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Forum "Geraden und Ebenen" - Ebenen identisch
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Ebenen identisch: Vorgehensweise,Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mi 20.01.2010
Autor: BlackSalad

Aufgabe
Sind die Ebenen identisch?

E1:(1,2,-3)+r1*(2,3,1)+s1*(-2,3,3)
E2: (1,6,-1)+r2*(4,6,2)+s2*(2,6,4)

Hallo,

ich bin mir unsicher wie genau ich jetzt vorgehen muss. Es gibt wahrscheinlich relativ viele Möglichkeiten auf die Lösung zu kommen, aber ich würde doch gerne den schnellsten Weg lernen.

Ich würde jetzt testen, ob die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind (also ob die Ebenen parralel sind) und (nur wenn sie linear abhängig sind) dann den Stützvektor der Ebene 1 mit der Ebenengleichung der Ebene 2 gleichsetzen.


Kann man das so machen?

Gibt es noch eine bessere Methode?
Vielleicht über die Normalenvektoren? Diese nehmen und dann schauen ob die linearabhängig sind ?

        
Bezug
Ebenen identisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Mi 20.01.2010
Autor: M.Rex


> Sind die Ebenen identisch?
>  
> E1:(1,2,-3)+r1*(2,3,1)+s1*(-2,3,3)
>  E2: (1,6,-1)+r2*(4,6,2)+s2*(2,6,4)
>  Hallo,
>  
> ich bin mir unsicher wie genau ich jetzt vorgehen muss. Es
> gibt wahrscheinlich relativ viele Möglichkeiten auf die
> Lösung zu kommen, aber ich würde doch gerne den
> schnellsten Weg lernen.
>
> Ich würde jetzt testen, ob die beiden Richtungsvektoren
> linear abhängig sind (also ob die Ebenen parralel sind)
> und (nur wenn sie linear abhängig sind) dann den
> Stützvektor der Ebene 1 mit der Ebenengleichung der Ebene
> 2 gleichsetzen.
>  
>
> Kann man das so machen?

Man kann. Es ist aber sehr umständlich.

>  
> Gibt es noch eine bessere Methode?
>  Vielleicht über die Normalenvektoren? Diese nehmen und
> dann schauen ob die linearabhängig sind ?

Das ist der elegantere Weg. Und der fehlervermeidbarere.
Ausserdem: Wenn du zwei Ebenen in Normalenform hast, also [mm] E_{1}:\vec{n_{1}}*\vec{x}=d_{1} [/mm] und [mm] E_{2}:\vec{n_{2}}*\vec{x}=d_{2} [/mm]
gilt folgendes:
Ist [mm] \vec{n_{1}}\parallel\vec{n_{2}} [/mm] gilt: [mm] E_{1}\parallel E_{2} [/mm]
Wenn zusätzlich [mm] d_{1}=d_{2}, [/mm] gilt sogar: [mm] E_{1}=E_{2} [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
Ebenen identisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mi 20.01.2010
Autor: BlackSalad

Danke für die Antwort.

Wie genau muss ich denn da nun vorgehen, wenn ich es mit Hilfe der Normalenvektoren machen will?


Wie bekomme ich denn jetzt aus der Paramterform den Normalenvektor?

Und wenn ich dann geprüft hab ob sie linear abhängig sind, was mache ich dann? Dann weiß ich ja, dass sie parallel sind, aber immer noch nicht ob sie identisch sind.

Liebe Grüße und Danke

Bezug
                        
Bezug
Ebenen identisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mi 20.01.2010
Autor: M.Rex

Hallo

der schnellste Weg, einen Normalenvektor zu einer Ebene [mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\vec{u}+\mu*\vec{v} [/mm] zu finden, ist das MBKreuzprodukt der beiden Spannvektoren, aolso: [mm] \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}. [/mm]
Das für die Normalenform der Ebene bestimmst du dann mit dem MBSkalarprodukt aus dem eben bestimmten Normalenvektor und dem Stützvektor, also d [mm] d=\vec{n}*\vec{a}. [/mm]

Was du mit den dann gewonnenen Normalenvektor und den Wert für d anfangen kannst, habe ich dir ja in der ersten Antwort geschrieben.

Marius

Bezug
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