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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 17.01.2009 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1/1/-1), [mm] B_{t}(-1/2/2t+1) [/mm] und [mm] C_{t}(5/3t+1/-1) [/mm] gegeben, die die Ebenenschar [mm] E_{t} [/mm] bestimmen.
d). Es gibt zwei Ebenen, in der die Menge alle Punkte liegen, die von [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{0} [/mm] den gleichen Abstand habe. Ermitteln Sie die Koordinatengleichungen. |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe lösen, habe aber keine Ahnung wie. :(
Also ich habe für die Koordinatengleichungen von [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{0} [/mm] das raus:
[mm] E_{1}: 4x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = -7
[mm] E_{2}: -2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = -3
Ich müsste ja jetzt den Schnittpunkt zwischen den gesuchten Ebenen finden und der Ebene [mm] E_{1} [/mm] bzw. [mm] E_{0} [/mm] und dann die Hesse´sche Normalenform anwenden, oder? Ich hätte sonst keine Idee.
Aber ich habe keine Ahnung wie ich es tun soll. :(
Wäre sehr dankbar für die Hilfe
Liebe Grüße
sardelka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Gaby |
ich hatte die Frage falsch verstanden, die Lösung bzw der wichtige "Lösungshinweis" stehen weiter unten!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 17.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Aber, wenn es sich um 2 getrennte Ebenen handeln würde, dann würde dort nicht [mm] E_{1} [/mm] UND [mm] E_{0} [/mm] stehen, sondern [mm] E_{1} [/mm] bzw. [mm] E_{0}, [/mm] oder?
Aber, wenn es so ist wie du meinst, dann muss der Normalenvektor der gesuchten Ebene ein Vielfaches von der gegeben Ebene sein.
Dann wüsste ich aber auch nicht weiter, denn dann habe ich 3 Unbekannte, aber nur eine Gleichung. Oder soll ich da irgendwielche n´s einsetzen, aber so, dass die Gleichung aufgeht?
Vielen Dank)))
LG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Gaby |
naja über deinen Einwand habe ich auch naachgedacht. Da aber E1 und E2 beide durch den Punkt A laufen schneiden sie sich in A (genauer: in einer Geraden durch A).. das wiederrum heißt aber: ich kann keine Ebene finden, die zu beiden parallel ist, denn die beiden selbst sind nicht parallel zueinander.
bei der Findung einer parallelen zu E1 suchst du eine neue Ebene, deren Normalenvektor der gleiche wie E1 ist, die jedoch durch einen anderen Punkt geht... der Abstand der beiden Ebenen ist nicht vorgegeben. Entweder du lässt ihn als "Parameter" oder du legst ihn dir selbst fest.
Man beachte: der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Koordinatendarstellung. Das heißt: die neue Ebene hat die gleichen Koeffizienten vor X1, X2 und X3, jedoch ein anderes d! somit legst du dir entweder ein neues d fest oder du lässt d stehen und siehst es als Parameter.
Ich hoffe geholfen zu haben
viele Grüße
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:22 Sa 17.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Hmmm... nein, bin noch nicht so weit es selbstständig zu lösen :(
Das mit d ist mir natürlich alles klar, aber irgendwie habe ich, glaube ich, die Aufgabe immer noch nicht ganze verstanden.
Also für [mm] E_{neu1} [/mm] sieht es dann folgendermaßen aus:
[mm] 4x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = b
Der für [mm] E_{neu2} [/mm] so: [mm] -2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = c
Der Abstand zwischen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{neu1} [/mm] ist dann:
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 1} [/mm] und Punkt A(-1/1/-1)
d=|-9-b|: [mm] \wurzel{17}
[/mm]
Und bei [mm] E_{2} [/mm] und [mm] E_{neu2}:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 1} [/mm] und Punkt A(-1/1/-1)
d=|-3-c|: [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Jetzt muss ich die gleichsetzen, da der Abstand ja gleich groß ist.
Und jetzt?! Jetzt habe ich eine Gleichung mit 2 Unbekannten! -.- :(
Vielen Dank für die Hilfe
LG
sardelka
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:10 Sa 17.01.2009 | | Autor: | reverend |
Nein, Gaby, darum geht es hier nicht.
Die Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_0 [/mm] sind nicht parallel zueinander. Sie schneiden sich.
