matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra / VektorrechnungEbenengleichung & 2Ebene
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Ebenengleichung & 2Ebene
Ebenengleichung & 2Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ebenengleichung & 2Ebene: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Fr 26.08.2005
Autor: dasIsa

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo, bitte dringend um Hilfe:
Habe folgende Aufgabe gegeben:
E1: x-y-z=2 dazu soll ich die Ebene ermitteln, die auf E1 senkrecht steht und durch die Punkte P1 (0/1/1) und P2 (2/-1/1) geht

dazu habe dann versucht E1 erst mal in die normale Ebenengleichung zu bringen:
P= [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] ; Q=  [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 0}; [/mm] R =  [mm] \vektor{0 \\ 0\\-2} [/mm]
weiß aber gar nicht ob das überhaupt so richtig ist...
demnach hätte ich dann aber für E1 raus:  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + u1 [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 0} [/mm] + u2 [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -2} [/mm]
Dies habe ich dann in die NF Form gebracht mit Kreuzprodukt E1: [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] [\vektor{-2 \\ -2 \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -2}] [/mm] = [mm] \vec{n} \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] und dann in die HNF Form gebracht: 1/ [mm] \wurzel{12} \vektor{2 \\ 2 \\ -2} \vec{x} [/mm] - 4/ [mm] \wurzel{12} [/mm]
danach habe ich den Punkt P1 für [mm] \vec{x} [/mm] eingesetzt und habe |-4| /  [mm] \wurzel{12} [/mm] und irgendwie habe ich jetzt überhaupt keine Ahnung, wie ich jetzt die Gleichung der zweiten Ebene bekomme :(
Bitte dringend um Hilfe!

Danke!!!!

        
Bezug
Ebenengleichung & 2Ebene: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Fr 26.08.2005
Autor: MathePower

Hallo dasIsa,

[willkommenmr]

>  Habe folgende Aufgabe gegeben:
>  E1: x-y-z=2 dazu soll ich die Ebene ermitteln, die auf E1
> senkrecht steht und durch die Punkte P1 (0/1/1) und P2
> (2/-1/1) geht
>  
> dazu habe dann versucht E1 erst mal in die normale
> Ebenengleichung zu bringen:

Die Überführung der Ebenengleichung zunächst in Parameterdarstellung und dann in Normalform ist etwas umständlich.

Es geht auch direkt:

[mm]E_{1} \;:\;\left( {\vec{x}\; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)} \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 1} \\ { - 1} \\ \end{array} } \right)\; = \;0 [/mm]

Wir wissen das die Punkte [mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{1}[/mm] auf der zweiten Ebene liegen sollen. Weiterhin soll diese Ebene senkrecht stehen auf obigen Ebene.

Nun bilden wir den Differenzvektor [mm]\vec{d} \; = \;P_{2} \; - \;P_{1}[/mm]. Dies ist zugleich ein Richtungsvektor der Ebene [mm]E_{2}[/mm].

Jetzt bestimmen wir einen zu [mm]\vec{d}[/mm] und [mm]\overrightarrow n[/mm] orthogonalen Vektor [mm] \overrightarrow{n_{2}}[/mm]. Diesen Vektor ermittelt man über das Kreuzprodukt [mm] \overrightarrow{n_{2}}\;=\;\vec{d}\;\times\;\vec{n}[/mm].

Nun das war's auch schon. Die Gleichung der zu [mm]E_{1}[/mm] senkrechten und durch [mm]P_{2},\;P_{1}[/mm] gehenden Ebene lautet demnach:

[mm]E_{2} \;:\;\left( {\vec{x}\; - \;\overrightarrow{p_{1}} } \right)\;\left( {\vec{d}\; \times \;\vec{n}} \right)\; = \;0[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Ebenengleichung & 2Ebene: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:49 Sa 27.08.2005
Autor: dasIsa

so weit so gut! Danke!

