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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 29.10.2006 | | Autor: | B-LaSh |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Ebenenschar
[mm] E_{t}: tx_{1}+(t-2)x_{2}+x_{3}-4=0 t\in\IR
[/mm]
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden g von [mm] E_{0 und E_{1}}.
[/mm]
b) Schneidet g die [mm] x_{3}-Achse?
[/mm]
c)Zeigen Sie, dass g in allen Ebenen der Schar enthalten ist.
d)Gibt es eine Ebene aus [mm] E_{t} [/mm] die zur [mm] x_{1}x_{2}-Ebene [/mm] senkrecht steht?
e) F sei die Ebene, die g enthält und zur [mm] x_{1}x_{2}-Ebene [/mm] senkrecht steht; geben Sie F in einer Parameterform und der Hesse-Farm an.
f) Der Punkt A(0/0/1) hat von den Ebenen der Schar den Abstand [mm] d_{A;E_{t}}. [/mm] Für welche(s) t wird dieser Abstand maximal? Wie groß ist er?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
So, habe schon einige Teile gelöst, wäre nett zu erfahren ob sie richtig sind. Hatte allerdings auch einige Probleme.
zu a) [mm] E_{0}= -2x_{2}+x_{3}-4=0
[/mm]
[mm] E_{1}= x_{1}-x_{2}+x_{3}-4=0
[/mm]
gibt als Lösung die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
zu b) [mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Beim gleichsetzen gibt es eine Lösung, r=2 und s=4, also schneiden sie sich.
zu c) [mm] E_{t}: tx_{1}+(t-2)x_{2}+x_{3}-4=0
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] x_{1}=2-r
[/mm]
[mm] x_{2}=-2+r
[/mm]
[mm] x_{3}=2r
[/mm]
t(2-r)+(t-2)*(-2+r)+2r-4=0
2t-tr-2t+tr+4-2r+2r-4=0
0=0
Da diese Gleichung unabhängig von t immer stimmt, liegt g in allen Ebenen der Schar.
zu d) [mm] E_{t}: tx_{1}+(t-2)x_{2}+x_{3}-4=0
[/mm]
[mm] F:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Normalenform von E: [mm] [\vec{x}-\vektor{0 \\ 0 \\ 4}]*\vektor{t \\ t-2 \\ 1}
[/mm]
Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] von F:
[mm] \vec{n}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0
[/mm]
[mm] \vec{n}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=0
[/mm]
daraus folgt: [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ m} m\in\IR
[/mm]
damit die Ebenen senkrecht sind, müssen ihre Normalenvektoren orthogonal sein.
also muss gelten:
[mm] \vektor{t \\ t-2 \\ 1}*\vektor{0 \\ 0 \\ m}=m=0
[/mm]
jetzt wäre aber [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
??? hier weiß ich nicht weiter...
zu e) hatte ich dann auch gar keine Idee...
zu f) A(0/0/1)
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+r*\vektor{t \\ t-2 \\ 1}
[/mm]
[mm] x_{1}=tr
[/mm]
[mm] x_{2}=tr-2r
[/mm]
[mm] x_{3}=1+r
[/mm]
in die Ebenengleichung eingesetzt ergibt:
[mm] r=\bruch{3}{2t^{2}-4t+5}
[/mm]
das ganze dann wieder in g einsetzen?
das gäbe doch nur etreme brüche, aber keine schöne Lösung...
auch hier weiß ich nicht weiter, hoffe jemand von euch kann mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 29.10.2006 | | Autor: | B-LaSh |
niemand dabei der mir helfen könnte? =(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 29.10.2006 | | Autor: | riwe |
soweit ich es sehe, stimmt alles.
ich habe etwas anders gerechnet und damit habe ich
g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\4}+s\vektor{-1\\1\\2}.
[/mm]
eine ebene, die nun g enthält und auf [mm] x_1x_2 [/mm] senkrecht ist, hat den normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{-1\\1\\2}\times\vektor{0\\0\\1}=\vektor{1\\1\\0}.
[/mm]
das ergibt dann [mm] x_1+x_2=0
[/mm]
und zu f) [mm] d=\mid\frac{1-4}{\sqrt{t^{2}+(t-2)^{2}+1}} \mid
[/mm]
und das ist ein maximum, wenn der nenner ein minimum wird, was für [mm] t=\frac{1}{2} [/mm] der fall ist, wie man durch differenzieren von f(t) [mm] 2t^{2}-2t+5 [/mm] erhält.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 So 29.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, riwe,
> soweit ich es sehe, stimmt alles.
> ich habe etwas anders gerechnet und damit habe ich
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{0\\0\\4}+s\vektor{-1\\1\\2}.[/mm]
> eine ebene, die nun g enthält und auf [mm]x_1x_2[/mm] senkrecht
> ist, hat den normalenvektor
> [mm]\vec{n}=\vektor{-1\\1\\2}\times\vektor{0\\0\\1}=\vektor{1\\1\\0}.[/mm]
> das ergibt dann [mm]x_1+x_2=0[/mm]
> und zu f) [mm]d=\mid\frac{1-4}{\sqrt{t^{2}+(t-2)^{2}+1}} \mid[/mm]
>
> und das ist ein maximum, wenn der nenner ein minimum wird,
> was für [mm]t=\frac{1}{2}[/mm] der fall ist, wie man durch
> differenzieren von f(t) [mm]2t^{2}-2t+5[/mm] erhält.
