Ebenen in Param.-Form zeichnen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Zeichnen Sie die Ebene:
E: x = [mm] \vektor{1\\2\\3}+r\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{3\\4\\5} [/mm] |
Hi!
Wir müssen gerade Ebenen zeichnen. Dazu oben die Beispielaufgabe. Laut Abiturrichtlinien müssen Ebenen so gezeichnet werden, dass man jeweil einen Punkt auf jeder Achse ausrechnet und diese zu einem Dreieck verbindet. Also z.B. [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = 0 setzt und schaut wie [mm] x_3 [/mm] dann liegt, sodass die Ebenen gleichung erfüllt ist.
Diese recht einfachere Methode geht leider nur mit Ebenen in Koordinatenform und nicht in der Parameterform. Darum muss man die Parameterform immer erst in die Koordinatenform bringen.
Da bin ich leider etwas zu faul für (*g*), daher meine Frage: Gibt es da auch einen anderen Weg die gesuchten Punkte herauszufinden und wenn ja wie lautet dieser?
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> Zeichnen Sie die Ebene:
> E: x =
> [mm]\vektor{1\\2\\3}+r\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{3\\4\\5}[/mm]
> Hi!
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> Wir müssen gerade Ebenen zeichnen. Dazu oben die
> Beispielaufgabe. Laut Abiturrichtlinien müssen Ebenen so
> gezeichnet werden, dass man jeweil einen Punkt auf jeder
> Achse ausrechnet und diese zu einem Dreieck verbindet. Also
> z.B. [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = 0 setzt und schaut wie [mm]x_3[/mm] dann liegt,
> sodass die Ebenen gleichung erfüllt ist.
> Diese recht einfachere Methode geht leider nur mit Ebenen
> in Koordinatenform und nicht in der Parameterform. Darum
> muss man die Parameterform immer erst in die
> Koordinatenform bringen.
> Da bin ich leider etwas zu faul für (*g*), daher meine
> Frage: Gibt es da auch einen anderen Weg die gesuchten
> Punkte herauszufinden und wenn ja wie lautet dieser?
also wenn du den schnittpunkt auf ner achse haben willst, zB. z-achse brauchst du ja den ansatz:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\z}=\vektor{1\\2\\3}+r\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{3\\4\\5}
[/mm]
mit der 1. + 2. zeile kriegst du ja folgende gleichungen:
0=1+r+3s
0=2+2r+4s
diese auflösen und dann ist
z=3+3r+5s mit den berechneten variablen von oben
sieht für mich nach mehr aufwand aus als über normalenform -> kartesische zu gehen?!
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> Zeichnen Sie die Ebene:
> $\ E:\ x\ =\ [mm] \vektor{1\\2\\3}+r\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{3\\4\\5} [/mm] $
> Hi!
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> Wir müssen gerade Ebenen zeichnen. Dazu oben die
> Beispielaufgabe. Laut Abiturrichtlinien müssen Ebenen so
> gezeichnet werden, dass man jeweil einen Punkt auf jeder
> Achse ausrechnet und diese zu einem Dreieck verbindet. Also
> z.B. [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = 0 setzt und schaut wie [mm]x_3[/mm] dann liegt,
> sodass die Ebenen gleichung erfüllt ist.
> Diese recht einfache Methode geht leider nur mit Ebenen
> in Koordinatenform und nicht in der Parameterform. Darum
> muss man die Parameterform immer erst in die
> Koordinatenform bringen.
> Da bin ich leider etwas zu faul für, daher meine
> Frage: Gibt es da auch einen anderen Weg die gesuchten
> Punkte herauszufinden und wenn ja wie lautet dieser?
Hallo Pille,
die beschriebene Methode mit den drei Achsenschnitt-
punkten wird in diesem Beispiel ohnehin schief gehen,
da diese Ebene alle drei Achsen im selben Punkt, nämlich
in O(0/0/0) schneidet. Das kann man erkennen, wenn
einem auffällt, dass der Stützvektor identisch mit dem
ersten Spannvektor ist.
Du hast also vorerst nur den Punkt O und brauchst dann
z.B. noch irgendeinen weiteren Punkt in mindestens
zwei der Koordinatenebenen. Für einen Punkt P in der
x-y-Ebene berechnest du also zum Beispiel den Spur-
punkt der Geraden
$g: x\ =\ [mm] \vektor{1\\2\\3}+s\vektor{3\\4\\5}$
[/mm]
in der x-y-Ebene, also mit z=0. Dasselbe dann z.B.
nochmals für einen Spurpunkt in der y-z-Ebene.
Nebenbei bemerkt: Für eine übersichtliche Zeichnung
im üblichen 3D-Koordinatensystem liegt die Ebene
denkbar ungünstig !
LG Al-Chw.
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