Ebenen in Normalenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Di 14.07.2009 | | Autor: | waki |
| Aufgabe | Gegeben seien die Ebene E durch die Punkte A (1/1/0), B (11/11/8), C (7/7/6) sowie die Gerade g durch die Punkte P (0/2/8) und Q (3/4/6)
a) Geben sie eine Normalengleichung der Ebene E an. |
Stützvektor a (1/1/0), Normalenvektor n (x/y/z)
(x/y/z) * (11/11/8) = 0 , (x/y/z) * (7/7/6) = 0
1: 11x + 11y + 8z = 0
2: 7x+ 7y + 6z = 0
3: 1-2: [mm] 1\bruch{1}{4}x [/mm] + [mm] 1\bruch{1}{4}y [/mm] = 0
z wird frei gewählt: z=C
...?
Meine Frage: Wie kommt man hier weiter? Ich komme nicht auf y und z die man für die Normalengleichung braucht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 14.07.2009 | | Autor: | statler |
Hallo hallo hallo!
> Gegeben seien die Ebene E durch die Punkte A (1/1/0), B
> (11/11/8), C (7/7/6) sowie die Gerade g durch die Punkte P
> (0/2/8) und Q (3/4/6)
>
> a) Geben sie eine Normalengleichung der Ebene E an.
> Stützvektor a (1/1/0), Normalenvektor n (x/y/z)
>
> (x/y/z) * (11/11/8) = 0 , (x/y/z) * (7/7/6) = 0
Schtoppschtoppschtopp! Der Normalenvektor der Ebene steht nicht auf den Ortsvektoren der beiden anderen Punkte senkrecht (dann ginge die Ebene durch den Ursprung), sondern auf [mm] \vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{AC}.
[/mm]
> 1: 11x + 11y + 8z = 0
> 2: 7x+ 7y + 6z = 0
>
> 3: 1-2: [mm]1\bruch{1}{4}x[/mm] + [mm]1\bruch{1}{4}y[/mm] = 0
>
> z wird frei gewählt: z=C
> ...?
>
> Meine Frage: Wie kommt man hier weiter? Ich komme nicht auf
> y und z die man für die Normalengleichung braucht...
x und y kannst du dann hofffentlich durch z ausdrücken, und fertig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 14.07.2009 | | Autor: | waki |
Wieso kann es nicht sein, dass die Ebene durch den Ursprung geht?
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> Wieso kann es nicht sein, dass die Ebene durch den Ursprung
> geht?
Hallo,
in deinem Fall geht die Ebene tatsächlich durch den Ursprung.
Das ist aber im Angesichte der drei Punkte A (1/1/0), B (11/11/8), C (7/7/6) zunächst überhaupt nicht klar, oder siehst Du das auf einen Blick?
Generell bekommt man den Normalenvektor mithilfe der Richtungsvektoren, und da Du Dich entschieden hast, den Ortsvektor zu A als Stützvektor zu nehmen, müßtest Du nun erstmal die Verbindungsvektoren zwischen A und B bzw. C ausrechnen.
Hier hast Du Glück, weil zufällig Deine Ebene durch durch den Nullpunkt geht - wäre Dir das klar gewesen, hättest Du aber vermutlich nicht den Ortsvektor zu A als Stützvektor genommen...
Wie Du allerdings auf die 3. Deiner Gleichungen kommst, ist mir nicht klar.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:48 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Danke für die Tipps aber ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Kann mir jemand die Aufgabe weiterrechnen?
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Hallo waki!
"vorrechnen" ist nicht im Sinne dieses Forums.
Bestimme aus den gegebenen Punkten die beiden Richtungsvektoren [mm] $\vec{r}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{r}_2$ [/mm] der Ebene.
Entweder berechnest Du anschließend das  Vektorprodukt dieser beiden Vektoren und hast damit einen Normalenvektor.
Oder Du stellst ein Gleichungssystem mittels Skalarprodukt auf, da gelten muss:
[mm] $$\vec{r}_1*\vec{n} [/mm] \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{ und } [/mm] \ \ \ [mm] \vec{r}_2*\vec{n} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Die Richtungsvektoren ermittelt man indem man:
A(1/1/0) - B (11/11/8) rechnet, oder? Woher weiß man welchen Punkt man mit welchem subtrahieren muss?