Ich krieg bei der letzten Aufgabe aber t=1 raus! Ich glaub', Du hast Dich bei der binomischen Formel beim gemischten Glied vertan!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 29.10.2006 | | Autor: | riwe |
hallo zwerglein,
ja da hast du natürlich recht, 4 statt 2 und du bist dabei! krr!
also t = 1
(aber der weg ist das ziel, ist immer eine gute ausrede, wenn man sich vertan hat!)
werner
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Hi, B-LaSh,
> Gegeben sei eine Ebenenschar
>
> [mm]E_{t}: tx_{1}+(t-2)x_{2}+x_{3}-4=0 t\in\IR[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden g von [mm]E_{0 und E_{1}}.[/mm]
>
> b) Schneidet g die [mm]x_{3}-Achse?[/mm]
>
> c)Zeigen Sie, dass g in allen Ebenen der Schar enthalten ist.
>
> d)Gibt es eine Ebene aus [mm]E_{t}[/mm] die zur [mm]x_{1}x_{2}-Ebene[/mm] senkrecht steht?
>
> e) F sei die Ebene, die g enthält und zur [mm]x_{1}x_{2}-Ebene[/mm]
> senkrecht steht; geben Sie F in einer Parameterform und der Hesse-Farm an.
>
> f) Der Punkt A(0/0/1) hat von den Ebenen der Schar den
> Abstand [mm]d_{A;E_{t}}.[/mm] Für welche(s) t wird dieser Abstand
> maximal? Wie groß ist er?
>
>
>
> So, habe schon einige Teile gelöst, wäre nett zu erfahren
> ob sie richtig sind. Hatte allerdings auch einige
> Probleme.
>
> zu a) [mm]E_{0}= -2x_{2}+x_{3}-4=0[/mm]
> [mm]E_{1}= x_{1}-x_{2}+x_{3}-4=0[/mm]
>
> gibt als Lösung die Gerade [mm]g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
Stimmt!
>
> zu b) [mm]g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Beim gleichsetzen gibt es eine Lösung, r=2 und s=4, also schneiden sie sich.
Richtig!
> zu c) [mm]E_{t}: tx_{1}+(t-2)x_{2}+x_{3}-4=0[/mm]
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=2-r[/mm]
> [mm]x_{2}=-2+r[/mm]
> [mm]x_{3}=2r[/mm]
>
> t(2-r)+(t-2)*(-2+r)+2r-4=0
> 2t-tr-2t+tr+4-2r+2r-4=0
> 0=0
>
> Da diese Gleichung unabhängig von t immer stimmt, liegt g
> in allen Ebenen der Schar.
Auch OK!
> zu d) [mm]E_{t}: tx_{1}+(t-2)x_{2}+x_{3}-4=0[/mm]
>
> [mm]F:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Normalenform von E: [mm][\vec{x}-\vektor{0 \\ 0 \\ 4}]*\vektor{t \\ t-2 \\ 1}[/mm]
>
> Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] von F:
>
> [mm]\vec{n}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0[/mm]
> [mm]\vec{n}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=0[/mm]
>
> daraus folgt: [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ m} m\in\IR[/mm]
Bereits [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ist ein Normalenvektor von F!
> damit die Ebenen senkrecht sind, müssen ihre Normalenvektoren orthogonal sein.
richtig!
> also muss gelten:
>
> [mm]\vektor{t \\ t-2 \\ 1}*\vektor{0 \\ 0 \\ m}=m=0[/mm]
>
> jetzt wäre aber [mm]\vec{n}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> ??? hier weiß ich nicht weiter...
Ganz einfach: Der Nullvektor ist natürlich kein brauchbarer Normalenvektor der x1x2-Ebene. Daher: Es gibt KEINE Ebene [mm] E_{t} [/mm] senkrecht auf dieser Koordinatenebene.
(Übrigens hast Du den Namen F für diese Ebene schlecht gewählt, denn in der nächsten Teilaufgabe ist F eine ganz andere Ebene!)
> zu e) hatte ich dann auch gar keine Idee...
F enthält g: Daher kannst Du die Parameterform von g direkt übernehmen; fehlt der 2. Richtungsvektor.
Aber der ergibt sich aus der Tatsache, dass F senkrecht auf der x1x2-Ebene steht. Daher ist deren Normalenvektor, also [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1},
[/mm]
ein brauchbarer Richtungsvektor für F.
Reicht Dir dieser Tipp?
> zu f) A(0/0/1)
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+r*\vektor{t \\ t-2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=tr[/mm]
> [mm]x_{2}=tr-2r[/mm]
> [mm]x_{3}=1+r[/mm]
>
> in die Ebenengleichung eingesetzt ergibt:
>
> [mm]r=\bruch{3}{2t^{2}-4t+5}[/mm]
>
> das ganze dann wieder in g einsetzen?
> das gäbe doch nur etreme brüche, aber keine schöne
> Lösung...
Habt Ihr noch nicht gelernt, dass man den Abstand eines Punktes von einer Ebene mit Hilfe der Hesse-Form berechnet?
Wenn doch, dann wandle [mm] E_{t} [/mm] erst mal in die Hesse-Form um und setze den Punkt ein. Damit hast Du bereits den Abstand [mm] d_{A;E}.
[/mm]
Und dann musst Du Dir überlegen, für welchen Wert von t dieser Abstand am größten ist.
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 So 29.10.2006 | | Autor: | B-LaSh |
Vielen Dank, habe jetzt alles =)
war nur bei e) etwas verwirrt, weil diese Ebene ja jetzt keine Ebene der Schar mehr ist, was sie meiner Meinung nach sein müsste.
Hab die Aufgabenstellung aber nochmal gelesen und gemerkt dass dies gar nicht sein muss.
und f) habe ich jetzt auch gelöst.
Dankeschön =)
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