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Ebenengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Di 27.09.2022
Autor: Trikolon

Aufgabe
Die Punkte E(10|0|3),H(0|0|3),J(10|10|5),K(0|10|5) sind Eckpunkte des Rechtecks EJKH. In einer Ebene e liegt das durch die Punkte E, J, K, H begrenzte Rechteck. Bestimme die Parameter- und Normalengleichung dieser Ebene e.

Hallo,

meine Frage bezieht sich auf die Wahl der beiden Richtungsvektoren für die Parametergleichung. Wenn ich als Aufpunkt den Punkt E wähle, kann ich als Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{EJ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{EH}, [/mm] also zwei Seiten des Rechtecks EJKH, wählen.
Man erhält dann als einen Normalenvektor [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 5}. [/mm]

Ist es auch möglich als Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{EJ} [/mm] und  [mm] \overrightarrow{EK} [/mm] zu wählen, also eine Seite des Rechtecks und eine Diagonale?
Man erhält dann denselben Normalenvektor wie oben, was natürlich auch nur Zufall sein kann...

        
Bezug
Ebenengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Di 27.09.2022
Autor: chrisno


> ...  
> Ist es auch möglich als Richtungsvektoren
> [mm]\overrightarrow{EJ}[/mm] und  [mm]\overrightarrow{EK}[/mm] zu wählen,
> also eine Seite des Rechtecks und eine Diagonale?

ja

>  Man erhält dann denselben Normalenvektor wie oben, was
> natürlich auch nur Zufall sein kann...

Wenn Du den Normalenvektor über das Kreuzprodukt bestimmst, dann ist diese Gleicheit bei einem Rechteck kein Zufall. Die Länge der Komponente der Diagonale in Richtung der zweiten Seite entspricht genau der Länge dieser zweiten Seite.


Bezug
                
Bezug
Ebenengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Di 27.09.2022
Autor: Trikolon

Das bedeutet, wenn die Fläche kein Rechteck, sondern ein beliebiges Viereck wäre, würde dieses Vorgehen nicht funktionieren?

,,Die Länge der Komponente der Diagonale in Richtung der zweiten Seite entspricht genau der Länge dieser zweiten Seite.'' Diesen Satz verstehe ich nicht so wirlkich...

Bezug
                        
Bezug
Ebenengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Di 27.09.2022
Autor: chrisno


> Das bedeutet, wenn die Fläche kein Rechteck, sondern ein
> beliebiges Viereck wäre, würde dieses Vorgehen nicht
> funktionieren?

Probier es mit einem Parallelogramm aus.

>
> ,,Die Länge der Komponente der Diagonale in Richtung der
> zweiten Seite entspricht genau der Länge dieser zweiten
> Seite.'' Diesen Satz verstehe ich nicht so wirlkich...

Kannst Du etwas mit "Projektion" anfangen?

Sei [mm] $\vec{a}$ [/mm] der eine Vektor, [mm] $\vec{b}$ [/mm] der andere und [mm] $\vec{c}$ [/mm] das Ergebnis.
Dann gibt es beliebig viele Vektoren [mm] $\vec{d}$, [/mm] für die gilt  [mm] $\vec{a}$ [/mm] x  [mm] $\vec{d}$ [/mm] =  [mm] $\vec{c}$. [/mm]
(Das Kreuzprodukt ist nicht umkehrbar.)
Alle diese  [mm] $\vec{d}$ [/mm] haben mit  [mm] $\vec{b}$ [/mm] eines gemeinsam: in der von  [mm] $\vec{a}$ [/mm] und  [mm] $\vec{b}$ [/mm] aufgespannten Ebene ist ihre Komponente senkrecht zu [mm] $\vec{a}$ [/mm] gleich.


Bezug
                        
Bezug
Ebenengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mi 28.09.2022
Autor: HJKweseleit

3 Punkte im Raum, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bestimmen eine Ebene.

Von den angegebenen Punkten suchst du dir 3 aus, z.B. A, B und C und bestimmst dann mit [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] den Normalenvektor. (Nein, du musst vorher nicht überprüfen, ob die 3 Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, wenn sie das tun, bekommst du den Normalenvektor nicht heraus, daran merkst du es dann.)

Die 3 Punkte bilden ein Dreieck, und was sonst noch mit Hilfe der anderen Punkte an Gebilden entsteht (Quadrat, Rechteck, Stern, ...), ist bedeutungslos. Aber: Ob alle anderen Punkte in der selben Ebene liegen, ist damit überhaupt nicht gewährleistet. Das bekommst du nur heraus, indem du ihre Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzt.

Beispiel:

A(0|0|0), B(5|0|0), C(0|5|0), D(0|0|5)

A, B und C haben die z-Komponente 0, liegen somit in der x-y-Ebene (Ebenengleichung: z=0), D aber nicht. Ihre Verbindungsgeraden bilden die Kanten einer Dreieckspyramide mit 4 verschiedenen Ebenen, in denen die Grund- und Seitenflächen liegen.

Bezug
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