
1.3
Die Parallelebene zu [mm] \varepsilon [/mm] hat die Gleichung
[mm] \mu: [/mm] -2x+2y+2z-9=0
Mittels HNF ermittelt.
1.4
Ich glaube es gibt 2 solche Kugeln. Die eine hat den Mittelpunkt M(-5/6/-2) die andere M(-2/9/-2).
Was mir schwer fällt ist, ich kann mir nicht so recht vorstellen warum es nur genau zwei Kugeln gibt!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Diva |
1.4
Bei 1.4 habe ich folgendermassen gerechnet:
[mm] \overline{AM} [/mm] = 9 Der Abstand zum Mittelpunkt muss dem Radius entsprechen also 9
[mm] \overline{BM} [/mm] = 9 ""
HNF(M) = [mm] \pm9 [/mm] 9 kann positiv oder negativ sein, da nicht vorgegeben ist auf welcher Seite der Ebene M liegen muss
Das ergibt diese 3 Gleichungen:
1. [mm] (x-1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-4)^{2} [/mm] = 81
2. [mm] (x+1)^{2}+(y-5)^{2}+(z-6)^{2} [/mm] = 81
3. [mm] \bruch{2x-2y+z-3}{3} [/mm] = [mm] \pm9
[/mm]
durch auflösen dieses Gleichungssystems habe ich erhalten:
M1 (-5/6/-2) und M2 (-2/9/-2)
ist das falsch?
wiso erhalte ich keine Lösung wenn ich in der 3. Gleichung +9 einsetze ? ist das logisch?
die zwei Lösungen habe ich für -9 erhalten.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Blech |
> 1.4
>
> Bei 1.4 habe ich folgendermassen gerechnet:
>
> [mm]\overline{AM}[/mm] = 9 Der Abstand zum Mittelpunkt
> muss dem Radius entsprechen also 9
> [mm]\overline{BM}[/mm] = 9 ""
> HNF(M) = [mm]\pm9[/mm] 9 kann positiv oder
> negativ sein, da nicht vorgegeben ist auf welcher Seite der
> Ebene M liegen muss
>
> Das ergibt diese 3 Gleichungen:
>
> 1. [mm](x-1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-4)^{2}[/mm] = 81
> 2. [mm](x+1)^{2}+(y-5)^{2}+(z-6)^{2}[/mm] = 81
> 3. [mm]\bruch{2x-2y+z-3}{3}[/mm] = [mm]\pm9[/mm]
>
> durch auflösen dieses Gleichungssystems habe ich erhalten:
>
> M1 (-5/6/-2) und M2 (-2/9/-2)
>
>
> ist das falsch?
Ich hab's nicht nachgerechnet, aber der *Rechenweg* ist richtig.
> wiso erhalte ich keine Lösung wenn ich in der 3. Gleichung
> +9 einsetze ? ist das logisch?
Ja:
>> 1.1. Beweisen Sie: A und B liegen auf derselben Seite von $ [mm] \varepsilon. [/mm] $
>> 1.2. Berechnen Sie die Koordinatengleichung der Mittelnormalebene von $ [mm] \overline{AB}. [/mm] $
Die Ebene ist die Menge aller Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind.
Die Menge aller Punkte, die eine Entfernung von 9 zu A und B haben, ist ein Kreis auf dieser Ebene. (Wegen Rotationssymmetrie)
>>1.3. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung jener Parallelebene zu $ [mm] \varepsilon [/mm] $ im Abstand 9, welche auf derselben Seite von $ [mm] \varepsilon [/mm] $ liegt wie der Punkt A.
Diese Ebene ist die Menge aller Punkte, die von der Ebene [mm] \varepsilon [/mm] um 9 entfernt sind.
>> 1.4 Eine Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r=9 gehe durch die Punkte A und B und berühre die Ebene $ [mm] \varepsilon. [/mm] $
Die Mittelpunkte müssen also sowohl auf dem Kreis aus 1.2 als auch auf der Ebene aus 1.3 liegen. D.h. Du kriegst entweder 0 (die beiden schneiden sich nicht), 1 (die Ebene enthält eine Tangente des Kreises), 2 (die Ebene schneidet den Kreis irgendwo sonst) oder unendlich viele (der Kreis liegt in der Ebene) Schnittpunkte.
> die zwei Lösungen habe ich für -9 erhalten.
Was Du in Deiner 3. Gleichung berechnest sind die beiden parallelen Ebenen zu [mm] \varepsilon, [/mm] die eine Entfernung von 9 zu [mm] \varepsilon [/mm] haben. Die für +9 liegt auf der einen Seite von [mm] \varepsilon, [/mm] die für -9 auf der anderen. M muß auf der liegen, die auf der gleichen Seite wie A und B ist, weil sonst die beiden Punkte nicht auf der Kugel um M liegen könnten.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Aber das war ja bereits gemäß Aufgabenstellung vorgegeben. Da müsstest Du schon Deinen Rechenweg posten ...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du sollst ja eine Parallelebene zu [mm] $\varepsilon [/mm] \ : \ 2x-2y+z-3 \ = \ 0$ bilden, und nicht zur Mittelnormalebene zwischen $A_$ und $B_$ .