Allerdings habe ich die Ebenen nun in einer Form, mit der ich irgendwie nicht viel anfangen kann, wenn ich jetzt die Schnittgerade beider berechnen soll.. Wie stelle ich die denn jetzt um?
Hier die zwei erhaltenen Ebenengleichungen:

E1: (  [mm] \vec{x}- \vektor{2 \\ 0\\ 0}) [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ -1\\-1}) [/mm]
E2: (  [mm] \vec{x}- \vektor{0 \\ 1 \\1}) [/mm] ( [mm] \vektor{2 \\ 2 \\0}) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Ebenengleichung & 2Ebene: Parameterdarstellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Sa 27.08.2005
Autor: MathePower

Hallo dasIsa,

> so weit so gut! Danke!
>  
> Allerdings habe ich die Ebenen nun in einer Form, mit der
> ich irgendwie nicht viel anfangen kann, wenn ich jetzt die
> Schnittgerade beider berechnen soll.. Wie stelle ich die
> denn jetzt um?
>  Hier die zwei erhaltenen Ebenengleichungen:
>  
> E1: (  [mm]\vec{x}- \vektor{2 \\ 0\\ 0})[/mm] ( [mm]\vektor{1 \\ -1\\-1})[/mm]
>  
> E2: (  [mm]\vec{x}- \vektor{0 \\ 1 \\1})[/mm] ( [mm]\vektor{2 \\ 2 \\0})[/mm]
>  

der gangbare Weg, ist der, daß beide Ebenengleichungen in Parameterdarstellung überführt werden.

Eventuell reicht es auch schon eine Ebene in Parameterdarstellung zu überführen und in die andere Ebenengleichung einzusetzen.

Gruß
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Ebenengleichung & 2Ebene: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 So 28.08.2005
Autor: dasIsa


> der gangbare Weg, ist der, daß beide Ebenengleichungen in
> Parameterdarstellung überführt werden.

und wie geht das?
Gruß
Isa

Bezug
                                
Bezug
Ebenengleichung & 2Ebene: Erklärung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 28.08.2005
Autor: MathePower

Hallo dasIsa,

> > der gangbare Weg, ist der, daß beide Ebenengleichungen in
> > Parameterdarstellung überführt werden.
>  
> und wie geht das?

multipliziere die Ebenengleichung zunächst mal aus (Skalarprodukt):

[mm] \begin{gathered} E_1 :\;\left( {\overrightarrow x \; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)} \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 1} \\ 1 \\ \end{array} } \right)\; = \;0 \hfill \\ \Leftrightarrow \;x_{1} \; - \;x_{2} \; + \;x_{3} \; = \;2 \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Nun löse nach einer Variablen auf, hier z.B. [mm]x_{1}[/mm]:

[mm]x_{1} \; = \;2\; + \;x_{2} \; - \;x_{3} [/mm]

Setze nun [mm]x_{2} \; = \;u,\;x_{3} \; = \;v[/mm]

Dann folgt die Parameterdarstellung der Ebene [mm]E_{1}[/mm]:

[mm]\overrightarrow x \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)\; + \;u\;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)\; + \;v\;\left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)[/mm]

Diese Parameterdarstellung der Ebene [mm]E_{1}[/mm] kannst Du jetzt in die Ebenengleichung [mm]E_{2}[/mm] einsetzen und ausmultiplizieren. Dann nach u oder v auflösen. Die so gewonnene Gleichung wiederum in die  Parameterdarstellung der Ebene [mm]E_{1}[/mm] einsetzen und Du erhältst dann die Schnittgerade.

Gruß
MathePower



Bezug
        
Bezug
Ebenengleichung & 2Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Sa 27.08.2005
Autor: svenchen

es geht so ganz einfach:

Gegeben ist die Ebene E: x - y - z = 2

und die Punkte P (0 / 1 / 0) und P2 (2 / -1 / 1).

Gesucht ist die Ebene, die senkrecht zu E ist und durch P und P2 geht.

Das Problem kann auf das Aufstellen einer Ebene zurückgeführt werden, in der eine gegebene Gerade und 2 Punkte liegen.

Ein Richtungsvektor der Ebene muss der Normalenvektor von E sein, da die gesuchte Ebene senkrecht zu E stehen soll.

Einen weiteren Richtungsvektor erhältst du, wenn du den Richtungsvektor der Gerade durch P und Q berechnest:

g: [mm] \vec{x} [/mm]  =  [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] + t [mm] \vektor{0 - 2 \\ 1 - (-1) \\0-1} [/mm]
=  [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] + t [mm] \vektor{-2 \\ 2) \\-1} [/mm]

also ist die Ebene F: x =  [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] + l [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\-1} [/mm] + k [mm] \vektor{1 \\ -1 \\-1}. [/mm]


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]