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Effektiver Zinssatz: Idee?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mi 18.07.2018
Autor: timmexD

Aufgabe
Wie hoch dürfte der nominelle Jahreszinssatz für dieses Darlehen höchsten sein, wenn Max einen effektiven Jahreszinssatz von 9% p.a. haben möchte bei diesen Konditionen: Darlehen im Höhe von 12000 Euro mit einer Laufzeit von 4 Jahren und einem Damnum 4,5 %. Hierbei gelte die exponentielle Verzinsung.

Guten Tag!

Ich habe zu dieser Aufgabe nur eine kurze Frage, da ich mir nicht sicher bin, ob diese Formel immer gilt: Effektiver Jahreszinssatz= Kreditkosten x 100 / (Laufzeit x Auszahlungsbetrag). Darf ich in diesem Fall diese Formel anwenden oder muss ich den effektiven Zinssatz auch exponentiell verzinsen?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte.

Vielen Dank!

Tim


        
Bezug
Effektiver Zinssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Mi 18.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Wie hoch dürfte der nominelle Jahreszinssatz für dieses
> Darlehen höchsten sein, wenn Max einen effektiven
> Jahreszinssatz von 9% p.a. haben möchte bei diesen
> Konditionen: Darlehen im Höhe von 12000 Euro mit einer
> Laufzeit von 4 Jahren und einem Damnum 4,5 %. Hierbei gelte
> die exponentielle Verzinsung.

Heißt offensichtlich: Zinseszins-Rechnung.

Wie sieht nun der gesamte Vorgang aus?
  
Die Bank gewährt 12.000 €.
Sie zieht aber sofort 4,5% = 540 € ab.
Am Ende des ersten, 2., 3. und 4. Jahres zahlst du jeweils die Zinsen für 12.000 €, also immer den selben Betrag a.
Dann zahlst du die 12.000 € zurück.

Die Effektivzins-Berechnung mit 9 % ergibt sich damit so:

Du bekommst von der Bank 11.460 €.
Nach einem Jahr fallen 9 % Zinsen an, du hast 11.460 € * 1,09 Schulden.
Du zahlst aber den Betrag a ein und hast nur noch 11.460 € * 1,09 - a Schulden.
Am Ende des zweiten Jahres kommen wieder 9 % hinzu, du hast dann (11.460 € * 1,09 - a)*1,09 Schulden, zahlst wieder a ein und hast (11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a Schulden zu Beginn des 3. Jahres.
Am Ende des Dritten Jahres kommen wieder 9 % hinzu und du zahlst a ein, hast dann noch ((11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a)*1,09 - a Schulden, am Ende des 4. Jahres entsprechend (((11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a)*1,09 - a)*1,09-a.
Das sind dann genau die 12.000 € Schulden, die du jetzt der Bank zurückzahlst, um dann auf 0 zu stehen.

Also musst du die Gleichung lösen:

(((11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a)*1,09 - a)*1,09-a = 12.000


Nehmen wir mal an, a wäre 913,32 €. Das wären dann die Nominalzinsen für 12.000 €, also 7,611 %.


Aus dem Beispiel lässt sich auch eine (nicht ganz harmlose) Formel entwickeln.

K=Nominales Kapital,                  hier 12.000 €
E=Effektiv-Faktor,                    hier 1,09
A=Auszahlungsfaktor,                  hier 0,955
N=gesuchter Nominalzinssatzfaktor,    hier angenommene 0,07611
J=Anzahl der Jahre                    hier J=4

Dann sieht obige Rechnung abstrakt so aus:

(((K*A*E-K*N)*E-K*N)*E-K*N)*E-K*N=K   Die Klammern der Reihe nach ausgerechnet gibt das

   [mm] K*A*E^2-K*N*E-K*N [/mm]
   [mm] K*A*E^3-K*N*E^2-K*N*E-K*N [/mm]
   [mm] K*A*E^4-K*N*E^3-K*N*E^2-K*N*E-K*N [/mm]  und damit die Gleichung

[mm] K*A*E^4-K*N*E^3-K*N*E^2-K*N*E-K*N=K [/mm]   |:K

[mm] A*E^4-N*E^3-N*E^2-N*E-N=1 [/mm]

Für J Jahre sähe das dann so aus:

[mm] AE^J-NE^{J-1}-NE^{J-2}-NE^{J-3}...-NE-N [/mm] = 1 oder umgestellt:

[mm] AE^J-1 [/mm] = [mm] NE^{J-1}+NE^{J-2}+NE^{J-3}...+NE-N [/mm] = (geom. Reihe) [mm] N\bruch{E^J-1}{E-1}. [/mm]

Daraus erhält man nun sofort

N = [mm] \bruch{AE^J-1}{E^J-1}*(E-1). [/mm]

Du kannst mal obige Zahlen einsetzen, und wenn du dich nicht verrechnest...

Bezug
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