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> Die Richtungsvektoren ermittelt man indem man:
>
> A(1/1/0) - B (11/11/8) rechnet, oder?
Hallo,
das wäre dann [mm] \overrightarrow{BA}.
[/mm]
(Nehmen kannst Du den. Üblicherweise verwendet man für die Parameterform [mm] \overrightarrow{AB})
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Ok, dann rechne ich B-A.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Einen Richtungsvektor habe ich jetzt ermittelt:
Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{AB}= [/mm] (10/10/8)
Jetzt braucht man noch einen Richtungsvektor, kann man dann einfach C - B rechnen um den zweiten zu ermitteln?
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> Einen Richtungsvektor habe ich jetzt ermittelt:
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> Richtungsvektor [mm]\overrightarrow{AB}=[/mm] (10/10/8)
>
> Jetzt braucht man noch einen Richtungsvektor, kann man dann
> einfach C - B rechnen um den zweiten zu ermitteln?
Hallo,
man kannmeist so vieles tun, und mit C-B kämest Du hier tatsächlich zum Ziel,
genau wie Du zuvor auch mit A-B zum Ziel gekommen wärest.
Aber normalerweise stellt man die Parametergleichung der Ebene aus drei Punkten [mm] P_1, P_2, P_3 [/mm] so auf:
[mm] \vex{x}=\overrightarrow{0P_1} +\lambda\overrightarrow{P_1P_2}+\mu\overrightarrow{P_1P_3}, [/mm] und die vektoren hinter den griechischen Buchstaben snd dann die Richtungsvektoren.
Ich würde jetzt, da Du Dich in Deinem Post für den Stützvektor [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] entschieden hattest, entsprechend als Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] nehmen.
WICHTIG: Das, was Du vorhast, ist nicht überhaupt nicht verkehrt, aber gerade, wenn man der Sache vielleicht nicht 100%-tig gewachsen ist, ist es oft gut, wenn man sich an eine feste Vorgehensweise hält, die dann im Ernstfall "sitzt". Deshalb mein Hinweis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Ich habe jetzt weitergerechnet, stoße aber wieder auf ein Problem:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = (10/10/8)
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = (-4/-4/2)
(x/y/z) * (10/10/8) = 0 , (x/y/z) * (-4/-4/-2) = 0
1: 10x + 10y +8z = 0
2: -4x -4y -2z = 0 /Gleichung mal 2,5
1: 10x + 10y +8z = 0
2: -10x -10y -5z = 0
3: 1+2 = 3z = 0
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich hier das x und das y isolieren kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 15.07.2009 | | Autor: | statler |
> Ich habe jetzt weitergerechnet, stoße aber wieder auf ein
> Problem:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = (10/10/8)
>
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = (-4/-4/2)
>
>
> (x/y/z) * (10/10/8) = 0 , (x/y/z) * (-4/-4/-2) = 0
>
> 1: 10x + 10y +8z = 0
> 2: -4x -4y -2z = 0 /Gleichung mal 2,5
>
>
> 1: 10x + 10y +8z = 0
> 2: -10x -10y -5z = 0
>
> 3: 1+2 = 3z = 0
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich hier das x
> und das y isolieren kann.
Jetzt hast du den Käse! Hier kannst du das z nicht frei wählen, das ist nämlich = 0. Aber du kannst x (oder y) frei wählen. Aber natürlich nicht beide  !
Du bist nahe dran.
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Ich habe die Aufgabe jetzt so weitergerechnet:
x wird frei gewählt: x = C
Damit folgt aus 2: -10C -10y = 0 /+10y
-10C = 10y
--> -1 = y
z = 0
n (Normalenvektor mit einem Pfeil drüber) = (C/-1/0) ; n = (2C/ -2/ 0), für C = 2
Normalengleichung von E:
E: (x (mit Pfeil drüber) - (1/1/0)) * (2C/-2/0) = 0
Kann mir jemand sagen ob meine Rechnung stimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mi 15.07.2009 | | Autor: | statler |
> Ich habe die Aufgabe jetzt so weitergerechnet:
>
> x wird frei gewählt: x = C
>
> Damit folgt aus 2: -10C -10y = 0 /+10y
> -10C = 10y
> --> -1 = y
y = -c
> z = 0
>
> n (Normalenvektor mit einem Pfeil drüber) = (C/-1/0) ; n =
> (2C/ -2/ 0), für C = 2
[mm] \vec{n} [/mm] = (c/-c/0)
[mm] \vec{n} [/mm] = (2/-2/0) für c = 2
> Normalengleichung von E:
>
> E: (x (mit Pfeil drüber) - (1/1/0)) * (2C/-2/0) = 0
Folgefehler!
