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Ebenengleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ebenengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Do 27.03.2008
Autor: headbanger

Aufgabe
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 &1 } [/mm] + t [mm] \pmat{-2 & 6 & 2 } [/mm]

h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0&1 } [/mm] + s [mm] \pmat{1 & -3 &-1} [/mm]

Begründen sie dass die Geraden in einer Ebene liegen. Geben sie eine Koordinatengleichung von E  an.

Ich hab bewiesen, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind.

dann habe ich den Stützpunkt von g mit h gleichgesetzt um zu beweisen, dass P nicht auf h liegt.

ich weiß allerdings nicht, wie man das LGS auswertet. ich habe für [mm] s_{1}=0, s_{2}=- [/mm] /bruch{2}{3} und [mm] s_{3}=0 [/mm]

wie lese ich das - was heißt das auf deutsch =)?

ich weiß nur, dass der punkt P nicht auf h liegt

--> beide Geraden liegen in einer Ebene.

dann die Richtungsvektoren aufgespannt:

einmal einer der Geraden --> sie sind ja l.u.

[mm] \pmat{1 & -3 &-1} [/mm]

und der Verbindungsvektor der Stützvektoren
[mm] \pmat{0 & 2 & 0} [/mm]

dann den normalenvektor ausgerechnet

--> die beiden oberen vektoren = 0

--> LGS

[mm] n_{1} [/mm] = 1, [mm] n_{2} [/mm] = 0 [mm] n_{3}=1 [/mm]

--> n= [mm] \pmat{1 & 0 &-1} [/mm]

ich weiß: Rohform einer Ebene sieht so aus:

[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = c

--> Vorfaktor von jedem "x" = Normalenordinate

--> [mm] x_{1}+ x_{3} [/mm] = c

dann weiß ich nicht mehr weiter.

die Lösung schlägt vor einfach einen den Punkt [mm] \pmat{ 1 & 2 &1 } [/mm] in die Gleichung einzusetzen.

--> Punkt ist ja in der Ebene --> Stützvektor

aber

dann hab ich laut Lösung

[mm] x_{1}- x_{3} [/mm] = 2

wie letze ich den Punkt ein?

und wieso steht da plötzlich ein Minus vor [mm] x_{3}? [/mm]

viele Grüße
Headbanger =)

        
Bezug
Ebenengleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:38 Do 27.03.2008
Autor: headbanger

Das mit dem Minus hab ich verstanden - hab  aus versehen statt "-1" in [mm] x_{3} [/mm] "+1" eingesetzt - deswegen auch das andere Ergebnis in der Lösung

Bezug
        
Bezug
Ebenengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Do 27.03.2008
Autor: MathePower

Hallo headbanger,

> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 &1 }[/mm] + t [mm]\pmat{-2 & 6 & 2 }[/mm]
>  
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0&1 }[/mm] + s [mm]\pmat{1 & -3 &-1}[/mm]
>  
> Begründen sie dass die Geraden in einer Ebene liegen. Geben
> sie eine Koordinatengleichung von E  an.
>  Ich hab bewiesen, dass die Richtungsvektoren linear
> abhängig sind.

[ok]

>  
> dann habe ich den Stützpunkt von g mit h gleichgesetzt um
> zu beweisen, dass P nicht auf h liegt.
>  
> ich weiß allerdings nicht, wie man das LGS auswertet. ich
> habe für [mm]s_{1}=0, s_{2}=-[/mm] /bruch{2}{3} und [mm]s_{3}=0[/mm]

>
> wie lese ich das - was heißt das auf deutsch =)?


Da [mm]s_{1}=s_{3} \not= s_{2}[/mm]  liegt der Stützpunkt von g nicht auf der Geraden h.

Gilt dagegen [mm]s_{1}=s_{2}=s_{3}[/mm] so liegt der Stützpunkt von g auf der Geraden h.


>  
> ich weiß nur, dass der punkt P nicht auf h liegt
>
> --> beide Geraden liegen in einer Ebene.
>  
> dann die Richtungsvektoren aufgespannt:
>  
> einmal einer der Geraden --> sie sind ja l.u.
>  
> [mm]\pmat{1 & -3 &-1}[/mm]

Das ist der Richtungsvektor der Geraden h

>  
> und der Verbindungsvektor der Stützvektoren
>   [mm]\pmat{0 & 2 & 0}[/mm]

Stützvektor von g minus Stützvektor von h

>  
> dann den normalenvektor ausgerechnet
>
> --> die beiden oberen vektoren = 0
>
> --> LGS
>  
> [mm]n_{1}[/mm] = 1, [mm]n_{2}[/mm] = 0 [mm]n_{3}=1[/mm]
>  
> --> n= [mm]\pmat{1 & 0 &-1}[/mm]


Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:

[mm]n= \pmat{1 & 0 & \red{+}1}[/mm]


>  
> ich weiß: Rohform einer Ebene sieht so aus:
>  
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = c
>  
> --> Vorfaktor von jedem "x" = Normalenordinate
>  
> --> [mm]x_{1}+ x_{3}[/mm] = c
>  
> dann weiß ich nicht mehr weiter.
>  
> die Lösung schlägt vor einfach einen den Punkt [mm]\pmat{ 1 & 2 &1 }[/mm]
> in die Gleichung einzusetzen.
>
> --> Punkt ist ja in der Ebene --> Stützvektor
>  
> aber
>  
> dann hab ich laut Lösung
>
> [mm]x_{1}- x_{3}[/mm] = 2
>  
> wie letze ich den Punkt ein?

Da Du von der Geraden h ausgehend, die Ebene gebildet hast, ist hier auch der Punkt [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] in die Ebenengleichung einzusetzen.

Die Ebenengleichung läßt sich auch so schreiben:

[mm]\left(\overrightarrow{x}-\pmat{1 \\ 0 \\ 1}\right) \* \pmat{1 \\ 0 \\ 1}=0[/mm]

>  
> und wieso steht da plötzlich ein Minus vor [mm]x_{3}?[/mm]

n= [mm]\pmat{1 & 0 &-1}[/mm],


Wie schon erwähnt, da hat sich ein Vorzeichenfehler bei der Berechnung des Normalenvektors eingeschlichen.


>  
> viele Grüße
>  Headbanger =)

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Ebenengleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 Do 27.03.2008
Autor: headbanger

vielen dank!

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