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| Aufgabe | folgendes Integral ist zu berechnen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} dx}
[/mm]
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OK ich dachte erstmal ich zerlege das Ding erstmal in 2 Brüche, wobei sich bei letzterem das [mm] x^2 [/mm] rauskürzen lässt.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2(1+x^2)}+\bruch{2}{1+x^2} dx}
[/mm]
damit wäre hinten das schonmal klar:
[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{x^2(1+x^2)} dx)} [/mm] + 2arctan(x)
Was mache ich aber mit dem Integral vorne? Da es ja ein Produkt aus 2 Brüchen darstellt hab ich es mit Partieller Integration versucht aber keiner der beiden Faktoren wurde dabei wirklich vereinfacht.
Was kann man da noch tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo codymanix!
Das Zerlegen war schon mal sehr gut. Für den ersten Bruch musst Du nun eine  Partialbruchzerlegung durchführen:
[mm] $$\bruch{1}{x^2*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C*x+D}{1+x^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar, danke für die schnelle Antwort!
OK die ersten beiden Brüche in deiner Antwort habe ich verstanden, x² stellt eine Doppelte Nullstelle dar.
Aber warum kommt danach in dem letzten Bruch Cx+D im Nenner? Auch in dem Link von dir stand nichts dazu. Ich dachte in dem Zähler steht dann immer nur jeweils ein Buchstabe (A..D)? Wie kommt das hier zustande?
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
. . . . ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia: Partialbruchzerlegung