Der geometrische Ort aller Punkte, die von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben, ist zu keiner der beiden Ebenen parallel, sondern ist eine Ebene, die den Schnittwinkel zwischen beiden Ebenen genau halbiert.
Von diesen Ebenen aber gibt es nun zwei. Sie stehen senkrecht aufeinander.
Die beiden gesuchten Ebenen und [mm] E_0 [/mm] und [mm] E_1 [/mm] schneiden sich alle in einer einzigen Geraden.
lg,
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Gaby |
jetzt habe ich die Frage verstanden!
und zwar ist sie folgendermaßen:
die beiden Ebenen [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] laufen durch den Punkt A. das heißt von A aus betrachtet laufen beide Ebenen in einem unterschiedlichen Winkel auf A zu. Wenn du nun 2 neue Ebenen suchst, die zu [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] jeweils den gleichen Abstand haben, dann suchst du zwei Ebenen, die "in der Mitte" zwischen [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] liegen.. ich habe mal ein Bild gezeichnet um das zu verdeutlichen. Das schwarze sind die bekannten Ebenen, das rote die gesuchten, der Schnittpunkt ist A... Man schaut von "oben" auf die Ebenen drauf (das ist nicht zwangsläufig von der Z-Achse aus)...
[Dateianhang nicht öffentlich]
das heißt du weißt folgendes über deine neue Ebenen:
- sie gehen beide durch (die Schnittachse durch) A
- sie stehen beide Senkrecht aufeinander
- der Abstand von [mm] E_{neu1} [/mm] zu [mm] E_{1} [/mm] ist genauso groß die [mm] E_{neu1} [/mm] zu E{0} ... genauso für die andere neue Ebene
es würde also folgende Vorgehensweise zum Ziel führen:
- man berechne die Schnittachse von [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{0} [/mm] durch A
damit hat man einen Punkt (A) und eine Richtung (nämlich die Richtung der Schnittgeraden von A weg)
- dann normiere man beide Normalenvektoren und addiere sie
so bekommt man einen neuen Richtungsvektor, der zwangsläufig auf A hin oder genau von A weg zeigt -> er ist die 3. Information zur Bildung der Ebene, dann kannst du aus diesen Informationen die Parameterdarstellung von [mm] E_{neu1} [/mm] basteln.
- anschließend bestimme man den anderen Richtungsvektor, der sich durch Subtraktion der normierten Normalenvektoren ergibt... oder (sollte das gleiche Ergebnis geben) den Normalenvektor von [mm] E_{neu1}
[/mm]
damit hast du alle Informationen für [mm] E_{neu2} [/mm] zusammen und musst die Parametergleichung nur noch aufstellen
ich hoffe das funktioniert so, ich habe es nicht ausprobiert... wäre schön, wenn du eine Erfolgsmeldung hier posten könntest ;)
viele Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Sa 17.01.2009 | | Autor: | sardelka |
"- anschließend bestimme man den anderen Richtungsvektor, der sich durch Subtraktion der normierten Normalenvektoren ergibt... oder (sollte das gleiche Ergebnis geben) den Normalenvektor von $ [mm] E_{neu1} [/mm] $
damit hast du alle Informationen für $ [mm] E_{neu2} [/mm] $ zusammen und musst die Parametergleichung nur noch aufstellen "
Das habe ich nicht verstanden. :(
Das mit addieren... ja okej, wär ich zwar nie drauf gekommen, aber klingt gut.
Wenn ich die nun subtrahiere, dann kriege ich ja einfach den Gegenvektor von dem, den ich addieren habe.
Du sagtest ja, wenn das gleiche Ergebnis, so den Normalenvektor von [mm] E_{neu1}. [/mm] Hmmm.... wovon soll ich den subtrahieren? Von irgendeinem der Normalenvektoren [mm] n_{1} [/mm] oder [mm] n_{0}?
[/mm]
Und wie erstelle ich die Ebene. Ich habe jetzt so gemacht, ich habe den Vektor, den ich bei Addition von den Normalenvektoren rausbekommen habe, einfach zu der Schnittgeraden dazugeschrieben. So habe ich ja eine Ebene. Das ist doch richtig, oder?
