matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLängen, Abstände, WinkelEbenen und Schnittwinkel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Ebenen und Schnittwinkel
Ebenen und Schnittwinkel < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Längen, Abstände, Winkel"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ebenen und Schnittwinkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Di 05.09.2006
Autor: evilmaker

Aufgabe
Gibt fuer die Ebenen E1 und E2 Koordinatengleichungen an. Unter welchem Winkel Alpha schneiden sich E1 und E2 laengs der Dachkehle BE?

Hi, also langsam bin ich am Verzweifeln.
Mit Matrizen und anderen Sachen hatte ich nie Probleme aber Vektoren im Allgemeinen machen mir bei "komplizierteren" Aufgaben echte Probleme. Es faengt schon an mit der Ebenengleichung 1:

Folgende drei Punkte liegen in der Ebene:

B ( 12 | 12 | 8 ) ; E ( 6 | 6 | 12 ) ; A ( 32 | 12 | 8 )

So ... danach habe ich die Ebenengleichung in Paramterform gebildet:

x = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} 26 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm]

Sollte soweit richtig sein. Da aber nach der Koordinatenform gefragt wurde, habe ich mittels Vektorprodukt den Normalenvektor zwischen den beiden letzten Vektoren (Spannvektoren nennt man die, richtig?) gebildet:

[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -80 \\ -120 \end{pmatrix} [/mm]

Das ergibt die Koordinatengleichung:

-80x2 - 120x3 + d = 0

Um d auszurechnen habe ich [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix} [/mm] eingesetzt:

-80x2 - 120x3 + 1920 = 0 kam somit bei mir raus.

So erste Frage: Das Ergebnis auf dem Loesungsblatt ist:

2x2 + 3x3 = 48

Ich weiß, dass wenn ich meine Koordinatengleichung durch 40 rechne ich auf das Selbe komme, jedoch mit anderen Vorzeichnen. Meine Frage: Wie kommen diese Vorzeichnen zu stande? Warum sind sie anders rum und ist meine Gleichung somit falsch oder kann ich damit weiterrechnen? Muss ich die Ebenegleichung durch den groeßten gemeinsamen Teiler teilen oder kann ich es auch so stehen lassen und am Ende kommt trotzdem das Gleiche raus? Habe mich im Unterricht nicht getraut solche "stupiden" Fragen zu stellen ... man weiß ja wie die werten Mitschueler sind und man muss sich ja nicht selber ins "Aus" spielen.

So aber es geht ja noch weiter ... Ebenengleichung 2 ist an der Reihe:

B ( 12 | 12 | 8 ) ; E ( 6 | 6 | 1 ) ; C ( 12 | 20 | 8 )

Daraus ergibt sich fuer mich die Ebenengleichung:

x = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm]

Soweit so gut, also auf ein neues und mittels Vektorprodukt den Normalenvektor berechnet:

[mm] \begin{pmatrix} 32 \\ 0 \\ 47 \end{pmatrix} [/mm]

=> x = 32x1 + 48x3 + d = 0

Also wieder d ausgerechnet:

32 * 6 + 48 * 12 + d = 0 <=> d = -768

=> 32x1 + 48x3 - 768 = 0

So hier faengt das naechste Problem an. Die richtige Gleichung soll lauten: 2x1 + 3x3 = 48 (oder 12 ... beide Zahlen stehen auf dem Loesungsblatt O.o) ... wieder das Problem mit meinem viel zu hohen Zahlen... wieder die selben Fragen wie vorhin.

Ich dachte mir: Nicht aufgeben! Das wird schon richtig sein und weiter zur Schnittwinkelberechnung:

cos alpha = [mm] \bruch{32 - 80 + 120 * 48}{\wurzel{-80^2 - 120^2} * \wurzel{32^2 + 48^2}} [/mm] = [mm] \bruch{-5808}{8320} [/mm]

=> alpha = cos^-1 [mm] (\bruch{-5808}{8320}) [/mm] = 104 noch was .. auf jedenfall falsch, denn laut Loesung soll: 46,1869° rauskommen.

