Ebenengleichung2Parameterdars. < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Wenn ich eine Ebenengleichung in der Form:
[mm]
Ax+By+Cz+D=0
[/mm]
habe. Wie bringe ich die in die Form:
[mm]
\vec r = \vec r_1 + \lambda\vec a + \mu\vec b
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 So 23.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich eine Ebenengleichung in der Form:
> [mm]
Ax+By+Cz+D=0
[/mm]
> habe. Wie bringe ich die in die Form:
>
> [mm]
\vec r = \vec r_1 + \lambda\vec a + \mu\vec b
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Variante 1:
Suche dir drei Punkte deiner Ebene aus und setze deren Koordinaten x, y, und z in Ax+By+Cz+D=0 ein.
Das sind zwar 3 Gleichungen und 4 Unbekannte (A, B, C und D), aber A, B, C und D sind sowieso nicht eindeutig bestimmt.
(Zum Beispiel beschreiben 3x+4y-7z+6=0 und 30x+40y-70z+60 die gleiche Ebene. Du kannst dir also für D auch noch irgendeinen Wert vorgeben, dann hast du nur noch 3 Unbekannte).
Variante 2:
Das Kreuzprodukt [mm] \vec{a} [/mm] x [mm] \vec{ b} [/mm] liefert sofort das Ergebnis [mm] \vektor{A \\B\\C}. [/mm] Durch Einsetzen der Koordinaten EINES Ebenenpunktes (z.B. der Punkt aus dem Stützvektor) erhältst du das zutreffende D.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Vielen Dank Abakus,
(kreuzprodukte hatten wir noch nicht.)
Aber wieso beschreiben die zwei Gleichungen ein und die selbe Ebene?
die aller erste Frage hab ich mir gestellt als ich die folgende Aufgabenstellung vor mir liegen hatte:
Ein Mast eines Zeltdaches wird druch das Dach und Abspannseile gehalten.
Eines der Seile greift am Punkt A(-9|-4|20) des Mastes an und soll aus Gründen der Statik die richtung des Vektors [mm]\vec r = \begin{pmatrix} 4\\0\\-6\end{pmatrix}[/mm] haben.
Das Seil trifft auf die schiefe Eben mit der Gleichung
[mm]3x_1 +x_2-x_3 = -6[/mm]
An welcher Stelle muss das Seil verankert werden?
Ich wollte die Parameterdarstellung weil im Buch erklärt wird wie man damit den Duruchstoßpunktberechnet. Ich würde das alles gerne verstehen im Moment kann ich nur sturr Beispiel rechnen... :(
ICH BITTE UM ENTSCHULDIGUNG!! leider vektor falsch 9 sollte eine -6 sein!
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank Abakus,
>
> (kreuzprodukte hatten wir noch nicht.)
>
> Aber wieso beschreiben die zwei Gleichungen ein und die
> selbe Ebene?
>
> die aller erste Frage hab ich mir gestellt als ich die
> folgende Aufgabenstellung vor mir liegen hatte:
>
> Ein Mast eines Zeltdaches wird druch das Dach und
> Abspannseile gehalten.
> Eines der Seile greift am Punkt A(-9|-4|20) des Mastes an
> und soll aus Gründen der Statik die richtung des Vektors
> [mm]\vec r = \begin{pmatrix} 4\\0\\9\end{pmatrix}[/mm] haben.
>
> Das Seil trifft auf die schiefe Eben mit der Gleichung
>
> [mm]3x_1 +x_2-x_3 = -6[/mm]
>
> An welcher Stelle muss das Seil verankert werden?
>
> Ich wollte die Parameterdarstellung weil im Buch erklärt
> wird wie man damit den Duruchstoßpunktberechnet. Ich würde
> das alles gerne verstehen im Moment kann ich nur sturr
> Beispiel rechnen... :(
Die Umwandlung der Parameter- in die Koordinatenform geht auch mit folgendem Weg:
Du hast ja eine Ebenengleichung mit x,y und z :
$ 3x +y-z =-6 $
Nun nutzt man einen "Trick", um r und s zu erhalten, wie du es aus der Parameterform kennst, man definiert einfach sinnvoll
x=r und y=s
Damit erhälst du für z:
$ z=6+3r+s $
Und nun kannst du die Parameterform direkt abschreiben, denn du weißt ja, dass die x-Koordinate z.B. der ersten Zeile der Parameterform entspricht, stimmts? Und da x=r sein soll, müssen die anderen Vektorkoordinaten 0 sein, d.h.:
$ [mm] E:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 6}+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
Damit hast du eine Möglichkeit der Parameterform. Diese Methode ist sehr praktisch und einfach und du kannst die immer passende Gleichungen bzw Beziehungen aussuchen, also auch x=2r etc.
|
|
|
| |
|
Danke!
Aber verstehen tu ich nichts. Man diese Vektoren bringen mich noch in Teufelsküche!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 23.11.2008 | | Autor: | janmoda |
hallo,
vielleicht hilft es die Sache mal von hinten anzugehen, um den zusammenhang zwischen Parameter- und Koordinatengleichung zu erfassen.
Ich Beschreibe den Weg mal an einer Beispielaufgabe.
Gesucht ist die Koordinatengleichung der Ebene [mm] E:\vec{x}=\vektor{2\\2\\0}+r\vektor{1\\1\\-1}+s\vektor{5\\-1\\-1} [/mm]
Lösung:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{2\\2\\0}+r\vektor{1\\1\\-1}+s\vektor{5\\-1\\-1}
[/mm]
Wir schreiben die vektorielle parametergleichung koordinatenweise auf und erhalten so die parametisierten Gleichungen I, II und III.
I x=2+r+5s
II y=2+r-s
III z= -r-s
Durch Kombination von I und II bzw. von I und III eliminieren wir den Parameter r. Wir erhalten zwei Gleichungen IV und V, die nur noch den Parameter s enthalten.
IV = I-II : x-y= 6s
V = I+III: x+z=2+4s
Durch die nochmalige Kombination - nun von IV und V - eliminieren wir auch noch den Parameter s.
VI = 2*IV - 3*V: -x-2y-3z=-6
Wir erhalten so die parameterfreie Koordinatengleichung VI, die wir durch Multiplikation mit -1 noch etwas verschönern
E: x+2y+3z=6
Die Koordinatengleichung macht es nun sehr einfach 3 Punkte der Ebene zu finden um sie bspw. zu zeichnen. Der Achsenabschnittspunkt der x-Achse hat ja die Gestalt A(x/0/0). Setzten wir nun in die Koordinatengleichung für y und z die 0 ein erhalten wir für x=6 und haben unseren ersten Punkt. Gleichsam lässt sich auch mit den zwei anderen Achsenabschnittspunkten verfahren: B(0/3/0) und C(0/0/2).
Aus den gewonnenen Punkten bzw. Vektoren sollte es dir nun ein leichtes sein wieder eine Parametergleichung der Ebene zu erstellen.
Besten Gruß
janmoda
|
|
|
|