Und ich habe total hässligen Richtungsvektor, wenn ich die beiden Normalenvektoren nomieren und dann addiere, nämlich so:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{4}{\wurzel{33}} \\ \bruch{-4}{\wurzel{33}} - \bruch{2}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{33}} + \bruch{1}{\wurzel{3}}}
[/mm]
Hässlich, oder? :D
Meine Schnittgerade:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] + r* [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Also, wie gehts weiter, wenn ich die [mm] E_{neu1} [/mm] habe, von was soll ich seinen Normalenvektor subtrahieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Gaby |
richtig, sieht blöd aus ;)
ja also die normierten Normalenvektoren [mm] n_{0} [/mm] und [mm] n_{1} [/mm] muss ich einmal addieren und einmal subtrahieren um die fehlenden Richtungsvektoren von [mm] E_{neu1} [/mm] und [mm] E_{neu2} [/mm] herauszubekommen... (z.b. [mm] \overrightarrow{a} \overrightarrow{b})
[/mm]
Die Ebenengleichung lautet dann (mit deiner Schnittgerade):
[mm] E_{neu1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1 \\ 0 \\ 6} [/mm] + [mm] s*\overrightarrow{a}
[/mm]
und
[mm] E_{neu2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] t*\vektor{- 1\\ 0 \\ 6} [/mm] + [mm] s*\overrightarrow{b}
[/mm]
ich habe mal ansatzweise nachgerechnet, ja, es kommen bei mir auch solche Werte raus.. wenn du aber die Normierung nicht durchführst, dann funktioniert die einfache Addition nicht...
einen kleinen Fehler habe ich entdeckt: der Betrag vom 2. Normalenvektor ist "Wurzel 5"...
viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Sa 17.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Ach ja, natürlich "Wurzel 5"))) Vielen Dank
Ja, also ich habe das jetzt auf diese Weise gemacht, nachvollziehen kann ich es leider noch nicht, werde es mir morgen anschauen, bin glaube ich langsam nicht mehr fähig. Sitze schon zu lange dran)))
Wenn ich noch fragen haben werde, werde ich sie morgen stellen.
Vielen vielen Dank nochmals!!!
Liebe Grüße und schönes WE
sardelka
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 18.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Ich bin´s wieder. Bin jetzt dabei die Aufgabe vollständig zu lösen, kann es aber immer noch nicht nachvollziehen.
Warum addiert man 2 Normaleneinheitsvektoren und erhält dadurch einen Richtungsvektor, der von A weg geht oder zu A hingeht?! Und dann ist es auch noch der Reichtungsvektor der neuen gesuchten Ebene [mm] E_{neu1} [/mm] bzw. [mm] E_{neu2}?
[/mm]
Vielen Dank
LG
sardelka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 So 18.01.2009 | | Autor: | Gaby |
ich habe dazu nocheinmal eine kleine Skizze gemacht
[Dateianhang nicht öffentlich]
die Vektoren n1 und n0 sind deine NormalenVektoren. Wenn du diese nun normierst und addierst, erhälst du den Vektor a (rot). Wenn du den nun als einen RichtungsVektor deiner neuen Ebene betrachtest, und ihn an den Punk A ansetzt, wird die neue Ebene zu beiden Ebenen [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] den gleichen Winkel, und damit den gleichen Abstand haben oder: du befindest dich "genau in der Mitte" zwischen [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1}. [/mm]
die Subtraktion von [mm] n_{1} [/mm] und [mm] n_{0} [/mm] ergibt dann den grünen Vektor b. Damit erzeugst du dir die 2. Ebene durch A. Auch sie wird zu [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{0} [/mm] den gleichen Abstand haben.
Die Normierung ist deswegen so wichtig, weil du sonst den einen Normalenvektor "stärker einbeziehst" als den anderen.. (hm ich kann das grad nicht in Worte fassen)
ich habe die obere Skizze noch beschriftet, damit du dir auch geometrisch vorstellen kannst, was du berechnest:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich hoffe es ist ein wenig klarer geworden...
viele Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 So 18.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Ja!!!!
Ich habe auch versucht vorhin die ganze Zeit die Normalenvektoren einzuzeichnen und zusammen zu addieren, aber ich habe es nicht hinbekommen den Vektor durch Addition so zu bekommen, dass es sich "in der Mitte" befindet. :(
Aber ich habe auch zuerst Skizze von Ebenen gemacht und dann Vektoren eingezeichnet.
Als ich(so wie du) erst Normalen eingezeichnet habe, hat alles perfekt funktioniert!
Vielen vielen Dank! Jetzt habe ich alles 1000000000% verstanden. :)
Liebe Grüße
sardelka
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