Also das sind die groeßten Probleme, die ich mit Vektoren habe. Eigentlich bin ich sehr engagiert in Mathe und habe mit keinem anderen Thema Probleme, aber bei diesen Sachen krieg ich kurz gesagt irgendwas das wuergen, weil ich jedes mal an den selben Sachen scheitere und das demotiviert mich wirklich EXTREM.

Ich weiß, dass meine Frage sehr umfangreich ist und das alles eure Freizeit ist, doch ich hoffe, dass ich alles verstaendlich aufgeschrieben habe und ihr mir helfen koennt. Ich moecht mich jedenfalls schonmal im vorraus herzlichst bei euch bedanken! Ich weiß wie es ist, als Freiwilliger Feuerwehrmann etwas ohne Lohn zu leisten.

MFG Tim

        
Bezug
Ebenen und Schnittwinkel: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Di 05.09.2006
Autor: VNV_Tommy

Hallo Tim!

> Gibt fuer die Ebenen E1 und E2 Koordinatengleichungen an.
> Unter welchem Winkel Alpha schneiden sich E1 und E2 laengs
> der Dachkehle BE?
>  Hi, also langsam bin ich am Verzweifeln.
>  Mit Matrizen und anderen Sachen hatte ich nie Probleme
> aber Vektoren im Allgemeinen machen mir bei
> "komplizierteren" Aufgaben echte Probleme. Es faengt schon
> an mit der Ebenengleichung 1:
>  
> Folgende drei Punkte liegen in der Ebene:
>  
> B ( 12 | 12 | 8 ) ; E ( 6 | 6 | 12 ) ; A ( 32 | 12 | 8 )
>  
> So ... danach habe ich die Ebenengleichung in Paramterform
> gebildet:
>  
> x = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix}[/mm] + r *
> [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm] + s *
> [mm]\begin{pmatrix} 26 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Sollte soweit richtig sein. Da aber nach der
> Koordinatenform gefragt wurde, habe ich mittels
> Vektorprodukt den Normalenvektor zwischen den beiden
> letzten Vektoren (Spannvektoren nennt man die, richtig?)

Jo, richtig.

> gebildet:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -80 \\ -120 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Das ergibt die Koordinatengleichung:
>  
> -80x2 - 120x3 + d = 0
>  
> Um d auszurechnen habe ich [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix}[/mm]
> eingesetzt:
>  
> -80x2 - 120x3 + 1920 = 0 kam somit bei mir raus.
>  
> So erste Frage: Das Ergebnis auf dem Loesungsblatt ist:
>  
> 2x2 + 3x3 = 48
>  
> Ich weiß, dass wenn ich meine Koordinatengleichung durch 40
> rechne ich auf das Selbe komme, jedoch mit anderen
> Vorzeichnen.

Nö. Du kommst nicht auf das selbe, sondern auf etwas ähnliches. Dividier deine Koordinatenform doch einfach mal durch -40 und schau was du erhälst.

> Meine Frage: Wie kommen diese Vorzeichnen zu
> stande?

Die Koeffizienten in der Normalenform geben nichts weiter an, als den Normalenvektor der Ebene (also den Vektor, welcher immer senkrecht auf der Ebene steht). Haben deine Koeffizienten alle ein anderes Vorzeichen (und d dementsprechend ebenso) so bedeutet dies nichts anderes, als daß dein Normalenvektor anderes herum, also quasi auf dem 'Kopf', auf der Ebene steht.

> Warum sind sie anders rum und ist meine Gleichung
> somit falsch oder kann ich damit weiterrechnen?

Dont panic! ;-) Du kannst damit weiterrechnen.

> Muss ich
> die Ebenegleichung durch den groeßten gemeinsamen Teiler
> teilen oder kann ich es auch so stehen lassen und am Ende
> kommt trotzdem das Gleiche raus?

Es kommt das gleiche raus.

> Habe mich im Unterricht
> nicht getraut solche "stupiden" Fragen zu stellen ... man
> weiß ja wie die werten Mitschueler sind und man muss sich
> ja nicht selber ins "Aus" spielen.