> Kann mir jemand sagen ob meine Rechnung stimmt?
Ich habe nicht den Eindruck, daß dir so völlig klar ist, was du hier tust. Und dein Umgang mit Gleichungen zeigt auch noch ein paar Schwachstellen.
Übung macht den Meister.
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo waki!
Wenn Dir trotz Antwort(en) noch etwas unklar sein sollte, stelle bitte konkrete Fragen ... und nicht einfach die Frage wieder kommentarlos auf "unbeantwortet" verstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Ich verstehe immer noch nicht wie ich konkret auf x und y komme. Ich kriege lediglich für z ein Ergebniss raus:
z wird frei gewählt z = C
Damit folgt aus Gleichung 3: Gleichung 1 - Gleichung 2
--> [mm] 1\bruch{1}{4}x [/mm] + [mm] 1\bruch{1}{4}y [/mm] = 0
Und hier komme ich dann nicht weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 15.07.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Rückfrage
> Ich verstehe immer noch nicht wie ich konkret auf x und y
> komme. Ich kriege lediglich für z ein Ergebniss raus:
>
> z wird frei gewählt z = C
>
> Damit folgt aus Gleichung 3: Gleichung 1 - Gleichung 2
> --> [mm]1\bruch{1}{4}x[/mm] + [mm]1\bruch{1}{4}y[/mm] = 0
>
> Und hier komme ich dann nicht weiter...
Das stimmt doch so nicht! Gl. 1 - Gl. 2 gibt nicht Gl. 3. Du mußt die Beiden Gln. 1 und 2 vorher noch mit geeigneten Faktoren multiplizieren, damit eine Variable entfällt. Normalerweise versucht man, die erste, also das x, loszuwerden.
Andere Variante, vielleicht deine: Du setzt für z eine konkrete Zahl ein: z = 7. Dann hast du nur noch 2 Gln. mit 2 Unbek. Als Lösung kriegst du dann einen Normalenvektor mit z-Koordinate 7, wenn es überhaupt so einen gibt. Wenn nicht, kriegst du ein unlösbares GLS.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 15.07.2009 | | Autor: | waki |
Es kann also in dem Fall auch ein unlösbares LGS geben? Dann hätte die Aufgabe keine Normalengleichung... Kann aber glaube ich nicht sein, weil es weitere Teilaufgaben gibt, z.B:
b) Bestimmen sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E sowie den Schnittwinkel.
Dafür braucht man dann aber die Normalengleichung oder?
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> Es kann also in dem Fall auch ein unlösbares LGS geben?
Hallo,
es gibt unlösbare lineare Gleichungssysteme.
"Dein Fall" jedoch ist lösbar, (sonst hättest Du ja eine Ebene ohne Normalenvekor...), und Du solltest es nun mal lösen.
Wie es geht, hat Dir Dieter ja gesagt.
Gruß v. Angela
> Dann hätte die Aufgabe keine Normalengleichung... Kann
> aber glaube ich nicht sein, weil es weitere Teilaufgaben
> gibt, z.B:
>
> b) Bestimmen sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der
> Ebene E sowie den Schnittwinkel.
>
> Dafür braucht man dann aber die Normalengleichung oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mi 15.07.2009 | | Autor: | statler |
> Es kann also in dem Fall auch ein unlösbares LGS geben?
Das habe ich so nicht gesagt, ich habe gesagt, wenn du einfach z = 7 setzt, kann das dann entstehende GLS unlösbar sein. Weil es nicht klar ist, daß du gerade z frei wählen kannst!
Gruß
Dieter
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