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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Sa 24.04.2010 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Bestimmen Sie a,b und c so, dass die Ebenen E1 und E2 sich
1. schneiden
2. zueinander parallel sind
3. identisch sind
E1: x= [mm] \vektor{a \\ 3\\ 1}+ [/mm] r [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1}+ [/mm] s* [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 0}
[/mm]
E2: x= [mm] \vektor{2 \\1 \\5 }+ [/mm] r* [mm] \vektor{b \\1 \\1}+s* \vektor{c\\ 2\\ 1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe bereits verschiedene Ansätze versucht, z.B. es in ein Gleichungssystem zu machem, aber dann hatte ich sieben Variabelen und bin gar nicht weiter gekommen.
Dann habe ich mir überlegt, dass es, wenn sich beispielsweise beide schneiden würde unendlich viele Lösungen gäbe, wie komme ich allerdings auf diese Lösung. Ausprobieren ist sinnlos, oder?
Danke,
LG,
coucou
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> Bestimmen Sie a,b und c so, dass die Ebenen E1 und E2 sich
> 1. schneiden
> 2. zueinander parallel sind
> 3. identisch sind
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> E1: x= [mm]\vektor{a \\ 3\\ 1}+[/mm] r [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 1}+[/mm] s*
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0}[/mm]
> E2: x= [mm]\vektor{2 \\1 \\5 }+[/mm] r*
> [mm]\vektor{b \\1 \\1}+s* \vektor{c\\ 2\\ 1}[/mm]
Hallo,
hattet Ihr die Normalenform der Ebenengleichung?
Für die anzustellenden Überlegungen ist es ziemlich praktisch, wenn man den Weg über die Normalenvektoren der Ebenen wählt.
Gruß v. Angela
> Hallo!
>
> Ich habe bereits verschiedene Ansätze versucht, z.B. es in
> ein Gleichungssystem zu machem, aber dann hatte ich sieben
> Variabelen und bin gar nicht weiter gekommen.
> Dann habe ich mir überlegt, dass es, wenn sich
> beispielsweise beide schneiden würde unendlich viele
> Lösungen gäbe, wie komme ich allerdings auf diese
> Lösung. Ausprobieren ist sinnlos, oder?
>
> Danke,
> LG,
> coucou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 24.04.2010 | | Autor: | coucou |
Nein, den haben wie leider noch nicht behandelt.
Ein Tipp, wie es ohne geht?;)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Pappus |
Hallo,
1. Ich würde die Variablen in E2 umbenennen (z.B. in p und q), damit es bei den folgenden Rechnungen nicht ein heilloses Durcheinander gibt, weil man nicht mehr weiß welches r aus welcher Gleichung eigentlich gemeint ist.
2. Wenn die Ebenen parallel laufen müssen die Spannvektoren von E2 Linearkombinationen der Spannvektoren von E1 sein. Durch diesen Ansatz reduziert sich Dein Rechenaufwand erheblich.
Viel Erfolg
Pappus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
wie Angela schon geschrieben hat, ist es mit dem Normalenvektor der Ebene ein wenig leichter aber wenn ihr den noch nicht hattet, dann geht es auch ohne diesen.
Fangen wir am besten mal hinten an:
Damit die beiden Ebenen identisch sind, müssen die Richtungsvektoren vielfache voneinander sein und der Stützvektor der ersten bzw. der zweiten Ebene muss in der jeweils anderen Ebene liegen.
Damit die beiden Ebenen parallel sind, müssen die Richtungsvektoren vielfache voneinander sein und der Stützvektor der ersten bzw. der zweiten Ebene darf nicht in der jeweils anderen Ebene liegen.
Damit sich die beiden Ebenen schneiden, dürfen die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sein.
Gruß Fawkes
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> Damit die beiden Ebenen identisch sind, müssen die
> Richtungsvektoren vielfache voneinander sein
Hallo,
das ist nicht richtig.
Es ist so, wie Pappus schreibt: die Richtungsvektoren der einen Ebene müssen Linearkombinationen der Richtungsvektoren der anderen Ebene sein.
> Damit sich die beiden Ebenen schneiden, dürfen die
> Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sein.
Das schützt noch nicht vor Parallelität.
Es darf einer der Richtungsvektoren der zweiten Ebene keine Linearkombination der Richungsvektoren der anderen sein.
Gruß v. Angela
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> Bestimmen Sie a,b und c so, dass die Ebenen E1 und E2 sich
> 1. schneiden
> 2. zueinander parallel sind
> 3. identisch sind
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> E1: x= [mm]\vektor{a \\ 3\\ 1}+[/mm] r [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 1}+[/mm] s*
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 0}[/mm]
> E2: x= [mm]\vektor{2 \\1 \\5 }+[/mm] r*
> [mm]\vektor{b \\1 \\1}+s* \vektor{c\\ 2\\ 1}[/mm]
> Hallo!
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> Ich habe bereits verschiedene Ansätze versucht, z.B. es in
> ein Gleichungssystem zu machem, aber dann hatte ich sieben
> Variabelen und bin gar nicht weiter gekommen.
Hallo,
wie hast Du es denn gemacht?
Was steht Dir zur Verfügung?
Kannst Du den Gaußalgorithmus im Matrixschema?
Du kannst es so machen, daß Deine Variablen die 4 Ebenenparameter r,s,r's' sind.
a,b,c behandeltst Du in der Rechnung wie ganz normale Zahlen.
Du könntest das System auf ZSF bringen und die Lösbarkeit und die Dimension des Lösungsraumes in Abhängigkeit von a,b,c untersuchen.
Aber ich denke, daß man den Überblick, sofern einem die Normalenform nicht zur Verfügung steht, am besten mit der von Pappus vorgeschlagenen Vorgehensweise behält.
Gruß v. Angela
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