Aber der 'ältere' Mensch vorn an der Tafel wird dafür bezahlt, daß er dir solche Fragen beantwortet. :-)

>  
> So aber es geht ja noch weiter ... Ebenengleichung 2 ist an
> der Reihe:
>  
> B ( 12 | 12 | 8 ) ; E ( 6 | 6 | 1 ) ; C ( 12 | 20 | 8 )
>  
> Daraus ergibt sich fuer mich die Ebenengleichung:
>  
> x = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix}[/mm] + r *
> [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm] + s *
> [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Soweit so gut, also auf ein neues und mittels Vektorprodukt
> den Normalenvektor berechnet:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 32 \\ 0 \\ 47 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> => x = 32x1 + 48x3 + d = 0
>  
> Also wieder d ausgerechnet:
>  
> 32 * 6 + 48 * 12 + d = 0 <=> d = -768
>  
> => 32x1 + 48x3 - 768 = 0
>  
> So hier faengt das naechste Problem an. Die richtige
> Gleichung soll lauten: 2x1 + 3x3 = 48 (oder 12 ... beide
> Zahlen stehen auf dem Loesungsblatt O.o) ... wieder das
> Problem mit meinem viel zu hohen Zahlen... wieder die
> selben Fragen wie vorhin.

Wieder die selbe Antwort wie vorhin. ;-)

>  
> Ich dachte mir: Nicht aufgeben! Das wird schon richtig sein
> und weiter zur Schnittwinkelberechnung:
>  
> cos alpha = [mm]\bruch{32 - 80 + 120 * 48}{\wurzel{-80^2 - 120^2} * \wurzel{32^2 + 48^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-5808}{8320}[/mm]
>  
> => alpha = cos^-1 [mm](\bruch{-5808}{8320})[/mm] = 104 noch was ..
> auf jedenfall falsch, denn laut Loesung soll: 46,1869°
> rauskommen.

Also der Nenner deiner Gleichung sieht gut aus. Hast du beachtet, daß imZähler nicht das Vektorprodukt, sondern das Skalarprodukt der Vektoren gefordert ist? So wie es aussieht hast du das Vektorprodukt benutzt. Das wäre dann nicht richtig. Versuch mal das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren und rechne nochmal, ob du dann auf die gewünschte Lösung kommst (habs selber noch nicht rechnen können, da ich quasi grad aufm Weg von der Arbeit nach Hause bin, hol ich aber gern nach, wenns nötig ist).

>  
> Also das sind die groeßten Probleme, die ich mit Vektoren
> habe. Eigentlich bin ich sehr engagiert in Mathe und habe
> mit keinem anderen Thema Probleme, aber bei diesen Sachen
> krieg ich kurz gesagt irgendwas das wuergen, weil ich jedes
> mal an den selben Sachen scheitere und das demotiviert mich
> wirklich EXTREM.

Nicht entmutigen lassen. Hier gilt wie so oft: Die Übung macht den Meister. So wie es scheint hast du die Grundlagen relativ gut drauf, was erstens zeigt, daß du grundlegendes Verständnis für Aufgaben der vektoriellen Art hast und zweitens Voraussetzung dafür ist höher strukturierte Probleme zu lösen. Die Vektorgeometrie kann man z.B. hervorragend mit Extremwertaufgaben kombinieren und dabei muss das Grundverständnis sitzen.

>  
> Ich weiß, dass meine Frage sehr umfangreich ist und das
> alles eure Freizeit ist, doch ich hoffe, dass ich alles
> verstaendlich aufgeschrieben habe und ihr mir helfen
> koennt. Ich moecht mich jedenfalls schonmal im vorraus
> herzlichst bei euch bedanken! Ich weiß wie es ist, als
> Freiwilliger Feuerwehrmann etwas ohne Lohn zu leisten.
>  
> MFG Tim

Gruß,
Tommy

Bezug
                
Bezug
Ebenen und Schnittwinkel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Di 05.09.2006
Autor: evilmaker

Vielen Dank Tommy :).
Tatsaechlich es war der Zaehler! Ich glaub ich hab mir zu viele Gedanken gemacht und den Wald vor lauter Baeume nicht mehr gesehen... *freu* aber jetzt hats funktioniert! SUPER! Vielen lieben dank!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Längen, Abstände, Winkel"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]